Spline回歸在高校錄取分?jǐn)?shù)預(yù)測及志愿推薦中的應(yīng)用

周昱彤 張躍富 劉競澤 孫瑋潞 呂震宇*

（1.華北理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 河北省唐山市 063000 2.華北理工大學(xué)管理學(xué)院 河北省唐山市 063000）

（3.天津科技大學(xué) 天津市 300000）

高考志愿填報(bào)工作中高校錄取分?jǐn)?shù)的預(yù)測對于考生來說至關(guān)重要，直接決定其志愿填報(bào)的質(zhì)量[1]。等效分法是一種常用的高校高考錄取分?jǐn)?shù)預(yù)測方法，該算法使用考生所在省份當(dāng)年一分一檔表將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為排名位次，然后使用上一年度一分一檔表將排名位次反向轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同年度錄取分?jǐn)?shù)的可比性，幫助考生結(jié)合往年高校錄取分?jǐn)?shù)確定志愿的填報(bào)方案。這種填報(bào)方法需要考生進(jìn)行大量的一分一檔表查找轉(zhuǎn)換工作。由于一分一檔表屬于離散型數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量較大，使得查找過程十分繁瑣不便。為此需要找到合適方法將大量的離散型數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，以便于查找計(jì)算。

1 現(xiàn)狀分析

目前對離散型數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮使其連續(xù)化的方法有線性回歸、指數(shù)回歸、多項(xiàng)式回歸等，這些方法需要事先給出回歸方程，針對趨勢明顯的數(shù)據(jù)具有較好的回歸效果。但利用格學(xué)教育所提供的2018年河北省高考理科一分一檔表數(shù)據(jù)繪制出曲線圖（如圖1）發(fā)現(xiàn)，一分一檔表曲線形狀并不規(guī)則，沒有明顯的典型回歸方程特征，無法使用現(xiàn)有回歸手段進(jìn)行連續(xù)化處理。而運(yùn)用Spline 樣條插值法所確定的樣條曲線是經(jīng)過或接近影響曲線形狀的一系列點(diǎn)的平滑曲線，該方法無需數(shù)據(jù)具有明顯的趨勢特征。因此可以通過設(shè)計(jì)一套通用Spline 回歸算法，實(shí)現(xiàn)對不規(guī)則一分一檔表的Spline 曲線回歸，進(jìn)而使得一分一檔表數(shù)據(jù)得到有效壓縮。

2 Spline回歸算法設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的Spline 回歸算法采用模擬退火算法，首先初始設(shè)置較多的Spline 關(guān)鍵點(diǎn)，動(dòng)態(tài)調(diào)整位置使誤差平方和最小。然后逐次從剩余的關(guān)鍵點(diǎn)中挑選并拿走一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并確保該關(guān)鍵點(diǎn)拿走后產(chǎn)生的誤差平方和最小，直至達(dá)到指定關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)量。

Spline 回歸的設(shè)計(jì)思路：在一個(gè)有若干點(diǎn)的象限中擬合的Spline 曲線上，坐標(biāo)軸均勻劃分x 份，在曲線中找到對應(yīng)的x 個(gè)點(diǎn),逐個(gè)取走Spline 曲線中的點(diǎn)，改變該曲線的關(guān)鍵點(diǎn)knot 個(gè)數(shù)，會(huì)影響曲線的形狀[2]，回歸曲線過未取走節(jié)點(diǎn)的同時(shí)，擬合取走的節(jié)點(diǎn)。重復(fù)以上過程，使得每個(gè)被取走的點(diǎn)對曲線整體誤差平方和的影響最小，直到剩余節(jié)點(diǎn)等于設(shè)定節(jié)點(diǎn)數(shù)量，Spline 回歸曲線過剩余節(jié)點(diǎn)擬合為一條光滑的曲線。

Spline 回歸具體算法如圖2所示。

3 Spline回歸在志愿推薦中的應(yīng)用

以圖1 為例，縱坐標(biāo)為分段對應(yīng)人數(shù)，橫坐標(biāo)為高考分?jǐn)?shù)，函數(shù)沒有明顯的典型回歸方程特征，使用本文設(shè)計(jì)的Spline 回歸算法將一分一檔表中分?jǐn)?shù)散點(diǎn)擬合為一條連續(xù)的光滑曲線。

為了探討Spline 回歸曲線中初始點(diǎn)對結(jié)果的影響和不同數(shù)量關(guān)鍵點(diǎn)knot 對結(jié)果的影響，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)：

A、初始點(diǎn)對結(jié)果的影響對比分析以及實(shí)驗(yàn)；

圖1：2018年河北省高考理科一分一檔表

圖2：Spline 回歸具體算法

B、不同數(shù)量關(guān)鍵點(diǎn)knot 對結(jié)果的影響對比分析。

3.1 實(shí)驗(yàn)A：初始點(diǎn)對結(jié)果的影響對比分析

圖3：關(guān)鍵點(diǎn)knot 為10, 初始點(diǎn)分別為100、40

圖4：初始點(diǎn)100，關(guān)鍵點(diǎn)knot 分別為15、10、8、6

圖3 顯示，在關(guān)鍵點(diǎn)knot 為10 的情況下，初始點(diǎn)為100 的誤差平方和為208913.75，初始點(diǎn)為40 的誤差平方和為227130.07。對比可知，在初始點(diǎn)數(shù)量不同，關(guān)鍵點(diǎn)knot 數(shù)量相同的情況下，初始點(diǎn)越密，誤差平方和越小，spline 回歸擬合效果越好。

3.2 實(shí)驗(yàn)B：不同數(shù)量關(guān)鍵點(diǎn)knot對結(jié)果的影響對比分析

圖4 顯示，在初始點(diǎn)為100 的情況下，關(guān)鍵點(diǎn)為15 的誤差平方和為181309.37，關(guān)鍵點(diǎn)為10 的誤差平方和為208913.75，關(guān)鍵點(diǎn)為8 的誤差平方和為357710.45，關(guān)鍵點(diǎn)為6 的誤差平方和為602025.29。對比可知，在初始點(diǎn)數(shù)量相同，關(guān)鍵點(diǎn)knot 數(shù)量不同的情況下，關(guān)鍵點(diǎn)knot 數(shù)量越多，誤差平方和越小，回歸效果越好，但數(shù)據(jù)壓縮效果越差。此外，即便在終結(jié)點(diǎn)數(shù)量非常少的情況下，本算法仍然能夠得到較為滿意的回歸效果。

4 結(jié)語

針對一分一檔表為離散數(shù)據(jù)且數(shù)據(jù)量大，不方便查找的問題，本文設(shè)計(jì)了基于模擬退火算法的Spline 回歸算法，將不規(guī)則離散型數(shù)據(jù)連續(xù)化，在壓縮數(shù)據(jù)量的同時(shí)方便了分?jǐn)?shù)、排名間的映射。實(shí)驗(yàn)表明，該算法具有良好的擬合效果，在大幅壓縮原始數(shù)據(jù)量的情況下仍然能夠得到較好的擬合結(jié)果。