潘昌昌 Baronio Fabio 陳世華?

1) (東南大學(xué)物理學(xué)院, 南京 211189)

2) (Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione, Università di Brescia, Via Branze 38, 25123 Brescia, Italy)

從微觀角度上講, 單個(gè)極端異常波事件可視為可積模型方程的時(shí)空局域有理函數(shù)解.本文主要討論了三類典型的可積諧振相互作用模型(即長波短波諧振方程, 三波諧振相互作用方程, 非線性薛定諤和麥克斯韋-布洛赫方程)的基階Peregrine異常波解及其相關(guān)研究進(jìn)展; 明確指出了這些基階異常波解形式具有普適性,可推廣應(yīng)用到多分量或更高階的可積模型中; 借助數(shù)值模擬, 還展示了共存異常波、互補(bǔ)異常波、以及自感應(yīng)透明Peregrine孤子等新穎動(dòng)力學(xué).

專題：非線性物理

1 引 言

瘋狗浪 (rogue wave, RW), 又稱畸波 (freak wave)、怪波 (monster wave)、極端波 (extreme wave)、異常波 (abnormal wave)、殺人波 (killer wave)、水墻 (walls of water)等, 最初專指海洋上發(fā)生的一類稀有的且破壞力極大的暫態(tài)巨浪事件[1?3].它不期而至出現(xiàn)在某個(gè)地方, 掀起滔天巨浪, 然后消失得無影無蹤, 因此獲得了“深海怪獸”的綽號(hào) (the real monsters of the deep)[4].二三十年前, 這種神秘的瘋狗浪事件還只是老水手之間的傳說.現(xiàn)在, 實(shí)時(shí)的衛(wèi)星觀測(cè), 輔以先進(jìn)的理論和實(shí)驗(yàn)研究, 已經(jīng)確切證實(shí)了這種怪浪真的存在, 而且經(jīng)常發(fā)生.最為典型的例子是1995年元旦在北海德勞普納(Draupner)海上平臺(tái)檢測(cè)到的時(shí)稱“萬年一遇”巨浪, 后來稱之為“新年浪”, 其掀起的水墻就有26 m之高[1].

學(xué)術(shù)界對(duì)瘋狗浪的研究是落后的, 到今天, 連各方都能接受的嚴(yán)格定義都還沒有[3,5?7], 即使在稱呼上, 也是五花八門.鑒于此類極端波事件研究已擴(kuò)展至多個(gè)學(xué)科, 如非線性光學(xué)[8]、流體動(dòng)力學(xué)[9]、等離子體物理[10,11]、聲學(xué)[12]、玻色-愛因斯坦凝聚[13?16]、甚至金融學(xué)[17], 再沿用“瘋狗浪”的稱呼將變得不合時(shí)宜.因此, 本文將采用更中性的術(shù)語“異常波”(RW)來統(tǒng)稱這類極端波事件.

在自然界, 哪些事件可以稱之為異常波呢? 經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)特別是近十年的研究, 科學(xué)家們概括出了異常波所普遍具有的基本特征[5], 其中包括:1)具有巨大的峰振幅, 通常是有效波高的2倍以上(在海洋學(xué)里面, 有效波高是指某片海域內(nèi)最高的三分之一海浪的平均高度)[9,18]; 2)不可預(yù)測(cè)性, 從某種意義講, 異常波似乎來無影去無蹤[19];3)具有L型的波振幅統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 即異常波的出現(xiàn)概率比常規(guī)高斯或瑞利統(tǒng)計(jì)所預(yù)測(cè)的要更頻繁[20,21].上述三個(gè)基本特征目前已廣泛用于異常波現(xiàn)象的學(xué)術(shù)定義、分析和討論.這也決定了異常波的科學(xué)研究存在“微觀”和“宏觀”兩種方式.

從微觀角度來看, 異常波可視為可積非線性偏微分方程的確定有理函數(shù)解, 其形式上表現(xiàn)為一類時(shí)間和空間雙局域的波包, 以反映其不可預(yù)測(cè)特性[9,22,23].特別地, 一個(gè)偏微分方程的解具有如下特征時(shí)可以視為基階(或一階)異常波[23,24]: 1)該解的?？捎糜欣砗瘮?shù)來表示, 且在時(shí)間和空間上都是局域的; 2)該解在時(shí)空上通常表現(xiàn)為一個(gè)3倍背景振幅的波峰, 并伴有兩個(gè)側(cè)洞形成.典型的例子就是 Peregrine孤子, 其由 Peregrine教授[25]于1983年首次提出, 當(dāng)時(shí)作為標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger, NLS)方程的基階有理函數(shù)解.由于該概念能很好地解釋實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的單個(gè)極端波事件, 因此Peregrine孤子被普遍認(rèn)為是最簡單的異常波原型[26], 并相繼在非線性光纖[27]、水波池[18]、等離子體[28]以及不規(guī)則的海洋波態(tài)[29]中觀測(cè)到.但另一方面, 在很多情形下, 各種色散波會(huì)相互作用, 產(chǎn)生極端復(fù)雜的湍流行為, 繼而產(chǎn)生異常波[30,31].很自然, 由于湍流背景涉及大量的自由度, 這時(shí)人們需要用統(tǒng)計(jì)(即宏觀)的方法來研究其中的異常波行為[32].在探索極端波事件本質(zhì)特征上, 這兩種研究方式相輔相成, 相得益彰[8,9].

本文將關(guān)注前者, 從可積模型視角上審視異常波事件的產(chǎn)生和演化動(dòng)力學(xué).事實(shí)上, 在非線性科學(xué)中, 現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)設(shè)置和傳播介質(zhì)的多樣性需要形式更廣的可積模型[23], 而不僅僅是簡單的NLS方程.下面列舉幾個(gè)光學(xué)方面的理由.首先, 在很多光學(xué)晶體中, 主導(dǎo)非線性效應(yīng)的是二次非線性系數(shù), 而不是三次 (或 Kerr)非線性項(xiàng)[33,34].其次, 對(duì)于飛秒激光脈沖, 基本方程模型還必須考慮進(jìn)高階色散和高階非線性項(xiàng), 以便能更準(zhǔn)確地描述其傳播動(dòng)力學(xué)[35].對(duì)于色散管理或非線性管理光學(xué)系統(tǒng)(如色散漸減光纖), 人們還需要考慮變系數(shù)非線性模型[36,37].此外, 相互作用光場(chǎng)的矢量特性與傳播介質(zhì)的多維度特性也要求我們考慮一些耦合的或者高維的數(shù)學(xué)模型, 例如, 當(dāng)考慮雙折射光纖的脈沖傳播[38,39]或者光學(xué)晶體的光波相互作用[40]時(shí).最后, 對(duì)于一些耗散系統(tǒng)如鎖模光纖激光器[41,42],還需要額外考慮進(jìn)耗散項(xiàng)(如增益[43]), 盡管此時(shí)該模型方程 (通常為復(fù)數(shù) Ginzburg-Landau方程[44,45])將不再可積.所有這些現(xiàn)實(shí)要求造就了眾多的可積(或近可積)數(shù)學(xué)模型, 并持續(xù)推動(dòng)理論工作者從事此類模型的求解工作[46?49].

據(jù)我們所知, 絕大多數(shù)可積模型都允許有理數(shù)式的異常波解存在, 除了少數(shù)實(shí)場(chǎng)的波方程(例如經(jīng)典Korteweg-de Vries (KdV) 方程[23], Kadomtsev-Petviashvili II 方程[50]等) 外.這其中比較著名的可積模型包含有 NLS方程[51]、Hirota方程[52]、Sasa-Satsuma 方程[53,54]、Chen-Lee-Liu 方程[55,56]、Fokas-Lenells方程[57?59]、復(fù)數(shù) modified KdV 方程[60?62]、廣義 NLS 方程[63?66]等, 它們的基階和高階異常波解均已獲得.相應(yīng)地, 耦合或矢量可積模型也得到了廣泛的關(guān)注, 如Manakov系統(tǒng)[67?69]及其推廣[70?72]、Davey-Stewartson 方程[73,74]等.數(shù)學(xué)上, 對(duì)于可積模型而言, 這些異常波解可以借助逆散射變換[75]、達(dá)布 (Darboux)變換[76]、Hirota 雙線性方法[77]、Riemann-Hilbert方法[78,79]、或同宿波嘗試法 (homoclinic test method)[80]來求解得到.至于非可積模型, 人們可以用微擾論[81,82]或者變分法[83]來近似求解.

異常波是一個(gè)快速發(fā)展的領(lǐng)域, 其話題的多樣性可參看最新的綜述論文[84,85].特別是最近幾年,各種異常波新現(xiàn)象、新特性被預(yù)測(cè)或觀測(cè)到.例如,繼2016年觀測(cè)到光學(xué)暗異常波后[86], Baronio等[87]又成功在通信光纖上觀測(cè)到了暗三姊妹異常波, 其演化動(dòng)力學(xué)與Chen等[38]在2014年所做的解析預(yù)測(cè)完全一致.2017年, Peregrine孤子的普適性得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[88], 次年, 周期背景Peregrine孤子[89]以及反常Peregrine孤子[90]等概念又相繼提出.此外, 在異常波機(jī)制闡釋上, 調(diào)制不穩(wěn)定性(modulation instability, MI)和可積湍流是兩個(gè)長期存在的話題, 得到了持續(xù)的關(guān)注[8,91].值得一提的是, 2016年Soto-Crespo等[32]揭示了孤子湍流在異常波產(chǎn)生上扮演了一個(gè)常被忽視的重要角色.所有這些新發(fā)現(xiàn)均加深了人們對(duì)異常波本質(zhì)的理解.

本文將綜述幾類典型的可積諧振相互作用模型的異常波求解及相關(guān)研究進(jìn)展.它們分別是長波短 波 (long-wave short-wave, LWSW)諧 振 方程[92], 三波諧振相互作用 (three-wave resonant interaction, TWRI)方程[40,93], 和非線性薛定諤和麥克斯韋-布洛赫 (NLS and Maxwell-Bloch, NLSMB)方程[94,95].前兩個(gè)可積模型可描述光波之間的諧振相互作用, 后一個(gè)模型則描述光波與諧振介質(zhì)之間的相互作用.對(duì)于每一個(gè)可積諧振系統(tǒng), 文中將給出其Lax對(duì)、達(dá)布變換、基階Peregrine RW解, 以及數(shù)值模擬驗(yàn)證, 并展示其新穎的異常波動(dòng)力學(xué).當(dāng)然, 還有其他可積諧振方程, 如 AB 模型[96]、MTM(massive Thirring model)方程[97,98]等, 它們也存在異常波解, 但由于篇幅關(guān)系, 這里不一一敘述.

本文的結(jié)構(gòu)組織如下.第1節(jié)為引言部分, 給出了異常波的背景知識(shí)和最新研究動(dòng)態(tài).第2節(jié)討論了LWSW方程的基階異常波解, 數(shù)值展示了共存異常波概念.第3節(jié)討論了TWRI方程的基階異常波解, 分析了互補(bǔ)型異常波的動(dòng)力學(xué).第4節(jié)討論了NLS-MB方程的基階異常波解, 演示了自感應(yīng)透明的光學(xué)Peregrine孤子和時(shí)空互補(bǔ)的物質(zhì)波異常波動(dòng)力學(xué).第5節(jié)為全文總結(jié).

2 長波短波諧振系統(tǒng)

在耦合波動(dòng)力學(xué)中, 長波短波(LWSW)諧振是一個(gè)典型的參量諧振過程, 通常發(fā)生于高頻短波的群速度與低頻長波的相速度匹配之時(shí).早在1972年, Zakharov[99]在研究等離子體物理中的非線性朗繆爾波坍縮時(shí)就引入了LWSW諧振機(jī)制 ,五年后, Benney[100]給出了LWSW相互作用方程.作為一個(gè)重要的物理機(jī)制, LWSW諧振現(xiàn)象迅速在物理的各個(gè)分支得到了廣泛的研究, 如流體動(dòng)力學(xué)中重力波與毛細(xì)波之間的相互作用[101], 負(fù)折射率光學(xué)介質(zhì)中的簡并基頻波與差頻波的三波混頻過程[102]等.特別地, 2010年, Shats等[103]在實(shí)驗(yàn)上直接觀測(cè)到了毛細(xì)波異常波事件, 這一事實(shí)推動(dòng)了人們對(duì)LWSW諧振介質(zhì)中各類異常波事件的研究[104,105].

LWSW諧振方程是一個(gè)基本的可積模型, 其歸一化形式可寫為[102]

式 中u(z,t) 和?(z,t) 分別表示短波和長波分量,z和t為空間和時(shí)間變量, 下標(biāo)則表示偏導(dǎo)數(shù).該可積方程可等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè) 3 ×3 線性本征值問題:

式中λ為任意譜參數(shù),U0=diag(2i,0,?2i) ,V0=diag(?2i/3,4i/3,?2i/3),

為簡潔起見, 這里所有函數(shù)的 (z,t) 變量已省略掉.據(jù)此可以構(gòu)造出正確的達(dá)布變換式[106]:

式中 (u0,?0) 和 (u,?) 分別表示方程(1)的種子解和新解, Im 表示取虛部,

在上述公式中,λ為某個(gè)給定的譜參數(shù)值,σ1為第一個(gè)泡利算符的 3 ×3 版形式, 星號(hào)*表示復(fù)共軛,劍 號(hào) ? 表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.這里已經(jīng)假設(shè)s(?λ)=s(λ)和w(?λ)=w(λ) , 但r(?λ)=r(λ)+2λw(λ).因此, 容易發(fā)現(xiàn),α,β和γ滿 足α+β=γ+β?和λ(α?β?)+λ?(α+β)=0[106].

利用Lax對(duì)(2)式以及達(dá)布變換(3)式和(4)式,人們可以求出LWSW方程(1)的各類RW解.具體推導(dǎo)過程可參看文獻(xiàn)[92,106,107].這里僅提供其基階RW解, 如下:

式中u0(z,t)=aexp(iωt? ikz)為初始的平面波解,k=ω2/2?b為其色散關(guān)系式, 實(shí)數(shù)b為長波分量的背景高度(通?？稍O(shè)其值為0).這里實(shí)數(shù)m和n由下面兩個(gè)代數(shù)方程確定:

異常波解(5)式和(6)式展示了豐富的異常波動(dòng)力學(xué), 如黑異常波[92,107](注: 所謂“黑異常波”是指振幅中心下陷至零的一類有限背景雙局域波包結(jié)構(gòu)).特別地, 在文獻(xiàn) [92]中, 作者借助解析預(yù)測(cè)和數(shù)值模擬, 分析了LWSW模型背景場(chǎng)的調(diào)制不穩(wěn)定性(MI), 指出了上述基階RW波的參數(shù)存在區(qū) 間 , 即ω3ωn/2=3(2a2)1/3/2 , 其 恰 好 位 于MI圖的基帶 (baseband)區(qū), 參看文獻(xiàn) [92]圖5.此后, Baronio等[68,108]明確提出了MI的基帶理論,即異常波只能存在于MI的基帶區(qū), 而不是通頻帶(passband)區(qū).現(xiàn)在已證明, 這一理論可用于解析確定可積甚至非可積非線性系統(tǒng)的異常波解參數(shù)存在區(qū)間[23].

值得注意的是, 基階RW解(5)式和(6)式是可以推廣到多分量LWSW方程中去的.例如, 對(duì)于兩短波分量LWSW方程[109]:

其基階RW解中的u和?分量依然用(5)式和(6)式來表示,v短波分量可類似表示為

式中v0(z,t)=Aexp(i?t? iKz)表示v分量的初始平面波解 (相應(yīng)色散關(guān)系為K=?2/2?b).同時(shí),確定實(shí)數(shù)m和n的兩個(gè)代數(shù)方程變?yōu)?

很顯然, 當(dāng)v場(chǎng)消失時(shí) (即A=0 ), 兩短波分量LWSW方程(9)約化為基本LWSW方程(1).相應(yīng)地, 其基階解將變回(5)式和(6)式的形式, 同時(shí)代數(shù)方程(11)和(12)也變回方程(7)和(8)的形式.

相比簡單的LWSW諧振系統(tǒng), 多分量LWSW可積系統(tǒng)將存在有趣的共存異常波現(xiàn)象.所謂共存異常波指的是在相同的背景場(chǎng)中同時(shí)發(fā)生兩類不同結(jié)構(gòu)的確定性異常波事件, 且它們均是可積模型的有理函數(shù)解.例如, 對(duì)于給定的a=A=1 ,ω=0 ,和?=?1.2469 時(shí), 方程(11)和(12)將給出兩組有效值 (m,n)=(?1.3514,0.7803) 和 (–0.4287,0.6442).很 顯 然 , 把 每 組 (m,n) 值 代 入 (5)式 , (6)式 和(10)式中將得到基于相同背景參數(shù)的兩種基階RW解.圖1左列和中列給出了這兩類RW解在初始白噪聲微擾情況下的數(shù)值模擬結(jié)果.很顯然,在足夠的距離里, 它們各自均能完美展開, 盡管這時(shí)候MI已然發(fā)揮作用.

另一方面, 人們也許會(huì)問, 這兩類RW解能否在現(xiàn)實(shí)條件下共存呢? 為此, Chen等[109]做了廣泛的數(shù)值激發(fā)實(shí)驗(yàn).具體上, 選取z=0 的平面波解作為u和v的初始條件, 并令?=0.4cos(2πt/40)×sech[(t?2)/8], 然后利用分步傅里葉算法數(shù)值積分模型方程(9), 計(jì)算結(jié)果如圖1右列所示(圖中已去掉前五個(gè)單位距離的波演化輪廓圖, 因?yàn)槌跏茧A段MI引起的波結(jié)構(gòu)不是很明顯).可以清晰地看到, 在z=10 附近, 同一背景中同時(shí)出現(xiàn)了兩種明顯不同的異常波結(jié)構(gòu), 它們均和方程(9)的解析解完全一致.隨后, 由于 MI不斷增強(qiáng), 背景場(chǎng)中將出現(xiàn)多異常波動(dòng)力學(xué), 但所有這些動(dòng)力學(xué)都是上述兩種異常波類型的組合.

3 三波諧振相互作用系統(tǒng)

圖1 數(shù)值模擬驗(yàn)證初始白噪聲微擾下的基階RW解(5)式, (6)式和 (10)式的穩(wěn)定性, 左列圖對(duì)應(yīng)(m,n)=(?1.3514,0.7803),中列圖對(duì)應(yīng) ( m,n)=(?0.4287,0.6442) .右列圖顯示這兩類RW結(jié)構(gòu)在同一背景場(chǎng)中的數(shù)值激發(fā).圖改編自文獻(xiàn)[109]Fig.1.Simulations confirm the stability of the fundamental RW solutions (5), (6), and (10) against initial white noise perturbations.Left column: ( m,n)=(?1.3514,0.7803) ; Middle column: ( m,n)=(?0.4287,0.6442) .The right column shows the numerical excitation of such two rogue wave families from the same background field.Figure adapted from Ref.[109].

眾所周知, 三波諧振相互作用(TWRI)在非線性科學(xué)中扮演著重要的角色[110].例如, 在非線性光學(xué)中, TWRI可描述不同的光學(xué)過程, 如參量放大[111]、頻率轉(zhuǎn)換[112]、受激拉曼散射[113]、受激發(fā)布里淵散射[114]等.此外, TWRI還可用來實(shí)現(xiàn)光脈沖的群速度控制[115]、超短脈沖列產(chǎn)生[116]、參量三波孤子產(chǎn)生[117]以及激光-等離子體相互作用[118]等.早在20世紀(jì)70年代, 人們就建立了TWRI控制方程的可積性, 并給出了其孤子解[110].不同于大家所熟悉的二次孤子情形[119], 此類相干孤子主要產(chǎn)生于由非線性效應(yīng)引起的能量交換與由群速度不匹配所引起的對(duì)流之間的平衡[40].它們最終能以一個(gè)共同的(鎖定的)速度傳播, 盡管其三個(gè)波分量在相互捕獲之前的群速度可以互不相同[120].這種特性使得這類TWRI孤子在應(yīng)用中相當(dāng)誘人,這是因?yàn)橛扇核俣炔黄ヅ涠鸬淖呱⑿?yīng)(walk-off)此時(shí)能被非線性耦合抵消掉.

在弱色散近似下, TWRI方程的基本形式可表示為[110]:

式中u1,2,3(z,t) 是三個(gè)光場(chǎng)的慢變復(fù)包絡(luò)函數(shù),V1,2,3為其相應(yīng)的群速度常數(shù).下面不妨假定V3=0, 此即意味著模型(13)是建立在隨u3場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的參照系上.一般地, 當(dāng)V1>V2時(shí), 該 TWRI模型將允許孤子交換(soliton exchange)動(dòng)力學(xué)(在非線性光學(xué)語境中, 又稱為參量三波混頻過程)得以存在, 但當(dāng)V1

該方程具備完全可積性[110], 因此具有下面的Lax對(duì)形式:

式 中λ為任意譜參數(shù) ,U0=diag(?2i,i,i) ,V0=

相應(yīng)地, 其達(dá)布變換式可以表示為[121]:

式中un0和un(n=1,2,3) 分別表示方程(13)的種子解和新解,λ為某個(gè)任意給定的譜參數(shù)值,σ3=diag(1,Γ1,Γ2),Γj=Vj/(V1?V2)(j=1,2) .

考慮到三波諧振相互作用條件(即動(dòng)量和能量守恒), 初始的平面波種子解可以表示為:

利用上面的Lax對(duì)(14)式和達(dá)布變換(15)式,很容易得到TWRI方程的基階RW解[93](借助達(dá)布變換求解基階或高階異常波解的詳細(xì)過程可參看我們近期發(fā)表的論文[64,67,72]):

毫無疑問, 人們會(huì)問, TWRI方程的簡并情形(此時(shí)V1=V2=V)是否存在RW解呢? 這似乎很難從上面的達(dá)布變換式尋求答案, 因?yàn)樵谶@種情形下, Lax 對(duì) (14)式將變得無意義.但顯然, 簡并TWRI方程依然是可積的, 因此其RW解是可能存在的.最近, 文獻(xiàn)[122]采用另一個(gè)策略來回答這個(gè)問題, 也就是, 對(duì)廣義解(17)式取如下極限:V2→V1=V, 成功得到了簡并TWRI方程的基階RW解:

此意味著u1分量和u2分量的強(qiáng)度和總是不變的,不管它們各自的時(shí)空結(jié)構(gòu)如何變化.換句話說, 它們是時(shí)空互補(bǔ)的, 因此稱為互補(bǔ)異常波[122].

文獻(xiàn)[122]給出了互補(bǔ)型異常波的數(shù)值模擬結(jié)果, 見圖2.具體來說, 作者將三個(gè)場(chǎng)分量的實(shí)部和虛部分別乘以因子 [ 1+εri(z)] (這里,i=1,···,6 ,ri為均值為0、方差為1的隨機(jī)分布函數(shù),ε為噪聲強(qiáng)度參數(shù)), 然后采用分步Fourier算法對(duì)TWRI模型進(jìn)行數(shù)值積分.圖2左列為未添加白噪聲(ε=0 )的模擬結(jié)果, 右列為添加了白噪聲(ε=10–8) 的模擬結(jié)果.可以看到, 在微小的擾動(dòng)下, 所有三個(gè)異常波分量依然可以在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定傳播, 直到連續(xù)波背景的MI顯著增長為止.

實(shí)驗(yàn)上, 我們預(yù)期這類亮-暗型的雙色互補(bǔ)型異常波有可能在雙模光纖上得以實(shí)現(xiàn).這是因?yàn)?光波在雙模光纖里傳播時(shí), 很容易發(fā)生前向受激布里淵散射過程[123]; 在這種情況下, 泵浦光和斯托克斯(Stokes)光的群速度幾乎相同, 而相比之下, 聲波的速度可近似為零, 三者滿足簡并TWRI方程所需要的模間耦合條件, 從而出現(xiàn)上面提到的雙色互補(bǔ)型異常波動(dòng)力學(xué)[122].

圖2 互補(bǔ)型基階 RW 解 (18) 式的數(shù)值模擬結(jié)果.左列圖: 未微擾情形; 右列圖: 白噪聲微擾情形.圖摘自文獻(xiàn) [122]Fig.2.Simulation results of the complementary fundamental rogue wave solutions (18).Left column: unperturbed; Right column:perturbed by initial white noises.Figure adapted from Ref.[122].

4 非線性薛定諤-麥克斯韋布洛赫方程

另一方面, 光波與非線性諧振介質(zhì)的相互作用也是一個(gè)經(jīng)久不衰的光學(xué)研究話題(注意區(qū)分上面講的LWSW, TWRI過程, 其通常發(fā)生在非諧振介質(zhì)的兩波或三波諧振相互作用)[124].而這其中最有名的莫過于光脈沖與兩能級(jí)原子或離子的相互作用, 即所謂的麥克斯韋-布拉赫(MB)耦合[125].正是由于這種諧振相互作用, 原本不透明(或吸收)的介質(zhì)在超短激光脈沖照射下將變得完全透明, 此即大家所熟知的自感應(yīng)透明現(xiàn)象[126].除了自感應(yīng)透明現(xiàn)象外, MB方程還可以產(chǎn)生面積為 2π 的基本sech型孤子[124].后來, 一些學(xué)者對(duì)MB系統(tǒng)做了推廣, 研究了摻鉺光纖中的脈沖傳播動(dòng)力學(xué)[127].在慢變包絡(luò)近似和旋波近似下, 該系統(tǒng)可用非線性薛定諤-麥克斯韋布洛赫(NLS-MB)方程來描述.下面就來討論這一有趣的可積模型及其基階RW解.

為方便討論, 把NLS-MB方程寫成如下無量綱形式[94,95]:

式中u(z,t) 表示光波復(fù)振幅,M和F表示物質(zhì)波的特征函數(shù)(具體講,M由諧振介質(zhì)密度矩陣的離對(duì)角元ρ12來確定, 為復(fù)函數(shù);F表示上下能級(jí)的布居差, 為實(shí)函數(shù), 二者滿足 |M|2+F2=1[95]),?為去諧頻率常數(shù).

同樣, 該可積方程可等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè) 2 ×2 線性本征值問題(Lax對(duì)):

式中各矩陣形式表示如下:

據(jù)此, 可以構(gòu)造正確的達(dá)布變換式[128]:

式中?=(2λ??)|r|2+(2λ???)|s|2,λ為某個(gè)給定 的 譜 參 數(shù) 值 , (u0,M0,F0) 和 (u,M,F) 分 別 表 示NLS-MB方程(20)的舊解和新解.

利用上面的Lax對(duì)和達(dá)布變換式, 并參照文獻(xiàn)[64,67,72]的做法, 可以很容易推得 NLS-MB方程(20)的基階RW解[95]:

式中κ=ω??,?=4iηz+1 ,θ=t?χz, 以及

這里初始的平面波解u0(z,t) ,M0(z,t) 和F0(z,t) 可定義為

另外, 很容易證明,F和M的時(shí)空分布滿足這表明物質(zhì)波組分具有與簡并TWRI系統(tǒng)相似的互補(bǔ)異常波特性[122].盡管上述RW解適用于任意b值, 但考慮 到 概 率 守 恒 條 件F2+|M|2=1 , 可 令b=其值取決于參數(shù)a和κ的取值.

圖3(a)展示了這些解析解的時(shí)空分布圖, 其初始參數(shù)為a=1.5 ,?=1/2 ,ω=0 .可以看出,光場(chǎng)分量顯示為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Peregrine孤子結(jié)構(gòu);比較而言, 物質(zhì)波分量M和F展示出更復(fù)雜的時(shí)空結(jié)構(gòu), 但二者滿足F2+|M|2=1 , 即時(shí)空互補(bǔ)性.此外, 為了評(píng)估異常波動(dòng)力學(xué)及其穩(wěn)定性,Chen等[95]采用指數(shù)時(shí)間差分 Crank-Nicolson(ETDCN)算法對(duì)模型方程(20)執(zhí)行了數(shù)值模擬,結(jié)果如圖3(b)所示.這里使用u(z=?1,t) 作為光場(chǎng)分量的初始條件, 而讓物質(zhì)波分量M和F分別取M0(z=?1,t) 和F0作為其初始值.這些初始條件對(duì)應(yīng)于對(duì)解析解(23)式的強(qiáng)烈擾動(dòng).結(jié)果表明,盡管自發(fā)性MI的發(fā)生呈指數(shù)增長, 并且傾向于干擾局域解的尾部部分, 但是異常波結(jié)構(gòu), 特別是對(duì)于光場(chǎng)分量, 均可以在相當(dāng)長的距離上展開而不失真.進(jìn)一步地, 為了驗(yàn)證這類RW結(jié)構(gòu)能否在真實(shí)條件下產(chǎn)生, 他們把光場(chǎng)的初始條件也換成平面波輸入, 考察此類RW解的數(shù)值激發(fā)情況.圖3(c)為其數(shù)值模擬結(jié)果, 清晰顯示了這些典型的RW結(jié)構(gòu)是可以激發(fā)產(chǎn)生的, 見圖中黑圈標(biāo)出部分.這些數(shù)值結(jié)果充分預(yù)示了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的可行性, 具體實(shí)驗(yàn)方案可參看文獻(xiàn)[95].

最后指出, 這里給出的基階RW解(23)式具有普適性, 可以推廣應(yīng)用到高階NLS-MB方程中去.例如, 對(duì)于下面的 Hirota-MB 方程[129]:

(23)式依然可以作為其基階RW解, 只需要把(24)式和 (26)式定義的k,η, 和χ參數(shù)換成如下形式即可:

圖3 NLS–MB方程的基階RW解(23)的時(shí)空演化, 其中(a)列圖對(duì)應(yīng)解析解的3D曲面和輪廓圖; (b)列圖為數(shù)值模擬結(jié)果,初始條件已文中給出; (c)列圖顯示這類異常波結(jié)構(gòu)在背景場(chǎng)中的數(shù)值激發(fā)產(chǎn)生, 已黑線圈出.圖改編自文獻(xiàn)[95]Fig.3.Spatiotemporal evolution of the fundamental rogue wave solutions (23) of the NLS–MB equation.Column (a): Analytical solutions, given by 3D surface and contour plots; Column (b) the numerical results, with initial conditions being specified in the text; The column (c) shows the numerical excitation of the rogue waves, indicated by the black circles, from the background field.Figure adapted from Ref.[95].

這里g和h為任意實(shí)常數(shù).不難看出, 當(dāng)h=0 和g=1時(shí), 上述 Hirota-MB方程及其RW解就回到了NLS-MB情形.

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)綜述了LWSW諧振方程, TWRI方程和NLS-MB方程這三類典型可積諧振模型的新穎異常波動(dòng)力學(xué)及其研究進(jìn)展.首先, 對(duì)于LWSW諧振系統(tǒng), 提供了其基階RW解的一般形式, 指出長波和短波之間的諧振相互作用能導(dǎo)致黑異常波的產(chǎn)生.特別地, 該基階RW解推廣到多分量LWSW系統(tǒng)時(shí), 可以產(chǎn)生有趣的共存異常波現(xiàn)象, 并得到了數(shù)值模擬驗(yàn)證.其次, 在 TWRI系統(tǒng)中, 給出了該可積模型的基階RW解, 指出該解可以適用三波混頻(V1>V2)和受激背散射(V1

這里附帶提一下.本文討論的簡并TWRI模型在一定條件下可以轉(zhuǎn)換成著名的sine-Gordon方程[130], 而后者與其他可積諧振模型如AB模型、MTM方程也有類似的轉(zhuǎn)換關(guān)系[131,132].因此可以預(yù)測(cè), 本文呈現(xiàn)的基階Peregrine RW解對(duì)其他可積諧振系統(tǒng)的異常波動(dòng)力學(xué)研究也將有參考借鑒作用.

感 謝 Philippe Grelu 教 授 、Jose M.Soto-Crespo 教授、Dumitru Mihalache教授、Stefan Wabnitz教授、上海理工大學(xué)劉一教授富有成效的合作和深入的討論.