徐丹紅 樓森岳

(寧波大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 寧波 315211)

孤子分子是當(dāng)前非線性光學(xué)中的重要課題.本文首先研究具有高階色散和高階非線性效應(yīng)非線性光學(xué)模型中各種周期波(孤子晶格)的嚴(yán)格解, 及各種可能的單孤子解.然后在一個(gè)可積的情況下, 利用推廣的雙線性形式, 給出多孤子解, 并從多孤子解的速度共振條件給出暗孤子分子的嚴(yán)格解析表達(dá)式.對(duì)于本文給出模型的多暗孤子分子之間, 以及孤子分子和通常孤子之間的相互作用都是彈性的.值得指出的是, 在不可積的情況下孤子分子也是可以存在的.

專題：非線性物理

1 引 言

孤立波、孤立子、呼吸子、怪波等非線性局域激發(fā)模式在物理學(xué)的各個(gè)分支如流體物理[1]、等離子體物理[2]、復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[3]、量子場(chǎng)論和粒子物理[4]、引力理論[5]、玻色愛恩斯坦凝聚[6]、大氣和海洋物理[7]、特別是光物理[8?10]中起著非常重要的作用.最近, 孤子分子在非線性光學(xué)實(shí)驗(yàn)上的成功發(fā)現(xiàn)[11?13]成為非線性物理的一個(gè)新的熱門課題.在理論上, 非線性耦合系統(tǒng)的孤子分子已經(jīng)被一些非線性物理工作者所研究[14,15].除了在光學(xué)中的孤子分子外, 在其他領(lǐng)域也應(yīng)該能找到孤子分子.在文獻(xiàn)[16]中, 本文作者之一(樓)在單分量的流體模型中給出了多種類型的孤子分子解.

非線性系統(tǒng)孤子解的求解有很多行之有效的方法, 如廣田(Hirota)直接法[17]、達(dá)布 (Darboux)變換方法[18]、反散射變換方法[19]、對(duì)稱性方法[20]等等.通常使用不同的方法得到的多孤子解表面上看可以是很不一樣的, 但本質(zhì)上都是等價(jià)的.不同的表達(dá)式在應(yīng)用中各有優(yōu)點(diǎn).絕大多數(shù)文獻(xiàn)中, 各種非線性模型的單孤子解都采用緊致簡(jiǎn)潔方便的雙曲函數(shù)形式, 因此很多著名專家如Hirota 和Toda 及我國(guó)的陳登遠(yuǎn)[21]等都期望能用雙曲函數(shù)來簡(jiǎn)潔地表達(dá)多孤子解, 最近, 我們成功實(shí)現(xiàn)這一愿望[7,22].這些新的簡(jiǎn)潔表達(dá)式不僅研究非局域非線性系統(tǒng)的孤子解非常方便, 而且本文將進(jìn)一步用這種表達(dá)式來尋求各種類型的共振孤子, 包括孤子分子.

本文第二節(jié)首先給出具有高階色散和高階非線性修正的非線性光學(xué)系統(tǒng).然后研究該系統(tǒng)可能具有的周期波解和孤立波解.本文第三節(jié)中研究一個(gè)可積的情況— 散焦型 Hirota 模型, 將Hirota模型變換成一個(gè)新的Hirota 雙線性方程后, 成功給出用雙曲余弦描述的多暗孤子表達(dá)式.然后從多孤子解出發(fā)研究一種新的共振孤子激發(fā)模式—速度共振.從而導(dǎo)致孤子束縛態(tài)—暗孤子分子的形成.暗孤子分子之間及暗孤子分子和通常暗孤子的相互作用性質(zhì)也在第三節(jié)做了簡(jiǎn)單的討論.最后一節(jié)是總結(jié)和討論.

2 高階非線性薛定諤方程及其周期波和孤立波

在眾多的實(shí)際非線性光學(xué)問題中高階的色散和各種非線性效應(yīng)是不可忽略的.其中最常見的高階非線性薛定諤方程可具有下述形式

方程(1)包含了很多物理和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的特殊情況 (包括時(shí)空變量t和x的交換).?=0 對(duì)應(yīng)的正是著名的聚焦(σ=1 ) 和散焦(σ=?1 )非線性薛定諤方程.當(dāng)d2=r2=0,β=0,3 時(shí), 方程(1) 是另一個(gè)非常重要的物理和數(shù)學(xué)中的重要模型: 復(fù)修正 Korteweg de-Vrise (KdV) 方程[23].當(dāng)β=0時(shí), 方程 (1)是可積的 Hirota 方程[24].當(dāng)β=3時(shí), 方程 (1)也是可積系統(tǒng): Sasa-Satsuma 方程[23].當(dāng)r2=d3=0 時(shí), 方程 (1)也包含了三種可積的導(dǎo)數(shù)非線性薛定諤方程[25].

在研究高階非線性薛定諤方程的多孤子解和孤子分子解之前, 我們先研究一般高階非線性薛定諤系統(tǒng)(1)式 下述形式的一般行波解

其中k0,ω0,?0,k,ω及ξ0為待定實(shí)常數(shù).

將(2) 式代入(1)式可得關(guān)于Q(ξ) 應(yīng)滿足的兩個(gè)常微分方程,

為了給出(3)式和(4)式的相容顯式解我們分兩種情況:

情況1一般情況.在對(duì)模型參數(shù)無任何限制的情況下, 可取載波參數(shù)k0和ω0由其他參數(shù)決定為

在參數(shù)條件(5)式和(6)式下, 方程(3)和(4)退化成單個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Jacobi橢圓函數(shù)滿足的方程

方程(7)有三種標(biāo)準(zhǔn)的周期波解:

周期波解1

周期波解2

周期波解3

當(dāng)Jacobi橢圓函數(shù)的模趨向于1時(shí), 上述三類周期波解退化成兩種類型的孤立子解.

孤子解1, 暗孤子解

孤子解2, 亮孤子解

從解的表達(dá)式很容易看出, 暗孤子晶格解(8)式和暗孤子解(11) 式的存在條件是亮孤子晶格(9)式, (10)式 和亮孤子(12)式存在條件是

情況2特殊情況?=0 .在這一特殊參數(shù)條件下光孤子系統(tǒng)(1)具有更一般的孤子晶格和孤子解.當(dāng)?=0 時(shí), 可簡(jiǎn)單取

在參數(shù)條件(13)式下, 方程(3)和(4)退化成單個(gè)三階方程

類似地, 方程(14)有三種標(biāo)準(zhǔn)的周期波(孤子晶格)解:

周期波解4

對(duì)于小的m, Jacobi橢圓函數(shù)sn接近于三角函數(shù)sin.而隨著模m越來越接近于1, sn越來越接近于雙曲tanh函數(shù), 而相應(yīng)的周期解就看起來像是孤立子的周期性排列.因此對(duì)于接近于m= 1的周期解, 也可以稱之為孤子晶格解.圖1 展示了用(15) 式描述的周期波解、亮孤子晶格解.其相應(yīng)的參數(shù)為(本節(jié)所有的圖中的模型參數(shù)固定為β=d2=d3=r2=10?=1)

圖2展示了用同一表達(dá)式(15)式 描述的暗孤子晶格解.其相應(yīng)的參數(shù)為

圖1 由 (15) 式描述的亮孤子晶格, 其中參數(shù)由 (16) 式給定Fig.1.Bright soliton lattice described by Eq.(15) with the parameter selected from Eq.(16).

圖2 由 (15)式描述的暗孤子晶格, 其中參數(shù)由 (17) 式給定Fig.2.Dark soliton lattice described by Eq.(15) with the parameter selected from Eq.(17).

這類暗孤子晶格中的暗孤子中間有一非暗的灰色區(qū).

周期波解5

圖3 展示了第二種類型的亮孤子晶格結(jié)構(gòu).這類亮孤子晶格由表達(dá)式(18) 式描述.與圖3對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

第一類的亮孤子晶格的背景是暗的, 第二類亮孤子晶格的背景是灰的, 而灰色背景和亮孤子間又有暗區(qū)相間.

周期波解6

由于Jacibi橢圓函數(shù)dn的恒正性, 這類函數(shù)描述的孤子晶格既可以是亮孤子晶格, 也可以是暗孤子晶格.

圖3 由 (18) 式描述第二類亮孤子晶格, 其中參數(shù)由(20)式給定Fig.3.Second type of bright soliton lattice described by Eq.(18) with the parameter selected from Eq.(20).

圖4 第三類亮孤子晶格.由 (21) 式描述, 其中參數(shù)由 (23) 式給定Fig.4.Third type of bright soliton lattice described by Eq.(21) with the parameter selected from Eq.(23).

圖4 展示了第三種類型的亮孤子晶格結(jié)構(gòu).這類亮孤子晶格由表達(dá)式(21)式 描述.與圖4對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

這一類亮孤子也具有灰色背景, 但不同于第二類亮孤子晶格, 灰背景和亮孤子之間沒有暗區(qū)隔離.

圖5展示了第二類暗孤子晶格結(jié)構(gòu).這類暗孤子晶格由表達(dá)式(21) 式描述.與圖5對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

當(dāng) Jacobi橢圓函數(shù)的模m→1 時(shí), 周期波解(15)退化為下述孤子解:

圖5 第二類暗孤子晶格由 (21)式描述, 其中參數(shù)由 (24)式給定Fig.5.Second type of dark soliton lattice described by Eq.(21) with the parameter selected from Eq.(24).

孤子解3

暗孤子解 (25) 式的實(shí)條件和非奇異條件為

圖6正是與(25)式對(duì)應(yīng)的暗孤子解, 相應(yīng)的參數(shù)為

周期波解(18)式和(21)式退化成同一種孤子解:

孤子解4:

當(dāng)參數(shù)滿足下述條件

時(shí), 孤子解 (27) 式是一個(gè)具有灰背景的亮孤子.

圖7展示的正是由(27)式表示的具有灰背景的亮孤子, 其中的參數(shù)為

圖6 由 (25) 式描述的暗孤子, 其中參數(shù)由 (26) 式給定Fig.6.Dark soliton described by Eq.(25) with the parameter selected from Eq.(26).

當(dāng)下述條件

滿足時(shí), 孤子解 (27) 式是一個(gè)灰孤子解.當(dāng)β1=2α1時(shí), 孤子解 (27) 式是一個(gè)暗孤子.

圖8展示了由(27)式表示的暗孤子, 其中的參數(shù)取為

如圖8所示的暗孤子具有一特殊的性質(zhì), 即在暗孤子中心x=0 前三階變化率均為零:I(x=0)=Ix(x=0)=Ixx(x=0)=Ixxx(x=0)=0.

特別有意義的是表達(dá)式(27)式具有共振孤子相同的形式, 因此對(duì)于某些參數(shù)區(qū)間可知(27) 式也具有暗孤子分子的形式.圖9顯示了由(27)式描述的孤子分子的性質(zhì), 其中的參數(shù)選擇為

圖7 由 (27) 式描述的具有灰背景的亮孤子, 其中參數(shù)由(29)式給定Fig.7.Bright soliton (with gray background) described by Eq.(27) with the parameter selected from Eq.(29).

圖8 由 (27)式描述的暗孤子, 其中參數(shù)由 (30)式給定Fig.8.Dark soliton described by Eq.(27) with the parameter selected from Eq.(30).

由于β0,3 時(shí), (1) 式不是可積系統(tǒng), 所以孤子分子可以在不可積系統(tǒng)中存在.

圖9 (a)由 (27) 式描述的暗孤子分子的密度圖; (b) 與(a)對(duì)應(yīng)的立體圖, 圖中參數(shù)由 (31)式給定Fig.9.(a)Density plot of the dark soliton molecule described by Eq.(27) with the parameter selected from Eq.(31); (b) three dimensional plot related to Fig.(a).

3 散焦Hirota系統(tǒng)的多孤子解及其孤子分子解

為了研究孤子分子的性質(zhì), 本節(jié)只限定于一個(gè)特殊的可積系統(tǒng), Hirota系統(tǒng), 其對(duì)應(yīng)的參數(shù)限制為

對(duì)于可積系統(tǒng), 可以用很多方法得到其多孤子解,如Hirota 方法、反散射方法、黎曼-希爾伯特方法、達(dá)布變換方法等等.所有各種方法中, Hirota方法是最簡(jiǎn)單明了的方法.

很容易驗(yàn)證, Hirota系統(tǒng)在變換

下可以變?yōu)槠潆p線性形式

在傳統(tǒng)的非線性薛定諤模型(?1=0 )和Hirota系統(tǒng) (?10 )的雙線性形式中, (35)式 和 (36) 式中常數(shù)κ被固定為零.當(dāng)κ取零時(shí)雙線性方程組(35)式和 (36)式的多孤子解由傳統(tǒng)的Hirota形式描述.當(dāng)κ0 且σd2/r2<0 (對(duì)應(yīng)于散焦系統(tǒng)) 時(shí),雙線性系統(tǒng) (35)式和(36)式的多孤子解可以表示為[26]

其中關(guān)于 {ν}≡{ν1,···,νN} 的求和是關(guān)于所有可能的非對(duì)偶分布νi= ±1,i=1,···,N求和.如果 {ν′}= ?{ν} , 則 分 布 {ν′} 和 {ν} 被 稱作 是 對(duì) 偶的.由于 cosh 函數(shù)是偶函數(shù), 所以對(duì)偶的分布給出相同的表達(dá)式, 所以求和只需要對(duì)非對(duì)偶分布求.在 (37)式和 (38)式中的K{ν}為

k0,ξi0,?i和?0為任意常數(shù).

為了尋求孤子分子解, 我們先顯式寫下雙孤子解,

在一般情況下雙孤子解(42)式和(43)式是具有彈性相互作用的雙孤子態(tài).圖10展示了這樣一個(gè)典型的雙孤子作用圖像, 其中采用的參數(shù)為(本節(jié)中統(tǒng)一采用的模型參數(shù)是d2=r2= ?σ=10?1=1 )

只有當(dāng)二孤子的波速達(dá)到一種特殊共振狀態(tài),使得孤子的吸引和排斥作用正好達(dá)到平衡時(shí), 才能形成束縛態(tài)——孤子分子.

從表達(dá)式(41)式可知兩孤子形成孤子分子的速度共振條件為

即

圖11展示了孤子分子對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)的密度圖(圖11(a))和立體圖(圖11(b)), 與圖對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

由于可積系統(tǒng)的多孤子之間的相互作用是彈性的, 孤子分子的存在只對(duì)應(yīng)于一些特殊的多孤子, 自然孤子分子和通常的孤子的相互作用及孤子分子之間的相互作用也是彈性的.

(33)式的多暗孤子分子和多暗孤子的混合解由 (34)式, (37)式和 (38)式統(tǒng)一表達(dá), 其中若有n對(duì)孤子的速度達(dá)到共振條件

圖10 由 (42)?(43)式描述的二暗孤子相互作用的密度圖, 圖中參數(shù)由 (44)式給定Fig.10.Density plot of the interaction between two dark solitons described by Eq.(42)and Eq.(43) with the parameter selected from Eq.(44).

則解(34)式, (37)式和(38)式表示了n暗孤子分子和N?2n暗孤子的混合相互作用解.

圖12展示的是一個(gè)暗孤子分子和一個(gè)暗孤子的相互作用.圖中對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

圖11 (a) 由 (42) 式和 (43)式描述的暗孤子分子密度圖,圖中參數(shù)由 (47)式給定; (b) 與圖(a)對(duì)應(yīng)的三維立體圖Fig.11.(a) Density plot of the dark soliton molecule described by Eq.(42) and Eq.(43) with the parameter selected from Eq.(47); (b) three dimensional plot related to Fig.(a).

圖13展示了二暗孤子分子的相互作用.圖中對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

圖12 由 (34)式，(37)式和 (38)式描述的暗孤子分子和暗孤子的彈性相互作用的密度圖, 圖中參數(shù)由 (49)式給定Fig.12.Density plot of the interaction between a dark soliton molecule and a dark soliton described by Eq.(34),Eq.(37) and Eq.(38) with the parameter selected from Eq.(49).

圖13 由 (34)式，(37)式和 (38)式描述的二暗孤子分子的彈性相互作用的密度圖, 圖中參數(shù)由 (50)式給定Fig.13.Density plot of the interaction between two dark soliton molecules described by Eq.(34), Eq.(37) and Eq.(38) with the parameter selected from Eq.(50).

4 結(jié)論和討論

本文首先系統(tǒng)研究了一個(gè)非線性光學(xué)中包含三階色散、自陡峭效應(yīng)和自激Raman散射等高階非線性色散效應(yīng)的一般非線性薛定諤方程的包絡(luò)行波解.結(jié)果發(fā)現(xiàn)高階非線性薛定諤系統(tǒng)具有非常豐富的周期波模式, 包括了多種亮孤子晶格(暗背景和灰背景的亮孤子晶格)和暗孤子晶格(雙谷暗孤子晶格和單谷暗孤子晶格).孤子晶格的多樣性導(dǎo)致了孤立子(孤子晶格周期解趨于無窮時(shí)的解)的多樣性: (暗背景)亮孤子, 具有灰背景的亮孤子, 暗孤子, 灰孤子, 超平暗孤子 (谷底一、二、三階變化率為零, 因此也可稱之為扭結(jié)-反扭結(jié)分子), 雙暗孤子分子等等.

對(duì)于一個(gè)可積的非線性光學(xué)系統(tǒng)——散焦型Hirota模型, 得到了一個(gè)新的雙線性形式, 利用這一新的雙線性形式, 給出了一個(gè)多孤子解的用雙曲余弦描述的緊致形式.從這一多孤子解出發(fā), 引入速度共振條件即可得到多暗孤子分子和多暗孤子的混合解.暗孤子分子之間的相互作用以及暗孤子分子和暗孤子之間的相互作用是彈性相互作用.

孤子分子是當(dāng)前非線性科學(xué)中的重要課題之一, 它象通常的孤子一樣也可以在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中得到應(yīng)用.在非線性系統(tǒng)中還存在各種各樣的局域激發(fā)模式, 如呼吸子、拱形(dromion) 解、團(tuán)塊 (lump) 解 、尖 峰 子 (peakon)解 和 緊 子(compacton)解等等.因此自然可以期待得到各種各樣的其他類型的分子解, 如呼吸子分子、呼吸子-孤子分子、dromion分子、lump分子、dromionlump 分子、尖峰子分子、緊子分子等等.所有有關(guān)這些新類型的非線性局域激發(fā)的分子解及其可能的物理應(yīng)用將在以后進(jìn)行深入的研究.