楊 彪，荊武興，李澗青，高長生

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，哈爾濱 150001；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州 310027)

0 引 言

動能攔截器在現(xiàn)代防御體系中發(fā)揮著重要的作用，它是一種在大氣層外利用自己的動能攔截來襲目標(biāo)的先進武器。動能攔截器的殺傷方式是直接碰撞，這要求其必須具有高精度的制導(dǎo)系統(tǒng)[1]。目前動能攔截器在大氣層外主要通過垂直安裝的姿軌控發(fā)動機提供的常值脈沖推力來實現(xiàn)精確攔截。為了減小發(fā)射質(zhì)量和提高攔截成功率，設(shè)計具有制導(dǎo)精度高、消耗推進劑少等特點的動能攔截器末制導(dǎo)律是尤為重要的。

在攔截器末制導(dǎo)律設(shè)計問題中，比例導(dǎo)引律以其制導(dǎo)指令形式簡單、易于工程實現(xiàn)等特點得到廣泛的推廣與改進[2]。文獻[3]提出了一種偏置比例導(dǎo)引律，根據(jù)撞擊角和視場角約束設(shè)計偏置項來打擊機動目標(biāo)。Prasanna等[4]針對高速目標(biāo)攔截問題，提出了一種新的比例導(dǎo)引形式，此種制導(dǎo)律具有更大的捕獲區(qū)域和更小的終端橫向過載。此外，最優(yōu)制導(dǎo)律和滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律等現(xiàn)代制導(dǎo)律也被深入研究[5-6]。文獻[7]設(shè)計了一個擴展卡爾曼濾波器估計機動目標(biāo)參數(shù)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計的最優(yōu)制導(dǎo)律具有很高的制導(dǎo)精度。針對機動目標(biāo)加速度邊界未知的攔截問題，文獻[8]基于平滑二階滑模和有限時間收斂擾動觀測器設(shè)計了一種連續(xù)魯棒沖擊角約束制導(dǎo)律，具有廣泛的攔截角度和有限時間收斂性。

運動偽裝理論最早用于描述生物界捕食者和獵物之間的運動位置關(guān)系，由Srinivasan等[9]首次提出。運動偽裝理論主要指捕食者、獵物和偽裝背景在捕食過程中處于一條直線，從獵物的角度不能明顯感知捕食者的位置變化[10]。因其偽裝特性具有較大的軍事應(yīng)用價值，近年來也被應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計領(lǐng)域[11]。針對導(dǎo)彈制導(dǎo)問題，文獻[12]在Frenet框架下建立相對運動模型，設(shè)計了一種運動偽裝反饋制導(dǎo)律，并比較了不同反饋增益下的制導(dǎo)性能。文獻[13]建立了導(dǎo)彈和目標(biāo)的雙二階動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了用于攔截機動目標(biāo)的運動偽裝制導(dǎo)律。一種適用于沖壓動力導(dǎo)彈的運動偽裝制導(dǎo)律在文獻[14]中被提出，可以有效降低命中點的過載，具有較好的制導(dǎo)性能。動能攔截器在末制導(dǎo)過程中，受結(jié)構(gòu)設(shè)計的影響，推力為常值脈沖推力并且垂直于攔截器縱軸方向，因此上述制導(dǎo)律生成的連續(xù)制導(dǎo)指令不能符合動能攔截器推力大小和方向受限的制導(dǎo)需求。

發(fā)動機推力為常值脈沖推力時，采用脈沖寬度脈沖頻率(Pulse width pulse frequency,PWPF)調(diào)節(jié)器可以實現(xiàn)對推力效果的調(diào)節(jié)[15-16]。文獻[17]設(shè)計了一種適用于大氣層外攔截器的并行逼近制導(dǎo)律，引入閾值評估機制改進PWPF調(diào)節(jié)器，從而產(chǎn)生制導(dǎo)系統(tǒng)的等效推力。文獻[18]針對PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)設(shè)置上的局限性,提出了一種非線性優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),利用提出的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),應(yīng)用遺傳算法對PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計。文獻[19]主要從飛行器控制效果、發(fā)動機開關(guān)頻率和燃料消耗等方面評估PWPF調(diào)節(jié)器的性能，并通過模擬和系統(tǒng)分析給出了調(diào)節(jié)器的最佳參數(shù)范圍。文獻[20]針對大氣層外攔截器末制導(dǎo)問題，引入非線性擾動觀測器設(shè)計了魯棒性逐漸增強的三維終端滑模制導(dǎo)律，并設(shè)計了可變死區(qū)的PWPF調(diào)節(jié)器來適應(yīng)命中點附近視線角速率變化劇烈的情況。文獻[21]在交會對接最終逼近段通過PWPF調(diào)節(jié)器實現(xiàn)等效變推力，設(shè)計了高精度的制導(dǎo)控制律并進行半物理仿真校驗。

諸多學(xué)者在目標(biāo)與對象運動模型、保持偽裝狀態(tài)的方法、性能評估等運動偽裝理論方面進行了研究；國內(nèi)外相關(guān)文獻已經(jīng)在空間交會、攔截彈等背景領(lǐng)域開展了研究；目前結(jié)合具體制導(dǎo)控制執(zhí)行機構(gòu)研究該理論還鮮有文獻報道，此外，當(dāng)前的PWPF調(diào)節(jié)器參數(shù)大多通過經(jīng)驗估計或優(yōu)化方法得出，缺少理論基礎(chǔ)?？紤]上述制導(dǎo)律和PWPF調(diào)節(jié)器設(shè)計方法在動能攔截器末制導(dǎo)中存在的不足之處，本文首先基于運動偽裝理論設(shè)計了三維攔截制導(dǎo)律，得到的制導(dǎo)指令作用在視線法向方向。針對動能攔截器推力大小和方向受限的情況，采用PWPF調(diào)節(jié)器對制導(dǎo)指令進行調(diào)節(jié)。并結(jié)合系統(tǒng)的可控條件和運動偽裝攔截條件對PWPF調(diào)節(jié)器的參數(shù)進行理論設(shè)計。

1 動力學(xué)模型

1.1 攔截器動力學(xué)模型

攔截器在飛行過程中，其動力學(xué)方程在彈道坐標(biāo)系下可以表示為：

(1)

式中：vm，θm和ψv分別為攔截器的飛行速度、彈道傾角和彈道偏角；nx，ny和nz分別代表切向過載，法向過載和副法向過載；g為重力加速度，本文統(tǒng)一取值為9.81 m/s2。

1.2 相對運動方程

圖1 攔截器和目標(biāo)相對運動關(guān)系Fig.1 Relative motion of interceptor-target

在攔截過程中，攔截器和目標(biāo)的相對運動關(guān)系如圖1所示，其中M為攔截器，T為目標(biāo)。設(shè)攔截器指向目標(biāo)方向為視線方向，則攔截器和目標(biāo)的相對位置矢量可以表示為：

r=rt-rm=rer

(2)

式中：rm為攔截器位置矢量，rt為目標(biāo)位置矢量，er為視線方向單位矢量，r為視線長度。

定義視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系由視線方向單位矢量er，視線瞬時旋轉(zhuǎn)角速度單位矢量eω和與二者同時正交的單位矢量eθ構(gòu)成，即

(3)

式中：ω為視線瞬時旋轉(zhuǎn)角速度，ω為視線瞬時旋轉(zhuǎn)角速率。

根據(jù)矢量求導(dǎo)法則可得

(4)

(5)

對式(2)求導(dǎo)可得

(6)

對式(6)求導(dǎo)可得

(7)

結(jié)合式(4)和(5)可得

(8)

設(shè)am和at分別為攔截器和目標(biāo)的加速度，在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的表達式為

am=amrer+amθeθ+amωeω

(9)

at=atrer+atθeθ+atωeω

(10)

式中：amr和atr為攔截器和目標(biāo)的切向加速度，amθ和atθ為攔截器和目標(biāo)的法向加速度，amω和atω為攔截器和目標(biāo)的副法向加速度。

攔截器和目標(biāo)的相對加速度可以表示為

(atr-amr)er+(atθ-amθ)eθ+

(atω-amω)eω

(11)

可以導(dǎo)出相對運動關(guān)系方程為

(12)

2 運動偽裝末制導(dǎo)律

2.1 運動偽裝理論

運動偽裝指利用視覺特性，使攻擊者在目標(biāo)的偵查視覺中看來與偽裝背景(參考點)具有相同的圖像特征，使目標(biāo)不能感受到攻擊者的運動特征，從而達到欺騙的效果。運動偽裝要求攻擊者、目標(biāo)和偽裝背景(參考點)時刻保持在一條直線上，這樣會使攻擊者與偽裝背景的視差最小，攻擊者、目標(biāo)和參考點的相對運動關(guān)系如圖2所示

圖2 運動偽裝相對運動關(guān)系Fig.2 Motion camouflage scenario

假設(shè)目標(biāo)的位置狀態(tài)為xt，攻擊者的位置狀態(tài)為xm，參考點的位置狀態(tài)為xr，記目標(biāo)和參考點之間的相對位置矢量為

xtr=xt-xr

(13)

設(shè)運動偽裝控制參數(shù)為p(t)，在運動偽裝條件下則有

xm=xr+p(t)xtr

(14)

由于運動過程中參考點的位置和控制參數(shù)可以任意選取，滿足式(14)的運動偽裝軌跡有無數(shù)條，軌跡的彎曲程度和速度會因選取不同的參數(shù)而有所差別。

運動偽裝過程中選取的參考點不同會產(chǎn)生不同的效果，如圖3所示。當(dāng)選取的參考點位置為固定偽裝背景等有限點時，運動偽裝過程類似于制導(dǎo)理論中的三點法；當(dāng)選取的參考點位于無窮遠時，視線方向始終平行，類似于制導(dǎo)理論中的平行接近法。因此基于運動偽裝理論的導(dǎo)引方法具有三點法和平行接近法的導(dǎo)引特點。除擊中目標(biāo)外，運動偽裝還適用于運動跟蹤，運動規(guī)避，潛伏到預(yù)定位置等，有較大的應(yīng)用價值。

圖3 偽裝參考點分類Fig.3 Classification of camouflage reference point

2.2 末制導(dǎo)律設(shè)計

基于運動偽裝理論，在動能攔截器打擊目標(biāo)過程中，可以將攔截器視為攻擊者，逐漸向目標(biāo)接近。由于動能攔截器在高空進行攔截，目標(biāo)難以清晰敏感到較遠的地表，同時空中也缺乏固定的參考點。因此將參考點設(shè)為無窮遠處，則有：

r=rr-rm=p(t)er

(15)

攔截器的速度在垂直于視線的方向可以表示為

(16)

同理，目標(biāo)垂直于視線的速度可以寫為

(17)

結(jié)合式(16)和(17)可以得到垂直于視線的相對速度矢量

(18)

運動偽裝特性的結(jié)論[12]有：當(dāng)且僅當(dāng)λ=0時，攔截器和目標(biāo)是處于運動偽裝狀態(tài)下。這一結(jié)論說明，當(dāng)且僅當(dāng)攔截器與目標(biāo)在垂直于視線上的相對速度為0時，攔截器和目標(biāo)處于運動偽裝狀態(tài)。

攔截器最終目的是擊中目標(biāo)，即彈目距離為0，定義比值L

(19)

由式(19)可以看出，由于彈目視線旋轉(zhuǎn)角速率的存在，L值會在-1與+1之間取值。結(jié)合式(18)與(19)可得

(20)

(21)

將式(12)代入

(22)

攔截器的制導(dǎo)律可設(shè)計為

(23)

則攔截器會滿足運動偽裝攔截條件，最終成功攔截目標(biāo)。

證.將其代入式(22)得

(24)

(25)

進而可以得到

(26)

令μ取為

(27)

式中：r0>0，σ>0。

對于任意r>r0有

(28)

當(dāng)r>r0時，式(24)可以改寫為

(29)

由于制導(dǎo)律中包含目標(biāo)的加速度信息，目標(biāo)的加速度是有界的，即

|atθ|≤A

(30)

則基于運動偽裝的制導(dǎo)律可表示為

(31)

可以看出，在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下基于運動偽裝理論的制導(dǎo)律只有視線法向上的分量。設(shè)計的制導(dǎo)律需要視線旋轉(zhuǎn)角速率、彈目距離、相對速度和攔截器速度等信息，與傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律相比需要較多的測量信息，對導(dǎo)引頭要求較高。但是引入了相對運動信息，成功攔截機動目標(biāo)的同時可以保證攔截末端過載較小。

3 PWPF調(diào)節(jié)器設(shè)計

3.1 PWPF調(diào)節(jié)器

PWPF調(diào)節(jié)器由一階慣性環(huán)節(jié)，施密特觸發(fā)器和負反饋環(huán)節(jié)構(gòu)成，如圖4所示。其中E為末制導(dǎo)過程中根據(jù)運動偽裝制導(dǎo)律得出的制導(dǎo)指令；Km和Tm分別為一階慣性環(huán)節(jié)的放大系數(shù)和時間常數(shù)；Uon和Uoff分別為繼電器的開啟閾值和關(guān)閉閾值；Um為脈沖幅值。在末制導(dǎo)過程中，制導(dǎo)指令E通過PWPF調(diào)節(jié)器后得到相應(yīng)的發(fā)動機推力脈沖串，實現(xiàn)對制導(dǎo)指令的近似。

圖4 PWPF調(diào)節(jié)器Fig.4 PWPF modulator

根據(jù)PWPF調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)框圖可知，當(dāng)發(fā)動機處于開啟狀態(tài)時

U(t)=Km(E-Um)(1-e-t1/Tm)+

Uone-t1/Tm,0≤t1≤Ton

(32)

當(dāng)發(fā)動機處于關(guān)閉狀態(tài)時

U(t)=KmE(1-e-t2/Tm)+

Uoffe-t2/Tm,0≤t2≤Toff

(33)

可以解出脈沖開啟時間

(34)

脈沖關(guān)閉時間為

(35)

發(fā)動機的最小脈沖寬度可以在E=Uon時推導(dǎo)得出

(36)

式中：h=Uon-Uoff，上式也可表示發(fā)動機的最小工作時間。

PWPF調(diào)節(jié)器變推力的實現(xiàn)主要和其工作原理中的占空比特性相關(guān)，占空比指發(fā)動機開啟的時間與一個脈沖周期的比值，即

(37)

根據(jù)文獻[18]可得DC-E曲線如圖5所示，其中

(38)

圖5 DC曲線Fig.5 DC curve

從圖5可以看出，在PWPF調(diào)節(jié)器作用下發(fā)動機的工作狀態(tài)主要分為三類：(1)E≤Ed時，處于死區(qū)狀態(tài)，此時發(fā)動機不工作；(2)Ed≤E≤Es時，處于線性區(qū)狀態(tài)，是調(diào)節(jié)器的基本工作區(qū)，此時通過調(diào)節(jié)器可以對推力脈沖串進行調(diào)寬和調(diào)頻；(3)E≥Es時，處于飽和區(qū)狀態(tài)，此時發(fā)動機持續(xù)穩(wěn)態(tài)工作。

3.2 參數(shù)設(shè)計

上文設(shè)計的運動偽裝制導(dǎo)律可以在末制導(dǎo)過程中提供連續(xù)制導(dǎo)指令，但是這種指令無法直接通過動能攔截器的脈沖推力實現(xiàn)，此時需要利用PWPF調(diào)節(jié)器來調(diào)節(jié)推力脈沖，使其能夠?qū)崿F(xiàn)制導(dǎo)指令的作用效果。在此過程中，PWPF調(diào)節(jié)器的參數(shù)對最終效果影響較大，因此有必要針對運動偽裝末制導(dǎo)律進行PWPF調(diào)節(jié)器的參數(shù)設(shè)計。

根據(jù)PWPF調(diào)節(jié)器的工作區(qū)可知，當(dāng)處于飽和工作狀態(tài)時，系統(tǒng)必須可控。實際末制導(dǎo)過程中采用直接力的執(zhí)行方式，發(fā)動機輸出推力脈沖，輸出的推力都是一個確定的數(shù)值，此時推力受限的制導(dǎo)律形式可以表示為amθ=Umsgn(ω)，此時可控條件為：

證.令X=ωr，則式(12)可改寫為

(39)

選取Lyapunov函數(shù)

(40)

其導(dǎo)數(shù)為

(41)

將制導(dǎo)律代入可得

(42)

(43)

(44)

根據(jù)式(43)和式(44)有

(45)

(46)

若t1時刻制導(dǎo)指令為E=Uon/Km，此時輸出為最小脈沖寬度Δ，希望在Δ的作用下，Z值能夠收斂至-1，即X=ωr在t1時刻收斂至零，此時amθ=Um，atθ=at(t1)。根據(jù)式(39)有

(47)

(48)

令t=t1可得

(49)

綜合式(48)與式(49)可得

(50)

令X(t1+Δ)=0可得

(51)

代入制導(dǎo)指令可得

Uon=Km(μvm(Um-at(t1))·

(52)

(53)

4 仿真校驗

為了檢驗本文提出運動偽裝攔截制導(dǎo)律的有效性和PWPF調(diào)節(jié)器設(shè)計的合理性，針對高超聲速機動目標(biāo)攔截進行仿真校驗。本文選取的初始條件為：目標(biāo)位置矢量為[170 km,85 km,20 km]；目標(biāo)速度矢量為[-1000 m/s,-100 m/s,-600 m/s]，大小為Ma3.4；目標(biāo)在空間內(nèi)做正弦機動，加速度幅值為9.8 m/s2，周期為100 s；攔截器位置矢量為[130 km,75 km,15 km]；攔截器速度矢量為[1500 m/s,150 m/s,-500 m/s]，大小為Ma4.7。

首先選用真比例導(dǎo)引律(TPN)和運動偽裝制導(dǎo)律(MCG)進行對比驗證，其中真比例導(dǎo)引系數(shù)N取2.3，運動偽裝制導(dǎo)律中μ取1.2，A取10。仿真結(jié)果如圖6至圖9所示。

圖6 攔截器和目標(biāo)彈道Fig.6 Interceptor and target trajectory

圖7 法向過載Fig.7 Normal overload

運動偽裝制導(dǎo)律脫靶量為0.06 m，真比例導(dǎo)引律為0.17 m。由圖6和圖7可以看出，相對于真比例導(dǎo)引律，運動偽裝攔截制導(dǎo)律的彈道更加平直，在制導(dǎo)前期作用在視線法向上的過載較大，所以在制導(dǎo)末期的過載會小于比例導(dǎo)引律的過載。圖8表明運動偽裝制導(dǎo)律在制導(dǎo)末期視線旋轉(zhuǎn)角速率的變化比真比例導(dǎo)引律更小。運動偽裝指標(biāo)L值的變化如圖9所示。攔截末端目標(biāo)與攔截器距離很近時，視線旋轉(zhuǎn)角速率會變化劇烈，真比例導(dǎo)引律指令主要依賴于視線旋轉(zhuǎn)角變化率，因此過載也會變化劇烈。而運動偽裝制導(dǎo)律還引入了相對運動信息，因此可以較好的抑制視線角變化率，過載變化較小。

圖8 視線旋轉(zhuǎn)角速率Fig.8 LOS angular velocity

圖9 L值變化Fig.9 Variation of L

將運動偽裝制導(dǎo)律應(yīng)用到動能攔截器時，需要利用PWPF調(diào)節(jié)器。攔截器具體參數(shù)如下：質(zhì)量為60 kg；推進劑質(zhì)量為25 kg；發(fā)動機推力為4700 N；比沖為2800 s。由初始條件可知，攔截器與目標(biāo)相對距離為41.533 km，相對速度為2514.5 m/s，初始視線旋轉(zhuǎn)角速率為0.01 rad/s，滿足第3.2節(jié)中的可控條件。則PWPF調(diào)節(jié)器中Um取值為78.4，最小脈沖寬度選為40 ms，通過式(53)可以選取Uon/Km=9.2，Uoff/Km=0.8。Km取值30，根據(jù)式(36)可計算得到Tm=0.38，同時可得Uon=276，Uoff=24。此次仿真中選用真比例導(dǎo)引律進行對比驗證，制導(dǎo)參數(shù)與上節(jié)相同，仿真結(jié)果如圖10至圖15所示。

圖10 攔截彈道Fig.10 Interception trajectories

圖11 視線旋轉(zhuǎn)角速率Fig.11 LOS angular velocity of interceptor

圖12 MCG法向過載Fig.12 Normal overload of MCG

圖13 TPN法向過載Fig.13 Normal overload of TPN

圖14 L值變化Fig.14 Variation of L

運動偽裝制導(dǎo)律和真比例導(dǎo)引律的脫靶量分別為0.08 m和0.21 m。由圖10可以看出，相比于圖6，增加PWPF調(diào)節(jié)器后的兩種彈道曲線更為接近，這主要因為推力值固定的情況下，運動偽裝制導(dǎo)律在制導(dǎo)前期過載較大的情況不會出現(xiàn)。從圖11可知在制導(dǎo)末期，運動偽裝制導(dǎo)律的視線旋轉(zhuǎn)角速率變化波動較小。圖12和圖13為兩種制導(dǎo)律指令經(jīng)過PWPF調(diào)節(jié)器后的視線法向過載曲線?？梢钥闯?，采用運動偽裝制導(dǎo)律時，因其前期過載較大，前幾秒發(fā)動機處于飽和工作狀態(tài)，之后進入線性工作區(qū)進行脈沖調(diào)頻調(diào)寬；采用真比例導(dǎo)引律時，發(fā)動機基本工作在線性區(qū)進行調(diào)節(jié)。對比兩圖的過載曲線疏密程度可以看出，運動偽裝制導(dǎo)律的過載曲線前期更密集，后期更稀疏，即前期發(fā)動機開關(guān)頻繁，后期開關(guān)頻率降低。因此會出現(xiàn)圖15所示的結(jié)果，由于飽和工作和脈沖密集，運動偽裝制導(dǎo)律前期消耗更多的燃料，后期消耗較少，整個制導(dǎo)過程中比真比例導(dǎo)引律消耗的燃料更少。圖14表明制導(dǎo)滿足運動偽裝狀態(tài)。

圖15 燃料消耗Fig.15 Fuel consumption

5 結(jié) 論

本文結(jié)合動能攔截器的具體制導(dǎo)執(zhí)行機構(gòu)特點進行了制導(dǎo)律設(shè)計。在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下建立了相對運動模型，基于運動偽裝理論設(shè)計了制導(dǎo)指令作用在視線法向的制導(dǎo)律。考慮動能攔截器推力大小和方向受限的特點，結(jié)合運動偽裝制導(dǎo)律攔截條件對PWPF調(diào)節(jié)器的參數(shù)進行了理論設(shè)計，使運動偽裝制導(dǎo)律更加符合動能攔截器的制導(dǎo)需求。與真比例導(dǎo)引律進行數(shù)值仿真對比，結(jié)果表明本文設(shè)計的適用于動能攔截器的運動偽裝末制導(dǎo)律能夠有效攔截目標(biāo)，并且在命中點附近過載較小，整個制導(dǎo)過程消耗燃料更少。