張大軍

(上海大學(xué)數(shù)學(xué)系, 上海 200444)

對(duì)比已有完善而系統(tǒng)理論的微分方程領(lǐng)域, 差分方程理論尚處于發(fā)展之中.近年來(lái)離散可積理論的進(jìn)展, 帶來(lái)了差分方程理論的革命.多維相容性是伴隨離散可積系統(tǒng)研究出現(xiàn)的新的概念, 作為對(duì)離散可積性的一種理解, 提供了構(gòu)造離散可積系統(tǒng)的B?cklund變換、Lax對(duì)和精確解的工具.本文旨在綜述多維相容性的概念及其在離散可積系統(tǒng)研究中的應(yīng)用.

專題：非線性物理

1 引 言

離散系統(tǒng)泛指含有離散自變量的常差分、微分差分、偏差分系統(tǒng)、以及變換和映射等.由于缺少導(dǎo)數(shù)、積分等局部化的數(shù)學(xué)工具, 對(duì)于非線性離散系統(tǒng)的研究, 往往伴隨著新的數(shù)學(xué)概念、理論和方法的出現(xiàn).

現(xiàn)代可積理論興起于20世紀(jì)60年代中期孤立子的命名[1]、反散射變換方法的建立[2]和Lax對(duì)概念的提出[3], 參見文獻(xiàn)[4].早期對(duì)離散可積系統(tǒng)的探索主要是可積離散化, 早在20世紀(jì)70年代:Case和Kac[5]對(duì)Schr?dinger譜問題的離散以及Ablowitz 和 Ladik[6?8]對(duì) Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS) 譜問題的離散 建立了基于差分的反散射變換過(guò)程; Hirota[9?11]對(duì)雙線性方程的離散利用雙線性B?cklund變換與Lax對(duì)的聯(lián)系獲得了一系列離散可積系統(tǒng).進(jìn)入80年代后, 對(duì)離散可積系統(tǒng)的研究逐漸向形成獨(dú)立于連續(xù)系統(tǒng)的研究方法, 系統(tǒng)進(jìn)展有: 京都學(xué)派 Date 等[12?16]和 Ueno等[17]對(duì)Sato理論的離散; 荷蘭學(xué)者Nijhoff等[18?22]和 Quispel等[23]基于 Fokas和 Abolwitz[24]的直接線性化格式以及Levi和Benguria[25]的變換與離散的同等性認(rèn)識(shí)發(fā)展起來(lái)的構(gòu)造和研究離散可積系統(tǒng)的系統(tǒng)方法.進(jìn)入90年代以后, 離散可積系統(tǒng)的顯著進(jìn)展包括: 超離散可積系統(tǒng)的提出及其連續(xù)極限的建立[26,27], 基于奇點(diǎn)囿禁的奇點(diǎn)理論與可積性的聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)[28,29], 奇點(diǎn)囿禁在可積性判別上的不充分性的發(fā)現(xiàn)[30], 以及基于代數(shù)熵理論對(duì)可積性的判別[31].這些進(jìn)展相繼推動(dòng)了超離散可積系統(tǒng)、離散Painlevé方程、可積性檢驗(yàn)等方面的發(fā)展.

進(jìn)入新世紀(jì)后, 離散可積系統(tǒng)繼續(xù)迎來(lái)新的發(fā)展.Sakai[32]基于有理曲面理論和Blow-up分析對(duì)離散Painlevé方程的分類, 揭示了離散Painlevé方程豐富的代數(shù)幾何結(jié)構(gòu), Bobenko和 Suris[33]、Adler等[34]和 Nijhoff等[35,36]學(xué)者對(duì)于“多維相容性”的理解以及對(duì)若干離散可積系統(tǒng)的分類,各種精確求解方法 在離散可積系統(tǒng)中相繼實(shí)現(xiàn)[37?45], 等等, 一系列進(jìn)展標(biāo)志著對(duì)離散可積系統(tǒng)的研究進(jìn)入到一個(gè)新的階段.2009年在著名的英國(guó)劍橋牛頓所 (The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences)舉辦的為期半年的離散可積系統(tǒng)主題研討活動(dòng), 是對(duì)當(dāng)時(shí)離散可積系統(tǒng)蓬勃發(fā)展的一個(gè)反映.

可積系統(tǒng)與數(shù)學(xué)和物理的眾多分支都有聯(lián)系,已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)物理的各個(gè)領(lǐng)域[4].在數(shù)學(xué)方面,離散可積系統(tǒng)的發(fā)展伴隨著離散幾何和離散復(fù)分析的發(fā)展, 這與連續(xù)意義下可積系統(tǒng)豐富的幾何背景以及分析的工具在其研究中的重要作用是分不開的.對(duì)與離散可積系統(tǒng)相關(guān)的差分算子理論與復(fù)分析方面的研究, 如勢(shì)函數(shù)的漸近性、散射理論、Riemann-Hilbert問題、解的長(zhǎng)時(shí)間漸近分析、初邊值問題等等, 建議參考文獻(xiàn)[42,46].除了提及的上述進(jìn)展, 還有如離散幾何、對(duì)稱理論、Galois理論、Lagrangian多形式理論等許多方面的重要進(jìn)展.值得指出的是, 最近由 Hietarinta, Joshi和Nijhoff[47]完成的一部專著《Discrete Systems and Integrability》已經(jīng)出版.讀者可以參考了解其更多內(nèi)容.國(guó)際上每?jī)赡暌粚玫腟IDE會(huì)議(Symmetries and Integrability of Difference Equations)是離散可積系統(tǒng)及其相關(guān)問題的首要國(guó)際會(huì)議, 1994年始于加拿大Montreal, 至今已經(jīng)成功舉辦13屆,其中SIDE-10于2012年在我國(guó)寧波召開.

本文將在第二、三節(jié)重點(diǎn)介紹多維相容性的概念及其應(yīng)用.希望通過(guò)具體的例子讓更多讀者了解離散可積系統(tǒng)及其中的概念和方法.

2 多維相容性

離散可積系統(tǒng)從未獨(dú)立于連續(xù)系統(tǒng).下面首先來(lái)介紹兩種引入離散變量的途徑.

2.1 離散變量的引入

離散化是引入離散變量的方式之一.從熟悉的AKNS譜問題開始:

其中u=u(x,t),v=v(x,t) ,η是譜參數(shù), 為了方便, 記M=M(η,U) ,U=(u,v)T.定義

然后利用差分 (Φn+1?Φn)/?替代導(dǎo)數(shù)Φx, 得到

Ablowitz-Ladik (AL)譜問題指[7]

在(2)式和

之下, 對(duì)Φn+1=Φ(x+?) 在?=0 展開, 并取?→0 ,則AKNS譜問題(1)式可以作為領(lǐng)頭項(xiàng)從AL譜問題(4)式中恢復(fù)出來(lái), 同時(shí)譜參數(shù)從λ-平面變到η-平面.

(2)式是我們所熟悉的數(shù)值(差分)離散: 如圖1, 將區(qū)間 [x0,x] 等分成n份, 步長(zhǎng)為?.在x點(diǎn),Φn與Φ(x) 仍然表示相同的數(shù)值, 但是自變量的空間已經(jīng)從實(shí)數(shù)域 R 變?yōu)檎麛?shù)域 Z .差分離散是計(jì)算連續(xù)極限的基礎(chǔ), 但是對(duì)于可積系統(tǒng)而言, 差分離散(也稱為直接離散)不足以保持原有系統(tǒng)的可積特征.關(guān)于由 AL譜問題 (4)式引出的半離散AKNS系統(tǒng), 讀者可以參考文獻(xiàn)[48?51].

圖1 [ x0,x] 上的數(shù)值離散Fig.1.Numerical discretisation on [ x0,x] .

遞推關(guān)系可以很自然地視為離散的方程.例如Hermite正交多項(xiàng)式 {Hn(x)} 滿足遞推關(guān)系

第I型Bessel函數(shù)

滿足方程常微分方程

其中x是自變量,α是參數(shù).由此方程可以建立Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系(參考文獻(xiàn)[47]的第37頁(yè))

此時(shí)x和α互換了角色,x是參數(shù),α成為自變量.再如, Painlevé II方程

的解滿足遞推關(guān)系

這里f′(t) 表示對(duì)t的導(dǎo)數(shù).

在上面Bessel函數(shù)和Painlevé II方程的解的例子中, 遞推關(guān)系分別來(lái)自于兩個(gè)微分方程的解之間的變換, 可以視為通過(guò)變換建立起來(lái)的解之間的疊加關(guān)系.這是由連續(xù)系統(tǒng)到離散系統(tǒng)的常見過(guò)程.尤其, KdV 方程的 B?cklund 變換的非線性疊加公式提供了對(duì)KdV方程的完美的離散化.

對(duì)于著名的KdV方程,

Wahlquist和Estabrook[52]在1973年發(fā)現(xiàn)形如

的非線性 B?cklund變換, 其中w滿足勢(shì) KdV方程

u=wx滿足KdV方程(6).

利用B?cklund變換(7a)式可以建立KdV方程的解的非線性疊加公式.首先在(7a)式中, 從同樣的種子解w出發(fā), 分別記由λ=λ1和λ=λ2引出的為w1和w2, 即

接 下 來(lái) , 在 (7a)式 中 取w=w1,λ=λ2, 記=w12, 有

取w=w2,λ=λ1, 記=w21, 有

上述過(guò)程可以描述為圖2.

可以證明w12和w21能夠相等(參考文獻(xiàn)[49]).進(jìn)一步, 從(9)式和(10)式得到

圖2 B?cklund 變換解的交換性質(zhì)Fig.2.Permutation property of B?cklund transformation.

稱為(勢(shì))KdV方程解的非線性疊加公式, 也稱為Bianchi等式①Luigi Bianchi最早得到了sine-Gordon方程解的非線性疊加公式(15)式, 并證明了形如圖2的解的交換性質(zhì)[56,57]., 還稱為離散的勢(shì) KdV 方程[47].作為離散的方程時(shí), (11)式通常寫為

其中p和q分別是對(duì)應(yīng)于n–方向和m–方向的方向參數(shù).

modified KdV(mKdV)方程

和sine-Gordon方程

擁有形式相同的非線性疊加公式(文獻(xiàn)[53,54]):

此方程經(jīng)過(guò)變換u=ei2θ

以后, 可以寫為

此方程也稱為離散勢(shì)mKdV方程.有意思的是, 離散的sine-Gordon方程形如

由 Hirota[11]和Orfanidis[55]先后得到, 與 (16)式只有部分符號(hào)差別, 經(jīng)過(guò)同樣的變換以后,可以寫為[18]

2階AKNS方程組

的B?cklund變換的非線性疊加公式形如

由Konopelchenko[58]于1982年獲得.

B?cklund變換提供了引入離散變量的一種方式.(9a)式中w1可視為w沿一個(gè)方向上的平移, (9b)式中w2可視為w沿另一個(gè)方向上的平移.非線性疊加公式(11)式是這兩個(gè)方向上平移相容性的結(jié)果.同時(shí), (9a)式作為一個(gè)獨(dú)立方程, 也可視為一個(gè)微分-差分方程.

B?cklund變換應(yīng)用于非線性模型, Darboux變換的目標(biāo)對(duì)象則是在線性層面(Lax對(duì)).對(duì)于給定的連續(xù)譜問題, 存在與之相應(yīng)的連續(xù)等譜發(fā)展方程族; 它的Darboux變換可視為一個(gè)離散的譜問題, 與原有連續(xù)譜問題之間的相容性引出的微分差分方程 自然給出連續(xù)等譜發(fā)展方程族的解之間的B?cklund 變換.這一漂亮的聯(lián)系首先由 Levi和Benguria[25,59]發(fā)現(xiàn), 對(duì)于研究和理解離散可積系統(tǒng)具有重要意義.AKNS譜問題 (1)式存在如下Darboux變換[60]:

式 中U=(u,v)T.作 為 Darboux 變 換 ,滿 足AKNS譜 問 題 (1)式 , 即這相當(dāng)于要求(1)式與(22)式相容, 即由此有

引出的方程

可視為連續(xù)的等譜AKNS方程族的B?cklund變換.作為離散的譜問題, (22)式引出一個(gè)新的半離散 AKNS族[61,62], 可視為微分-差分 Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程族 Lax 三重組的對(duì)稱約束的結(jié)果[63].若考慮兩個(gè)不同方向上的Darboux變換:

作為離散的Lax對(duì), 其相容性得到方程(21), 且在適當(dāng)?shù)倪B續(xù)極限下, (21)式引出(20)式(參考文獻(xiàn) [43]).顯然, 由 Darboux變換作為 Lax對(duì)引出的4點(diǎn)方程即為4個(gè)解之間的非線性疊加公式.更多的關(guān)于Darboux變換作為離散譜問題的例子可見文獻(xiàn)[64].

當(dāng)作為離散的方程時(shí), 變換的符號(hào)意義可以理解為

變換引入的參數(shù)p和q分別表示n–方向和m–方向上的鏈參數(shù).如圖3所示.

圖3 變換與平面網(wǎng)格Fig.3.Map and lattice.

2.2 多維相容性

對(duì)于離散可積系統(tǒng)的研究需要引入新的概念.下面介紹離散可積系統(tǒng)的“多維相容性”的概念.

回到(勢(shì))KdV方程解的非線性疊加公式(12)式, 這一疊加關(guān)系可以重復(fù)下去.為了方便，我們采用(26)式中的符號(hào), 將(12)式寫為

這是一個(gè)定義在平面網(wǎng)格上的四方格方程.我們引入第三個(gè)方向l, 該方向上的平移表示為=un,m,l+1,方向參數(shù)為r, 如圖4所示.

圖4 相容立方體Fig.4.Consistent cube.

視(27)式定義在圖4中立方體的底面, (28a)式和(28b)式則分別定義在左側(cè)和后側(cè).如何體現(xiàn)這種維數(shù)擴(kuò)充后的相容性? 首先, 由上述3個(gè)方程有

引入方向l以后的相容性體現(xiàn)在將 (29a)式和 (29b)式代入到算得

方程(27)的這種性質(zhì)稱~為該方程的3維相容性, 也稱為立方體相容(consistent-around-thecube (CAC)), 它體現(xiàn)了 (27)式自身的性質(zhì).方程(17)也具有同樣的性質(zhì).一般地, 對(duì)于一個(gè)定義在平面四方格上的方程

將其嵌入到圖4中立方體的6個(gè)面中, 得到

對(duì)于離散系統(tǒng)而言, 上述多維相容性將提供一系列的可積特征, 后文將進(jìn)一步介紹.對(duì)于一個(gè)d-維的離散方程, 如果嵌入到一個(gè) (d+1) -維鏈后, 所有的d-維子鏈都是相容的, 則稱原d-維離散方程具有 (d+1) -維相容性.對(duì)于2維離散方程, 這種多維相容性即為3維相容性, 或CAC性質(zhì).

2.3 ABS方程

本世紀(jì)初, 多維相容性逐漸被系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)并作為工具應(yīng)用到離散系統(tǒng)的研究中[65,35,36,33].2003年, Adler, Bobenko 和 Suris (ABS)[34]發(fā)表了他們?cè)诙嗑S相容性的基礎(chǔ)上對(duì)四方格方程的分類, 他們得到的方程列表被統(tǒng)稱為ABS方程.

ABS在假設(shè)方程(30)具有3維相容性的基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步要求(30)式滿足:

(i) 仿線性 (affine linear),

(ii) 在正方形對(duì)稱群D4下不變,

(iii) 四面體性質(zhì) (tetrahedron property).在前兩條要求下方程(30)的一般形式可以設(shè)為

其中ki都是待定系數(shù); 四面體性質(zhì)指只與和有關(guān), 而與u無(wú)關(guān), 即四個(gè)點(diǎn)在立方體(圖4)中構(gòu)成一個(gè)四面體.ABS證明了滿足上面3條要求的3維相容方程(30)只有9個(gè)(允許存在 M?bius變換), 并分別命名為 H1, H2,H3(d), A1(d), A2, Q1(d), Q2, Q3(d), Q4:

其中, H1 即為離散勢(shì) KdV 方程 (27), H3(d= 0)為離散勢(shì) mKdV 方程 (17) (u→in+mu), Q1(d=0)為離散的 Schwarzian KdV 方程, 也稱為交比(cross-ratio)方程, A1(d)在u→ (?1)n+mu下即為Q1(d), A2 在u→u(?1)n+m下為 Q3(d= 0), Q4 是著名的Krichever-Novikov方程的B?cklund變換的非線性疊加公式, 原型中系數(shù)用Weierstrass橢圓函數(shù)表示[34,66], (33i)中Jacobi橢圓函數(shù)的參數(shù)化形式來(lái)自于Hietarinta[67], 式中k為Jacobi橢圓函數(shù)的模(modulus).

2.4 離散Boussinesq型方程

離散的勢(shì)Boussinesq方程是平面9點(diǎn)方程,定義在 3 ×3 格子上:

式中P,Q分別表示n,m的方向參數(shù),xij=xn+i,m+j.這類方程早期由Nijhoff等[68?70]學(xué)者構(gòu)造并研究.借助于其他(因)變量, (34)式可以改寫為(參考文獻(xiàn)[65])

取向量u=(x,y,z)T, 方程可以視為向量意義下的四方格系統(tǒng), 并具有3維相容性.

2011年, Hietarinta[71]在 (35)式形式的基礎(chǔ)上, 尋找了可能的離散Boussinesq型的3維相容系統(tǒng), 代表方程為(考慮到對(duì)稱性和M?bius變換):

式中P,Q仍然分別表示n,m的方向參數(shù),bi都是任意常數(shù), 有的bi可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q去掉.顯然,[B-2]是 (35)式的推廣.文獻(xiàn) [71]中還得到 [C-4]方程, 現(xiàn)已證明與[C-3]之間存在M?bius變換, 故不再列出.

2.5 不同方程間的3維相容性

離散的sine-Gordon方程(19)不是3維相容的, 但是它與離散勢(shì)mKdV方程(17)一起可以實(shí)現(xiàn)立方體相容[72].在符號(hào)(26)式下, 兩個(gè)方程分別表示為

方程(39)在變換u→ (?1)nu下成為(40)式.

圖5 離散 sine-Gordon 和勢(shì) mKdV 方程的相容立方體Fig.5.The consistent cube for the discrete sine-Gordon equation and potential mKdV equation.

將方程(39)和方程(40)以如下方式放置于立方體的6個(gè)面:

ABS方程和離散Boussinesq型方程都是利用同一方程構(gòu)成相容立方體, 而上面這個(gè)例子說(shuō)明允許用 不同的方程構(gòu)成相容立方體.文獻(xiàn)[73]給出了更多的例子.Adler等[74]和Boll[75]對(duì)這種情況進(jìn)行了討論.詳細(xì)結(jié)果列于Boll[76]的博士學(xué)位論文中.

2.6 高維的多維相容方程

對(duì)于定義在6面體上的8點(diǎn)3維(標(biāo)量)離散方程, 如圖6(a), 目前已知的具有四維相容性(見圖7)的方程有[34]

圖6 定義 3 維方程的 6 面體以及 8 面體Fig.6.Cube and octahedron for 3D equations.

圖7 圍繞超立方體的 4D 相容性Fig.7.4D consistency around the hyper cube.

對(duì)于定義在8面體上的6點(diǎn)3維離散方程, 如圖6(b), 要求這些方程具有4維相容性, Adler等[77]于2011年進(jìn)行了分類.滿足條件的方程共有5個(gè):

這些方程可以存在方向參數(shù), 但是這些參數(shù)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q移除.這些方程均已經(jīng)出現(xiàn)于早期的文獻(xiàn)中.如: (42a)式是離散的 BKP 方程, 又稱為 Miwa方程[78]; (42b)式被認(rèn)為是離散Schwarzian BKP, 首先從幾何中得到[79]; (43a)式由 Hirota[80]在 1981年給出, 又稱為離散廣義Toda 方程; (43b)式, (43c)式和 (43d)式分別稱為離散Schwarzian KP、離散勢(shì)KP和離散modified KP方程, 最早由 Nijhoff等系統(tǒng)構(gòu)造 (見文獻(xiàn)[20]中 (4)式和 (23)式和文獻(xiàn) [22]中 (4.16)式);(43e)式由 Date等于 1982年獲得 (見文獻(xiàn) [13]中(N-1)方程).

3 多維相容性的應(yīng)用

“多維相容性”不僅作為一類離散系統(tǒng)的可積性的理解, 還提供了研究手段, 可用于構(gòu)造離散可積系統(tǒng)的B?cklund變換、Lax對(duì)、精確解等等.

3.1 B?cklund變換

B?cklund變換始于對(duì)偽球面的構(gòu)造.Bianchi[81]首先證明了B?cklund給出的含任意參數(shù)的變換 可以保持sine-Gordon方程不變.變換不僅是引入離散變量的一個(gè)渠道, 也是聯(lián)系離散與連續(xù)的一座橋梁.通常, auto-B?cklund 變換指同一方程的解之間的變換, nonauto-B?cklund變換指不同方程的解之間的變換.

“多維相容性”提供了非常直觀的構(gòu)造auto-B?cklund變換的方法.對(duì)于任意具有3維相容性的方程(30), 將其置于相容立方體的6個(gè)面中, 如圖8所示.

圖8 相容立方體Fig.8.The consistent cube.

底面和頂面的方程分別為

自然地構(gòu)成方程(44a)的一個(gè)B?cklund變換.對(duì)于H1方程(33a)來(lái)說(shuō), 多維相容性為它提供的B?cklund變換是(28)式.

即使是對(duì)于兩個(gè)方程合作構(gòu)成相容立方體時(shí),上述思想依然有效.對(duì)于離散sine-Gordon方程(39)和離散勢(shì)mKdV方程(40)而言, 它們合作構(gòu)成相容立方體(見(41)式).此時(shí), 左側(cè)和后側(cè)的兩個(gè)方程, 即

構(gòu)成離散sine-Gordon方程(39)的B?cklund變換.不過(guò)這個(gè)變換沒有對(duì)稱性.

多維相容性也可以用于構(gòu)造不同方程間的nonauto-B?cklund 變換.下面以 Q2 和 Q1(d)為例來(lái)解釋如何利用相容立方體建立nonauto-B?cklund 變換.首先, 將 Q2 方程 (33g)置于相容立方體的6個(gè)面.然后在頂層方程0中引入關(guān)系

對(duì)方程乘以?2以后取極限?→0 , 頂層方程變?yōu)?/p>

即Q1(d).此時(shí), 立方體的左側(cè)和后側(cè)的兩個(gè)方程,經(jīng)過(guò)替換(47)式以及取極限以后, 得到

這就是Q2與Q1(d)之間的nonauto-B?cklund變換.

2008年, Atkinson構(gòu)造了ABS方程之間一系列 nonauto-B?cklund變換, 詳細(xì)結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn) [73]中表3 .除了上述方法, B?cklund 變換可以利用Yang-Baxter映射以及ABS方程的分解性質(zhì)來(lái)構(gòu)造, 相關(guān)內(nèi)容讀者可以分別參考文獻(xiàn)[82]和文獻(xiàn)[83].

3.2 Lax對(duì)

眾所周知, B?cklund變換與Lax對(duì)存在密切聯(lián)系, 對(duì)于多維相容系統(tǒng)來(lái)說(shuō), 這種聯(lián)系更加直接.下面以H1方程(33a)為例, 利用其3維相容性引出的B?cklund變換構(gòu)造它的Lax對(duì).

將H1的B?cklund變換(28)式改寫為

引入Φ=(g,f)T, 上式改寫為

式中γi可視為 分式線性形式(50)式寫成矩陣形式(51)式后保留的原分子、分母的公因子, 一般取為對(duì) 于 H1 來(lái) 說(shuō),γi可以取為任意常數(shù).相容性引出

計(jì)算后可得H1方程(33a).

在 H1的 Lax對(duì) (51)式中, 取Φ=(?1,?2)T,γ1=γ2=1, 從中消去?1, 得到

此為H1方程譜問題的標(biāo)量形式.由此出發(fā) 可以構(gòu)造H1方程的無(wú)窮守恒律[84].

上面以H1為例給出了利用B?cklund變換構(gòu)造Lax對(duì)的方法, 事實(shí)上, 所有的ABS方程都具有相同結(jié)構(gòu)的Lax對(duì), 且存在一般形式.具體地,對(duì)于任一 ABS方程其 Lax對(duì)為(參考文獻(xiàn)[85])

γ1=顯然, 將矩陣譜問題改寫成標(biāo)量形式后, 可以發(fā)現(xiàn)所有的ABS方程都具有類似于(53)式的二階離散譜問題.

通常, 對(duì)于由一個(gè)方程構(gòu)成相容立方體時(shí), 由于方程的對(duì)稱性, 其B?cklund變換具有對(duì)稱性,Lax對(duì)也具有對(duì)稱性, 即在上式M中, 將換為, 即得到N.在文獻(xiàn)[86]中搜集了更多的利用3維相容性構(gòu)造Lax對(duì)的例子.對(duì)于由兩個(gè)方程構(gòu)成相容立方體時(shí), 例如2.5節(jié)中的離散sine-Gordon方程和勢(shì)mKdV方程, 由它們的相容立方體構(gòu)造的離散sine-Gordon方程的B?cklund變換具有非對(duì)稱性, 由此引出的離散sine-Gordon方程的Lax對(duì)也是非對(duì)稱的:

3.3 孤子解

下面以離散勢(shì)KdV (即H1)方程(33a)為例,演示如何通過(guò)其B?cklund變換構(gòu)造單孤子解(1-soliton solution (1SS)).首先需要一個(gè)種子解.取

不難發(fā)現(xiàn)

是方程(33a)的一個(gè)解, 其中γ是任意常數(shù).

方程 (33a)的 B?cklund 變換是 (28)式, 即

相應(yīng)于參數(shù)化(56)式, 這里取r=?k2.取u為(57)作為種子解, 設(shè)新解形如

v是待定函數(shù).將(59)式和(57)式代入B?cklund變換(58)式得到

引入v=f/g和Φ=(f,g)T, 將 (61)改寫為

其中ρ0,0為常數(shù), 從 (63) 式可得

重新定義常數(shù)ρ0,0后, 有

代入到(59)式, 離散勢(shì)KdV方程(33a)的1-孤子解為

依據(jù)上述過(guò)程, 若利用B?cklund 變換獲得2-孤子解顯然不容易.但是1-孤子解的結(jié)構(gòu)往往可以“暗示”一些2-孤子解的結(jié)構(gòu)信息, 有助于發(fā)現(xiàn)合適的變換公式將離散方程雙線性化, 并進(jìn)一步獲得N-孤子解.相關(guān)內(nèi)容可以參考文獻(xiàn) [38, 87, 88].

3.4 0-孤子解與不動(dòng)點(diǎn)方法

對(duì)于 (33)式中所列的 ABS方程,u=0 一般都不是解, 而且也不易明顯看出一些簡(jiǎn)單的解.“不動(dòng)點(diǎn)方法”是在B?cklund 變換的基礎(chǔ)上求解0-孤子解的方法.從上一節(jié)的求解過(guò)程來(lái)看, 對(duì)于方程的 B?cklund 變換 (3.1),其中的參數(shù)r是孤子參數(shù), 將作為離散譜在中引出一個(gè)孤子.現(xiàn)在, 如果孤子參數(shù)r在變換中“失效”, 即=u, 則有

由此變換引出的原方程的解應(yīng)當(dāng)是最簡(jiǎn)單的, 可以作為0-孤子解.

對(duì)于 H1 方程 (33a), 有

由此很容易得到

即(57)式.

對(duì)于 Q1(d)方程 (33f), 在T(u)=u+c下不變, 對(duì)于的B?cklund變換(69)式有

經(jīng)過(guò)參數(shù)化 (p,q)→ (α,β) :

可得Q1(d)的線性0-孤子解:

其中λ是任意常數(shù).此外, Q1(d) 方程 (33f), 還在T(u)=?u下不變.此時(shí)的B?cklund變換(69)式給出

經(jīng)過(guò)參數(shù)化 (p,q)→ (α,β) :

上述所描述的過(guò)程稱為“不動(dòng)點(diǎn)方法”.首先用于構(gòu)造Q4方程的種子解[89], 其后又系統(tǒng)地應(yīng)用于其他 ABS方程 0-孤子解的構(gòu)造[37,38].當(dāng)然, 也可以利用其他的方法構(gòu)造0-孤子解, 例如, 利用方程間的B?cklund變換(如(48)式), 從一個(gè)方程的0-孤子解得到另一個(gè)方程的0-孤子解.

4 結(jié) 論

通過(guò)簡(jiǎn)單的描述和例子介紹了多維相容性的概念及其在離散可積系統(tǒng)中的應(yīng)用.對(duì)于多維相容性, 存在一定的幾何背景, 換言之, 經(jīng)典的初等幾何中的點(diǎn)線之間的關(guān)系蘊(yùn)含著若干離散可積系統(tǒng)的多維相容性(如文獻(xiàn)[79,90]).此外, 多維相容性也可以從平面波因子的對(duì)稱性來(lái)理解.Miwa映射提供的離散的平面波因子[78]

在各個(gè)方向上具有對(duì)稱性; 考慮到不少離散可積系統(tǒng)可以從平面波因子出發(fā)通過(guò)Cauchy矩陣方法[37,45]等途徑來(lái)構(gòu)造, 不難理解由此獲得的離散可積系統(tǒng)具有多方向上的相容性.

對(duì)比連續(xù)系統(tǒng), 目前, 離散可積系統(tǒng)在代數(shù)結(jié)構(gòu)和工具、幾何背景、離散的分析工具等方面都仍待發(fā)展.例如, 基于譜問題、零曲率方程和Kac-Moody代數(shù)的連續(xù)可積系統(tǒng) 理論并不適用于離散系統(tǒng), 許多連續(xù)意義下的幾何體系仍未實(shí)現(xiàn)離散化, 離散的復(fù)分析也尚未成熟.

對(duì)于離散可積系統(tǒng)的研究也是一個(gè)在不斷認(rèn)識(shí)離散可積性、發(fā)展研究方法和工具、與新興數(shù)學(xué)工具結(jié)合(如Tropical幾何、Cluster代數(shù)等)的過(guò)程.關(guān)于離散可積系統(tǒng)中值得關(guān)注的發(fā)展與研究方向, 建議讀者關(guān)注SIDE會(huì)議的網(wǎng)站.