數(shù)學(xué)游戲24點(diǎn)可行性最小值證明及通用算法

徐 品

(南陽農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南 南陽473000)

24點(diǎn)是一個(gè)數(shù)學(xué)益智游戲，傳統(tǒng)24點(diǎn)的規(guī)則是任意取4個(gè)1～10的整數(shù)，用加、減、乘、除(可加括號)把這4個(gè)數(shù)算成24，每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次。24點(diǎn)有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中游戲，在游戲中學(xué)習(xí)，一題多解還可以加強(qiáng)學(xué)生舉一反三的能力。24點(diǎn)有其獨(dú)特的數(shù)學(xué)魅力和豐富的內(nèi)涵，簡單易學(xué)，通常用撲克牌上的數(shù)字來進(jìn)行計(jì)算。撲克數(shù)學(xué)游戲的特點(diǎn)是教育功能性較強(qiáng)、趣味性強(qiáng)、易操作，游戲要素是參與者、工具、主題和規(guī)則。 經(jīng)過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，24點(diǎn)游戲有助于提高學(xué)生的專注力和心算能力。

1 游戲推廣及意義

在傳統(tǒng)24點(diǎn)的游戲規(guī)則下，有解率為87.47%，也就是平均每抽八組數(shù)字就有一組算不出24點(diǎn)。游戲中只有固定幾個(gè)較難的題目，例如：①1，3，4，6。②1，4，5，6。③1，5，5，5。④1，6，6，8。⑤3，3，7，7。⑥3，3，8，8。⑦4，4，7，7，有時(shí)需要用到分?jǐn)?shù)去解題。24點(diǎn)小游戲更多考驗(yàn)的是心算的快、精、靈、全，比較鍛煉思維能力，但游戲時(shí)常會(huì)隨著無解組合的出現(xiàn)而結(jié)束。對此，本研究嘗試設(shè)計(jì)出一種新的游戲規(guī)則：一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，J，Q，K，A均代表1點(diǎn)，可隨意抽取9張牌，利用加、減、乘、除(可加括號)把牌面上的點(diǎn)數(shù)算成24。

2 主要結(jié)果及其證明

主要定理：任意在1～10中(包含1、10)的9個(gè)數(shù)在用且僅能用一次的規(guī)則下均可通過加減乘除(可加括號)得到24。為證明這個(gè)定理，提出了以下引理：對于滿足2≤x1≤8,4≤x2≤10 的1,1,1,x1,x2，這5個(gè)數(shù)可通過四則運(yùn)算得到24。

證明過程分四步：

(1)2≤x1≤6,4≤x2≤9。一方面，2個(gè)1和x1可得到3和4，5≤x2≤9和1可得到6或8，故5≤x2≤9可以得到24；另一方面，3個(gè)1可以和x1得到6，故1,1,1,4,x1可以得到24。

(2)x1=7,4≤x2≤9。1和x1可得到6，兩個(gè)1和4≤x2≤6可得到4，再通過如下計(jì)算可得(2)成立：

(7×7-1)/(1+1)=24

(1+1)×(7+1)+8=24

(1+1)×9+7-1=24

(3)x1=8,4≤x2≤9。由于3個(gè)1和4≤x2≤9可得到3，故(3)成立。

(4)2≤x1≤8,x2=10。通過如下計(jì)算可知(4)成立：

(1+1+10)×1×2=24

(3-1+10)×(1+1)=24

(1+1)×10+4×1=24

(1+1)×10+5-1=24

(1+1)×(1+6)+10=24

(1+1)×7+10×1=24

(1+1)×(8-1)+10=24

主要定理的證明：對于9個(gè)1～10的整數(shù)，設(shè)其為x1≤x2≤…≤x9，現(xiàn)得出以下結(jié)論：

結(jié)論一：幾乎都可得到3個(gè)1(只有一種例外情形)?，F(xiàn)設(shè)計(jì)出以下算法A：(i)檢查1點(diǎn)數(shù)量，若1點(diǎn)數(shù)量大于等于3，則取出3個(gè)1，結(jié)束。(ii)若有相同的點(diǎn)數(shù)，將點(diǎn)數(shù)相除得到新點(diǎn)數(shù)1，返回(i)。若沒有相同的點(diǎn)數(shù)，取相鄰最近的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的差得到新點(diǎn)數(shù)1，返回(i)。由抽屜原理可知,若點(diǎn)數(shù)為2～10的數(shù)量大于等于6，則存在相鄰的牌點(diǎn)數(shù)小于等于1，那么以上算法中只有1，1，2，4，6，8，10這一組數(shù)不能得到3個(gè)1，但卻有1+1+2-4+6+8+10=24。

結(jié)論二：可以得到1，1，1，y1,y2,y3。對于其他情況，先挑出3個(gè)1，然后用算法B可以得到3個(gè)1和y1,y2,y3。算法B如下：(i)若只有3個(gè)點(diǎn)數(shù)，結(jié)束。(ii)若最大數(shù)與最小數(shù)之和小于等于10，則將二者相加，返回(i)。 若最大數(shù)與最小數(shù)之和大于10，則取大數(shù)減小數(shù)(差為0時(shí)相除)，返回(i)。

結(jié)論三：1，1，1，y1,y2,y3可以計(jì)算出24。由算法A可知，挑出3個(gè)1后最少還剩3張牌，再由算法B可知，每經(jīng)過一次循環(huán)，點(diǎn)數(shù)的數(shù)量或牌數(shù)就會(huì)減少1，故通過算法B最終得到1，1，1，y1,y2,y3?？梢栽O(shè)y1≤y2≤y3，若y1+y3≤8，則有y1+y3≥2.根據(jù)引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若y1+y3≥9，分為兩種情形：①|(zhì)y3-y1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|y3-y1|≤1,則x3≥5. 若y1,y2,y3中有一個(gè)在{6，7，8，9}中，則將另兩個(gè)數(shù)相減或相除可得到1，從而可由以下計(jì)算得到24，6和4個(gè)1可得24，7、8、9和1可得8，再和3個(gè)1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需計(jì)算y1=y2=y3=5和y1=y2=y3=10。這兩種情況可由以下計(jì)算得出結(jié)論：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24

由上可知，任意點(diǎn)數(shù)為1～10的9張牌可通過加減乘除(可加括號)得到24。

推論：在點(diǎn)數(shù)為1～10的一堆牌中，任取多于9張牌均可通過加減乘除(可加括號)得到24。

證明：由算法A和算法B可以得到1，1，1，x1,x2,x3。算法A只有例外情況會(huì)形成1，1，2，4，6，8，10，算法B的例外情況是得到4個(gè)1和兩個(gè)大于1的數(shù)，從對兩種例外情況的討論和定理的證明過程來看，該推論顯然成立。

上述推論說明，任意拿到超過9個(gè)1～10的整數(shù)通過加減乘除(可加括號)都能得到24，即拿到任意一堆牌，只要牌的張數(shù)大于等于9，則肯定可以通過加減乘除(可加括號)得到24。

3 通用算法

受主要定理證明過程的啟發(fā)，得到了超過9個(gè)數(shù)算24的一般算法，算法詳情如下：

第一步(步驟①②)：得到3個(gè)1，例外情況會(huì)形成1，1，2，4，6，8，10，若是例外情況，則有1+1+2-4+6+8+10=24。①檢查1點(diǎn)數(shù)量，若1點(diǎn)數(shù)量大于等于3，則取出3個(gè)1，結(jié)束。②若有相同的點(diǎn)數(shù)，將點(diǎn)數(shù)相除得到新點(diǎn)數(shù)1，返回①。若沒有相同的點(diǎn)數(shù)，取相鄰最近的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的差得到新點(diǎn)數(shù)1，返回①。

第二步(步驟③④)：3個(gè)1之外得到3個(gè)數(shù)，例外情況是得到4個(gè)1和兩個(gè)大于1的數(shù)，可以通過4×6=24，3×8=24，(1+1)×(9-1-1)+10=24，1+1+1+1+10+10=24得到結(jié)果。③拿出3個(gè)1，若只剩3個(gè)數(shù)，結(jié)束。④若最大數(shù)與最小數(shù)之和小于等于10，則將二者相加，返回③。若最大數(shù)與最小數(shù)之和大于10，則取大數(shù)減小數(shù)(差為0時(shí)相除)，返回③。

第三步(步驟⑤)：3個(gè)1和另外3個(gè)數(shù)算24。⑤給定1,1,1,x1,x2,x3，容易計(jì)算24點(diǎn)，算法結(jié)束。

第一步的例外情形是因?yàn)樗惴ˋ在出現(xiàn)1，1，2，4，6，8，10這7個(gè)數(shù)時(shí)不能再生成3個(gè)1，而其他情形均可得到3個(gè)1。第二步的例外情形是得到1,1,1,x1,x2,x3,x4后(可設(shè)這幾個(gè)數(shù)按遞增順序排列)，若x1+x4>10且x4-x1≤1，就會(huì)得到1,1,1,1,x2,x3。

利用1,1,1,x1,x2,x3計(jì)算24點(diǎn)的詳細(xì)方法為設(shè)x1≤x2≤x3，若x1+x3≤8，則有x1+x3≥2。根據(jù)引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若x1+x3≥9，分兩種情形：①|(zhì)x3-x1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|x3-x1|≤1，則x3≥5。若x1,x2,x3中有一個(gè)在{6，7，8，9}中，則將另兩個(gè)數(shù)相減或相除可得到1，從而可由以下計(jì)算得到24，6和4個(gè)1可得24，7、8、9和1可得8，再和3個(gè)1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需計(jì)算x1=x2=x3=5和x1=x2=x3=10。這兩種情況可由以下計(jì)算得出結(jié)論：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24