汪文琪 李宗春 程志峰 張冠宇

(1 中國(guó)人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院鄭州450052)

(2 中國(guó)電子科技集團(tuán)第五十四研究所石家莊050081)

1 引言

隨著近代電磁學(xué)和無(wú)線(xiàn)電技術(shù)的發(fā)展, 反射面天線(xiàn)作為通信、廣播、雷達(dá)、制導(dǎo)和射電天文等領(lǐng)域的關(guān)鍵設(shè)備得到了廣泛的應(yīng)用[1].天線(xiàn)反射面種類(lèi)繁多, 本文主要關(guān)注旋轉(zhuǎn)拋物面天線(xiàn).標(biāo)準(zhǔn)拋物面天線(xiàn)由拋物線(xiàn)繞焦軸旋轉(zhuǎn)而成, 設(shè)計(jì)原理簡(jiǎn)單, 但標(biāo)準(zhǔn)拋物面天線(xiàn)對(duì)口徑的均勻照射與邊緣的能量漏溢存在矛盾, 限制了天線(xiàn)效率的提高, 由此通過(guò)修改反射面形狀提升天線(xiàn)效率的賦形反射面天線(xiàn)應(yīng)運(yùn)而生[2].天線(xiàn)的面型精度是衡量、評(píng)價(jià)天線(xiàn)質(zhì)量的重要指標(biāo), 它不僅直接影響天線(xiàn)的口面效率, 決定天線(xiàn)可工作的最短波長(zhǎng), 還影響天線(xiàn)方向圖的主瓣寬度和旁瓣結(jié)構(gòu)[3].旋轉(zhuǎn)拋物面天線(xiàn)解析方程通過(guò)母線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)得到, 是評(píng)價(jià)反射面面型精度的基礎(chǔ).在處理反射面測(cè)量數(shù)據(jù)、評(píng)價(jià)面型精度中, 文獻(xiàn)[3–4]對(duì)于旋轉(zhuǎn)拋物面天線(xiàn)測(cè)量數(shù)據(jù)處理和面型精度評(píng)價(jià)的方法有較為詳細(xì)的介紹; 另外, 文獻(xiàn)[5]分別對(duì)比了以軸向偏差、徑向偏差、法向偏差和焦距偏差為最小量的4種擬合原則下反射面的擬合情況; 文獻(xiàn)[6–7]則以半光程差為最小量對(duì)反射面進(jìn)行擬合.天線(xiàn)的理論設(shè)計(jì)反射面利用母線(xiàn)設(shè)計(jì)方程表示, 通過(guò)實(shí)際反射面與設(shè)計(jì)反射面的比對(duì)可以分析反射面的變形情況, 進(jìn)而調(diào)整反射面的形狀和位置實(shí)現(xiàn)對(duì)變形的補(bǔ)償, 主反射面調(diào)整一般用于含有主動(dòng)面系統(tǒng)的大型天線(xiàn), 如國(guó)內(nèi)的中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)65 m射電望遠(yuǎn)鏡[8–9], 國(guó)外的GBT (Green Bank Telescope)望遠(yuǎn)鏡[10]、LMT (Large Millimeter Telescope)望遠(yuǎn)鏡[11]和SRT (Sardinia Radio Telescope)望遠(yuǎn)鏡[12]等; 另一方面, 通過(guò)調(diào)整副反射面或饋源位置對(duì)變形進(jìn)行補(bǔ)償更適用于一般的天線(xiàn), 文獻(xiàn)[13–15]給出了一種通過(guò)調(diào)整副面位置實(shí)時(shí)補(bǔ)償賦形卡式天線(xiàn)主面變形的方法; 文獻(xiàn)[16]通過(guò)擬合的方法調(diào)整饋源的位置和指向?qū)崿F(xiàn)補(bǔ)償.由此可見(jiàn), 獲取旋轉(zhuǎn)拋物面天線(xiàn)解析方程在處理反射面相關(guān)問(wèn)題時(shí)十分必要.

標(biāo)準(zhǔn)拋物面天線(xiàn)的解析方程直接由母線(xiàn)的方程旋轉(zhuǎn)得到, 而對(duì)于賦形反射面天線(xiàn)來(lái)說(shuō), 其理論數(shù)學(xué)模型復(fù)雜, 通常用一組離散點(diǎn)表示[17].為了實(shí)現(xiàn)賦形反射面測(cè)量數(shù)據(jù)的處理和面型精度的評(píng)定, 需要對(duì)母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合.目前, 針對(duì)賦形反射面母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合常用的方法主要有兩種: 一種是直接利用多項(xiàng)式對(duì)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整體擬合, 如文獻(xiàn)[18]中利用19階多項(xiàng)式對(duì)口徑13 m以?xún)?nèi)的天線(xiàn)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合, 這種方法不需要考慮離散點(diǎn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn), 擬合思路簡(jiǎn)單直接, 對(duì)于擬合點(diǎn)來(lái)說(shuō)能夠達(dá)到較高精度, 但多項(xiàng)式階數(shù)較高, 擬合計(jì)算工作量大, 而且利用高階多項(xiàng)式擬合曲線(xiàn)容易振蕩,導(dǎo)致擬合結(jié)果在邊緣處不穩(wěn)定; 另一種是通過(guò)等間隔分段的方式利用低階多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合, 文獻(xiàn)[13–16]均采用了這種方法, 等間隔分段擬合在一定程度上可以降低高階多項(xiàng)式擬合的不穩(wěn)定性, 但這種分段方式具有一定的盲目性, 容易導(dǎo)致分段數(shù)過(guò)多,造成擬合參數(shù)量過(guò)大、母線(xiàn)擬合光滑性差的問(wèn)題.

針對(duì)以上方法在賦形反射面母線(xiàn)擬合中存在的問(wèn)題, 本文提出了一種基于母線(xiàn)擬合殘差分布的自適應(yīng)分段擬合方法, 這種母線(xiàn)自適應(yīng)分段擬合的方法包括兩步—初始整體擬合和分段擬合.初始整體擬合為分段擬合確定了殘差的分布情況, 依據(jù)母線(xiàn)擬合殘差分布的特點(diǎn), 通過(guò)設(shè)置一定的閾值找出擬合殘差不同分布的節(jié)點(diǎn); 分段擬合參照初始整體擬合的結(jié)果進(jìn)行擬合, 利用節(jié)點(diǎn)劃分殘差的范圍, 以此為依據(jù)對(duì)母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段, 再分別采用低階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合.

2 傳統(tǒng)母線(xiàn)擬合方法

2.1 多項(xiàng)式整體擬合

賦形反射面母線(xiàn)通過(guò)離散點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)表示, 多項(xiàng)式整體擬合方法[18]直接利用多項(xiàng)式對(duì)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合以獲取母線(xiàn)的方程, 如(1)式所示:

式中, a0,a1,a2,··· ,an為多項(xiàng)式系數(shù), 也就是母線(xiàn)擬合參數(shù), n為多項(xiàng)式階數(shù).

擬合時(shí), 首先利用母線(xiàn)設(shè)計(jì)時(shí)給出的m個(gè)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)列出m個(gè)誤差方程, 如(2)式所示:

式中, (xi,yi)為母線(xiàn)離散點(diǎn)坐標(biāo), vi為yi的改正數(shù), 也就是殘差; 然后利用最小二乘原理即可求得母線(xiàn)參數(shù)a0,a1,a2,··· ,an.在擬合過(guò)程中, 按照由小到大的順序依次增大多項(xiàng)式的階數(shù), 直到多項(xiàng)式擬合的精度滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合要求.為了使擬合結(jié)果達(dá)到精度要求, 所采用的多項(xiàng)式階數(shù)往往較高.

2.2 等間隔分段擬合

將表示理論母線(xiàn)的一組離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段, 分別用低階多項(xiàng)式對(duì)各段進(jìn)行擬合[13–16], 以此來(lái)得到賦形反射面的母線(xiàn)方程.賦形反射面母線(xiàn)的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)為m個(gè), 共劃分k段, 令前k–1段的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.在擬合過(guò)程中應(yīng)該保證相鄰分段函數(shù)的連續(xù)性,為此相鄰分段間應(yīng)具有一個(gè)公共點(diǎn), 在公共點(diǎn)處兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相同.公共點(diǎn)處函數(shù)值相同相當(dāng)于在利用最小二乘原理進(jìn)行擬合時(shí)增加了限制條件, 對(duì)于這種含有限制條件的擬合, 本文采用具有約束條件的參數(shù)平差[19]予以實(shí)現(xiàn).按照這種劃分方法相當(dāng)于每?jī)啥沃g增加了一個(gè)離散點(diǎn), 則母線(xiàn)總的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)增加k–1個(gè), 前k–1段上每段包含離散點(diǎn)的數(shù)目為

式中, [·]表示按四舍五入取整.

第k段離散點(diǎn)數(shù)為mk=m+k ?1 ?mk?1(k ?1).利用分段方法對(duì)賦形反射面擬合時(shí)宜采用循環(huán)迭代的方式, 逐次增加分段數(shù)直至滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合的精度要求.隨著分段數(shù)目的增加, 母線(xiàn)擬合的參數(shù)增多, 擬合處理過(guò)程中計(jì)算復(fù)雜程度也隨之提升.

3 自適應(yīng)分段擬合

前文已經(jīng)提及, 傳統(tǒng)的兩種母線(xiàn)擬合方法均存在一定的不足之處.本文結(jié)合這兩種方法的特點(diǎn), 在此基礎(chǔ)上提出了一種自適應(yīng)分段擬合的方法.自適應(yīng)分段擬合方法由初始整體擬合和分段擬合兩部分組成, 不同于等間隔分段中直接將母線(xiàn)數(shù)據(jù)按長(zhǎng)度均勻分段的方法, 該方法先進(jìn)行初始整體擬合, 然后參照初始整體擬合結(jié)果殘差的分布特點(diǎn)自適應(yīng)地選擇分段的節(jié)點(diǎn), 對(duì)母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段擬合.具體流程如下:

(1)選擇某一低階多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行初始整體擬合, 由(2)式計(jì)算各擬合點(diǎn)的vi,并取其絕對(duì)值|vi|.

(2)設(shè)置一定的閾值t, 當(dāng)|vi| t時(shí)將該點(diǎn)標(biāo)記為0, 否則標(biāo)記為1, 如下所示, 由此得到擬合殘差絕對(duì)值的0–1分布:

(3)根據(jù)擬合殘差的0-1分布狀態(tài)對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段, 將殘差相同的區(qū)域分為一段,如圖1所示, 圖1 (a)中l(wèi)1部分全為0, l2部分全為1, 由此可將母線(xiàn)數(shù)據(jù)分為2段, 同理圖1(b)中數(shù)據(jù)可分為3段; 同時(shí), 設(shè)定分段最低要求點(diǎn)數(shù)為d, 當(dāng)段中離散點(diǎn)個(gè)數(shù)小于d時(shí), 不滿(mǎn)足分段最低點(diǎn)數(shù)要求, 將此段數(shù)據(jù)與相鄰兩段數(shù)據(jù)合并成一段.不滿(mǎn)足分段最低點(diǎn)數(shù)要求的情況只有兩種, 分別如圖2 (a)和圖2 (b)所示, 圖2 (a)和圖2 (b)中的l2段離散點(diǎn)個(gè)數(shù)小于d, 在擬合過(guò)程中直接將l2段與相鄰兩段數(shù)據(jù)合為一段.

圖1 母線(xiàn)擬合殘差0–1分布狀態(tài)Fig.1 The 0–1 residual error distribution of generatrix fitting

圖2 母線(xiàn)擬合殘差0–1分布的特殊情況Fig.2 The special case of 0–1 residual error distribution of generatrix fitting

(4)采用低階多項(xiàng)式分段對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合, 相鄰兩段之間采用公共點(diǎn)連接, 即在公共點(diǎn)處相鄰兩段母線(xiàn)擬合函數(shù)的函數(shù)值相同, 以確保母線(xiàn)擬合結(jié)果的連續(xù)性.

4 實(shí)例計(jì)算

母線(xiàn)擬合結(jié)果一般以最大逼近誤差(Maximum Approximate Error, MAE)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn), MAE即為擬合結(jié)果中殘差絕對(duì)值的最大值.工程測(cè)量中通常采用可忽略不計(jì)原則[20], 即當(dāng)一種誤差等于或小于另一種誤差的1/3時(shí), 這一誤差對(duì)總限差的影響可忽略不計(jì).根據(jù)天線(xiàn)反射面的實(shí)際測(cè)量精度和工藝水平, 本算例設(shè)定測(cè)量誤差σ =0.050 mm,取MAE為σ/3=0.016 mm, 以此作為母線(xiàn)擬合結(jié)果的限定條件.

4.1 3種方法擬合結(jié)果

本文以某13 m賦形反射面天線(xiàn)母線(xiàn)數(shù)據(jù)為例對(duì)3種方法的擬合結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn), 該母線(xiàn)數(shù)據(jù)由765個(gè)離散點(diǎn)組成.由于離散點(diǎn)坐標(biāo)范圍變化較大, 為了防止擬合過(guò)程中求解法方程病態(tài), 可以先將坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理, 常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)化方法有Min-Max標(biāo)準(zhǔn)化、Z-score標(biāo)準(zhǔn)化和小數(shù)定標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化等.本文選擇Z-score標(biāo)準(zhǔn)化方法[21]分別將離散點(diǎn)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化, 標(biāo)準(zhǔn)化公式如下

將母線(xiàn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)按照(4)式標(biāo)準(zhǔn)化之后, 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合, 最后再把擬合結(jié)果轉(zhuǎn)換回原始數(shù)據(jù).

4.1.1 多項(xiàng)式整體擬合結(jié)果

直接利用多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整體擬合, 逐次增加多項(xiàng)式的階數(shù), 直到母線(xiàn)擬合結(jié)果滿(mǎn)足限定條件.在多項(xiàng)式從低階到高階變化過(guò)程中, 分別統(tǒng)計(jì)出不同階次多項(xiàng)式擬合結(jié)果的MAE和擬合殘差的均方根值(Root Mean Square, RMS), 其中均方根公式為

擬合結(jié)果見(jiàn)表1, 從中可以看出, 母線(xiàn)擬合的RMS隨多項(xiàng)式階數(shù)的增加逐漸減小, 這表明對(duì)于離散點(diǎn)數(shù)據(jù), 高階多項(xiàng)式擬合的整體效果優(yōu)于低階多項(xiàng)式; MAE隨多項(xiàng)式階數(shù)的增加沒(méi)有單調(diào)下降, 而是略有波動(dòng), 但總體呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì), 并在階數(shù)達(dá)到13階時(shí)滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合的限定條件.

表1 不同階次多項(xiàng)式擬合結(jié)果Table 1 Fitting results of polynomials with different orders

4.1.2 等間隔分段擬合結(jié)果

按照等間隔的方式對(duì)母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段, 每段均采用3階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合.統(tǒng)計(jì)出不同分段下母線(xiàn)擬合結(jié)果的MAE和RMS, 結(jié)果如表2所示.從中可以看出, 隨著分段數(shù)的增加, 母線(xiàn)擬合的RMS逐漸減小, 說(shuō)明分段越多, 母線(xiàn)擬合的整體效果越好;MAE與不同階次多項(xiàng)式擬合結(jié)果類(lèi)似, 局部略有波動(dòng), 總體呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì), 并在分段數(shù)為7段時(shí)達(dá)到了母線(xiàn)擬合的精度要求.

表2 等間隔分段擬合結(jié)果Table 2 The result of equal-interval piecewise fitting

4.1.3 自適應(yīng)分段擬合結(jié)果

按照自適應(yīng)分段擬合的方法逐步進(jìn)行:

(1)選擇3階多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行初始整體擬合, 計(jì)算出各點(diǎn)擬合殘差的絕對(duì)值,結(jié)果如圖3所示.

(2)母線(xiàn)擬合MAE的限定值為0.016 mm, 可將閾值設(shè)置為MAE限定值的1/n, 使得擬合方法能夠根據(jù)限定條件自動(dòng)設(shè)置閾值.因此t = 0.0053 mm, 由此得到的擬合殘差0–1分布結(jié)果如圖4所示.

(3)當(dāng)段內(nèi)點(diǎn)數(shù)過(guò)少時(shí)不適合單獨(dú)進(jìn)行擬合, 需要確定母線(xiàn)分段最低要求點(diǎn)數(shù)d.取一定比例s的母線(xiàn)長(zhǎng)度作為單位母線(xiàn)長(zhǎng), 因?yàn)槟妇€(xiàn)離散點(diǎn)分布均勻, 所以單位母線(xiàn)長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)數(shù)即為分段最低要求點(diǎn)數(shù)d, 同時(shí), 確定了單位母線(xiàn)長(zhǎng)也意味著確定了母線(xiàn)所能分段的最大數(shù)目(母線(xiàn)長(zhǎng)/單位母線(xiàn)長(zhǎng)).為了方便不同口徑反射面天線(xiàn)的選取, s取值設(shè)置成一定的范圍1%–5%, 口徑越大的天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的s越小, 這樣所允許的母線(xiàn)最大分段數(shù)也越多, 符合現(xiàn)實(shí)情況.結(jié)合文獻(xiàn)[22]中對(duì)反射面天線(xiàn)大中小型的分類(lèi), 表3分別列出了各類(lèi)天線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的比例s.

圖3 初始整體擬合殘差絕對(duì)值Fig.3 The absolute value of initial overall fitting residual error

圖4 初始整體擬合殘差0–1分布Fig.4 The 0–1 distribution of initial overall fitting residual error

從表3中可以看出, 本例中的天線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的s為4%, 則d = 765s = 30.6, 將d取為30.對(duì)于圖4中擬合殘差的分布, l3段和l5段中離散點(diǎn)個(gè)數(shù)均小于d, 將這兩段數(shù)據(jù)與相鄰段合并處理, 合并之后的殘差分布如圖5所示.其中, 658號(hào)點(diǎn)是殘差分布變化的節(jié)點(diǎn), 由此可將母線(xiàn)數(shù)據(jù)分為兩段, 前658個(gè)點(diǎn)作為第1段, 后107個(gè)點(diǎn)作為第2段, 其中, 658號(hào)點(diǎn)作為兩段的公共點(diǎn).

表3 不同口徑天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的比例sTable 3 The ratio s of antennas with different apertures

圖5 合并后殘差的0–1分布Fig.5 The 0–1 distribution of residual error after mergence

(4)分別采用3階多項(xiàng)式對(duì)兩段數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合, 計(jì)算出擬合結(jié)果的MAE和RMS.

經(jīng)過(guò)上述流程的擬合計(jì)算, 母線(xiàn)數(shù)據(jù)總體分段數(shù)為2段, 擬合結(jié)果的MAE為0.014 mm, 滿(mǎn)足擬合精度要求, 具體結(jié)果見(jiàn)表4.

表4 自適應(yīng)分段擬合結(jié)果Table 4 The result of adaptive piecewise fitting

4.1.4 結(jié)果分析

3種方法擬合得到的參數(shù)數(shù)目如表5所示, 從中可以看出, 在滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合同一精度要求的情況下, 3種方法中本文提出的自適應(yīng)分段擬合方法所用到的參數(shù)最少, 僅用到了8個(gè), 簡(jiǎn)化了母線(xiàn)的表達(dá)形式, 方便了后續(xù)計(jì)算.另外, 自適應(yīng)分段擬合第1段中包含了658個(gè)離散點(diǎn), 而與之范圍相近的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)利用等間隔分段擬合方法卻分了6段進(jìn)行擬合, 大大增加了擬合參數(shù)的數(shù)目, 由此可以看出等間隔分段擬合方法的盲目性; 同時(shí),在擬合過(guò)程中只保證了擬合曲線(xiàn)的連續(xù)性, 各連接點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)并不相同, 這會(huì)影響到擬合結(jié)果的光滑性; 隨著分段數(shù)的增加, 連接點(diǎn)數(shù)目增多, 母線(xiàn)擬合結(jié)果的整體光滑性逐漸變差.

3種方法的母線(xiàn)擬合結(jié)果如圖6所示, 兩端點(diǎn)中間的母線(xiàn)部分3者相近, 基本重合; 在擬合邊界部分, 多項(xiàng)式整體擬合曲線(xiàn)的斜率有一個(gè)明顯增大的趨勢(shì), 反映了高階多項(xiàng)式擬合的不穩(wěn)定性, 這會(huì)給后續(xù)的天線(xiàn)反射面擬合帶來(lái)不利的影響.

綜合以上內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn), 母線(xiàn)擬合的3種方法各有特點(diǎn):

(1)多項(xiàng)式整體擬合的方法, 擬合過(guò)程簡(jiǎn)單直接, 但往往導(dǎo)致擬合多項(xiàng)式階次過(guò)高、計(jì)算量大, 且高階多項(xiàng)式在邊緣處擬合結(jié)果不穩(wěn)定;

(2)等間隔分段擬合, 擬合多項(xiàng)式采用低階次多項(xiàng)式, 計(jì)算簡(jiǎn)單但分段不合理, 循環(huán)次數(shù)多, 導(dǎo)致擬合結(jié)果分段數(shù)較多、擬合參數(shù)量大, 而且較多的分段會(huì)造成擬合曲線(xiàn)不光滑的現(xiàn)象;

(3)自適應(yīng)分段擬合的方法兼顧了2者的優(yōu)點(diǎn), 初始整體擬合確定殘差的分布, 分段擬合參照殘差的特點(diǎn)進(jìn)行分段, 分段合理、操作簡(jiǎn)便, 能夠以較少的參數(shù)滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合的要求.

表5 不同方法擬合參數(shù)的數(shù)目Table 5 The number of fitting parameters in different methods

圖6 3種方法的母線(xiàn)擬合結(jié)果Fig.6 Generatrix fitting results of three methods

4.2 方法擴(kuò)展

為了進(jìn)一步提升自適應(yīng)分段擬合方法的擬合效果, 本文繼續(xù)在多項(xiàng)式階次和公共點(diǎn)限制條件兩個(gè)方面進(jìn)行探究.

4.2.1 擬合多項(xiàng)式的選擇

4.1.3節(jié)中利用了3階多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分段擬合, 為了進(jìn)一步驗(yàn)證多項(xiàng)式階次不同對(duì)母線(xiàn)擬合結(jié)果的影響, 這里采用了2階、4階和5階多項(xiàng)式對(duì)母線(xiàn)離散點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合, 擬合結(jié)果見(jiàn)表6.從中可以看出, 隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增加, 自適應(yīng)分段擬合效果有了明顯的提升; 但當(dāng)擬合精度達(dá)到一定程度之后, 再增加多項(xiàng)式的階數(shù)沒(méi)有明顯的意義, 這一點(diǎn)可以從4階多項(xiàng)式和5階多項(xiàng)式擬合結(jié)果的對(duì)比中看出.因此, 在符合母線(xiàn)擬合精度的條件下, 擬合多項(xiàng)式宜選擇低階次; 當(dāng)擬合結(jié)果不能滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合要求時(shí), 適當(dāng)增加多項(xiàng)式階數(shù)可以改善擬合的結(jié)果.

表6 不同階次多項(xiàng)式母線(xiàn)擬合結(jié)果Table 6 Generatrix fitting results of polynomials with different orders

4.2.2 公共點(diǎn)限制條件

4.1.3節(jié)中為了保證母線(xiàn)擬合的連續(xù)性, 相鄰兩段母線(xiàn)數(shù)據(jù)中采用了公共點(diǎn)進(jìn)行連接.相鄰兩段母線(xiàn)擬合函數(shù)在公共點(diǎn)處的函數(shù)值相同確保了母線(xiàn)擬合的連續(xù)性, 但公共點(diǎn)處的光滑性沒(méi)能得到保證.母線(xiàn)擬合的光滑性與公共點(diǎn)兩端的導(dǎo)數(shù)有關(guān), 兩端相等導(dǎo)數(shù)的階次越高, 母線(xiàn)擬合結(jié)果越光滑.因此, 本文以4次多項(xiàng)式擬合為例, 逐次增加公共點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等的限制條件.

其中, ①條件表示公共點(diǎn)(xc,yc)處左右兩端擬合函數(shù)的函數(shù)值相同, ②③④條件分別表示公共點(diǎn)處左右兩側(cè)的1階導(dǎo)數(shù)、2階導(dǎo)數(shù)和3階導(dǎo)數(shù)相同.

表7為不同階次多項(xiàng)式母線(xiàn)擬合結(jié)果.從表7中可以看出, 隨著公共點(diǎn)處限制條件的增加, 擬合得到的MAE和RMS增大, 說(shuō)明擬合精度變差.分析其原因, 公共點(diǎn)處限制條件越多, 相鄰兩段之間的聯(lián)系越為密切, 不利于各自分段的擬合, 從而導(dǎo)致擬合精度的下降.因此, 可以在保證滿(mǎn)足精度要求的前提下, 適當(dāng)增加公共點(diǎn)處的限制條件, 以提升母線(xiàn)擬合結(jié)果的光滑性.

表7 不同公共點(diǎn)限制條件的擬合結(jié)果Table 7 Fitting results of constraint conditions with different common points

5 總結(jié)

賦形反射面母線(xiàn)傳統(tǒng)擬合方法存在不足之處: 多項(xiàng)式整體擬合的方法階次高、計(jì)算量大, 擬合結(jié)果不穩(wěn)定; 等間隔分段擬合方法分段不合理、分段數(shù)過(guò)多, 導(dǎo)致擬合參數(shù)多、擬合曲線(xiàn)不光滑.本文提出的自適應(yīng)分段擬合方法, 以初始整體擬合結(jié)果的殘差分布為基礎(chǔ)進(jìn)行分段, 分段方式合理, 采用低階多項(xiàng)式逐段進(jìn)行擬合, 計(jì)算簡(jiǎn)單, 能夠以較少的參數(shù)滿(mǎn)足母線(xiàn)擬合的要求, 方便了后續(xù)面型精度的評(píng)價(jià).相比于其他方法, 本文方法更適合于賦形反射面天線(xiàn)母線(xiàn)的擬合.同時(shí), 在滿(mǎn)足擬合精度的基礎(chǔ)上, 選擇恰當(dāng)?shù)臄M合多項(xiàng)式、增加公共點(diǎn)限制條件, 可以進(jìn)一步提升母線(xiàn)擬合結(jié)果的質(zhì)量.