馬少波，賈寶路，胡 鈞,*

(1.中國(guó)科學(xué)院 近代物理研究所，甘肅 蘭州 730000；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

反應(yīng)率是核天體網(wǎng)絡(luò)方程的重要輸入量，其快慢和反應(yīng)截面直接相關(guān)。由于在天體環(huán)境感興趣的能區(qū)，反應(yīng)截面受到庫(kù)侖勢(shì)壘的抑制，直接測(cè)量非常困難，所以只能在更高能的區(qū)間進(jìn)行截面測(cè)量，然后通過R矩陣?yán)碚搶?shù)據(jù)外推至低能區(qū)域[1]。

Wigner和Eisenbud在1948年提出了R矩陣?yán)碚揫2]，Lane和Thomas在1958年將其廣泛運(yùn)用到核反應(yīng)的研究中[3]，1988年Barker和Warburton實(shí)現(xiàn)了該理論在β衰變上的應(yīng)用[4]，1991年Barker和Kajino在理論中加入了輻射俘獲的處理方法[5]，2002年Brune引入了可選擇的參數(shù)化的計(jì)算方式[6]。這些工作使得R矩陣?yán)碚摰玫搅撕艽蟀l(fā)展，把理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果緊密地結(jié)合起來?，F(xiàn)在的R矩陣?yán)碚撘寻l(fā)展成一較完善的可用來解釋實(shí)驗(yàn)核物理數(shù)據(jù)的理論體系。隨著計(jì)算機(jī)編程代碼的進(jìn)一步開發(fā)，該理論在核反應(yīng)研究中將得到更廣泛的應(yīng)用。

R矩陣?yán)碚撛贚ane和Thomas對(duì)于核反應(yīng)的研究中得到了很大的推廣[3]。這個(gè)理論能在核天體物理學(xué)感興趣的能量范圍內(nèi)描述反應(yīng)截面。在干涉增強(qiáng)或減弱的系統(tǒng)中，共振現(xiàn)象使得單一的共振理論公式接近無效，而R矩陣?yán)碚摓檫@種情況提供了一強(qiáng)有力的解決方案。這個(gè)理論對(duì)復(fù)合核的能級(jí)性質(zhì)進(jìn)行參數(shù)化，從而計(jì)算反應(yīng)截面[6]。

在實(shí)驗(yàn)物理分析過程中，對(duì)比不同理論代碼之間的計(jì)算結(jié)果是一項(xiàng)很必要的工作，因?yàn)椴煌某绦虼a存在一定的差異，計(jì)算方法上也有細(xì)微的不同。本文利用文獻(xiàn)中已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢測(cè)不同的R矩陣工具之間的一致性。

1 R矩陣程序DREAM和AZURE2

在核物理研究中，MULTI[7]和SAMMY[8]是兩種基于R矩陣?yán)碚摰膫鹘y(tǒng)工具，但操作性較復(fù)雜，入門較困難。為使R矩陣更易使用，在Microsoft Excel的框架內(nèi)基于雙道R矩陣?yán)碚?，使用可視化Basic宏編寫了DREAM[9]。而AZURE2[10]是JINA的研究人員利用C++編程語言實(shí)現(xiàn)多道分析并極大地改進(jìn)了用戶接口的R矩陣?yán)碚摴ぞ?。在?zhí)行數(shù)學(xué)計(jì)算過程中AZURE2添加了很多當(dāng)前最新的計(jì)算庫(kù)。最重要的是，這兩種工具的用戶界面均很友好，便于操作。在誤差分析方面，DREAM利用對(duì)角協(xié)方差矩陣計(jì)算不確定度，通過MINUIT程序包進(jìn)行運(yùn)算[11]。AZURE2利用MINOS程序包計(jì)算誤差，該程序包可用于R矩陣形式的誤差計(jì)算，有很好的普適性。需注意，在計(jì)算誤差時(shí)，首先需得到1組可信任的能級(jí)參數(shù)，然后再計(jì)算這套參數(shù)下的誤差。

2 數(shù)據(jù)分析

2.1 12C+p共振散射數(shù)據(jù)

12C(p,γ)13N是大質(zhì)量恒星中氫燃燒階段的關(guān)鍵核反應(yīng)，也是低溫CNO循環(huán)的觸發(fā)反應(yīng)[12]。而12C(p,p)12C共振散射測(cè)量得到的質(zhì)子寬度Γp將有效地約束12C(p,γ)13N的反應(yīng)率。

12C(p,p)12C是一典型的共振彈性散射實(shí)驗(yàn)。它利用質(zhì)子束轟擊碳靶，通過探測(cè)散射出來的質(zhì)子得到12C(p,p)12C的激發(fā)函數(shù)。由于質(zhì)子束和碳靶是較常見的束流和靶，因此，該散射實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)很多，且達(dá)到了很高的精度。本文采用的數(shù)據(jù)是Meyer等[13]在Basel 3 MV Cockroft-Walton加速器上開展的實(shí)驗(yàn)得到的。該實(shí)驗(yàn)采用薄靶技術(shù)[1]，通過改變質(zhì)子束流的能量，逐點(diǎn)測(cè)量12C(p,p)12C的微分截面。穩(wěn)定束的流強(qiáng)很高，測(cè)量得到的統(tǒng)計(jì)誤差較小，通過R矩陣擬合可得到較可靠的結(jié)論。Meyer等利用自己開發(fā)的R矩陣程序?qū)?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，該程序沒有公開，普適性有待驗(yàn)證。該程序的缺陷是無法對(duì)擬合參數(shù)進(jìn)行誤差分析。

在進(jìn)行擬合前，首先要得到入射道的道自旋宇稱。12C和p的基態(tài)自旋宇稱分別為0+和1/2+，通過兩個(gè)矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1/2+。激發(fā)函數(shù)的擬合結(jié)果主要由入射核和靶核之間的軌道角動(dòng)量以及散射角度決定。對(duì)于某特定的激發(fā)函數(shù)譜，其散射角度是確定的，因此激發(fā)函數(shù)的擬合曲線形狀只與有關(guān)。通過道自旋S與軌道角動(dòng)量的耦合可得到復(fù)合核激發(fā)能級(jí)的自旋，并利用π=(-1)確定其宇稱。輸入不同的以及Γp來嘗試性地計(jì)算查看擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的符合程度。在大致符合的情況下，再對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到最終的擬合共振參數(shù)。

分別利用DREAM和AZURE2兩個(gè)工具擬合激發(fā)函數(shù)曲線，得到了所需的能級(jí)性質(zhì)。兩者的擬合結(jié)果對(duì)比示于圖1。圖1中標(biāo)識(shí)的能級(jí)Er(MeV)和自旋宇稱為Meyer等給出的實(shí)驗(yàn)值。從圖1可看到兩種工具的擬合結(jié)果基本一致，最大差別不超過5%。表1列出了數(shù)據(jù)擬合的能級(jí)信息。在誤差范圍內(nèi)，兩者符合得非常好。和Meyer等的實(shí)驗(yàn)參數(shù)相比，也基本一致。

2.2 21Na+p共振散射數(shù)據(jù)

21Na(p,γ)22Mg是天體物理中重要的核反應(yīng)，其反應(yīng)率將直接影響22Na的豐度。22Na的半衰期為2.6 a，其β衰變發(fā)射的1.275 MeV的特征γ射線是衛(wèi)星探測(cè)器的重要觀測(cè)對(duì)象。其觀測(cè)量可用來檢驗(yàn)各天體模型的有效性[14]。21Na(p,p)21Na共振散射測(cè)量可提供質(zhì)子寬度的信息，約束21Na(p,γ)22Mg反應(yīng)率。

與2.1節(jié)中的12C(p,p)12C實(shí)驗(yàn)不同，21Na是放射性核，沒有天然存在的靶材料，只能作為束流。和穩(wěn)定束相比，放射性束流的流強(qiáng)相對(duì)較低，進(jìn)行薄靶實(shí)驗(yàn)較費(fèi)時(shí)。因此發(fā)展了厚靶技術(shù)[15]開展放射性束的共振散射測(cè)量。采用的數(shù)據(jù)是Ruiz等[14]在TRIUMF-ISAC裝置上開展的21Na+p共振散射測(cè)量得到的。Ruiz等采用厚靶方法，利用21Na束流轟擊厚的(CH2)n靶，一次性得到感興趣能區(qū)的激發(fā)函數(shù)。

表1 12C(p,p)12C實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的R矩陣擬合參數(shù)對(duì)比Table 1 Comparison of fit parameters to data of 12C(p, p)12C

21Na和p的基態(tài)自旋宇稱分別為3/2+和1/2+，通過兩個(gè)矢量的相加，可得到入射道的道自旋宇稱Sπ=1+、2+。和12C+p系統(tǒng)不一致，21Na+p系統(tǒng)可耦合出兩個(gè)道自旋，從而使道自旋與軌道角動(dòng)量耦合的可能性增大，這也就相應(yīng)地增加了R矩陣分析的難度。故本文通過不同的S、耦合選出χ2最小的組合。

圖2示出了利用DREAM和AZURE2對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，圖中標(biāo)識(shí)的能級(jí)和自旋宇稱為Ruiz等[14]給出的實(shí)驗(yàn)值。從圖2可看到，兩者的擬合曲線符合很好，最大差別不超過5%。表2列出了4條共振能級(jí)的擬合參數(shù)對(duì)比。由于統(tǒng)計(jì)誤差的增大，和12C(p,p)12C實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，擬合參數(shù)的不確定度也相應(yīng)變大。DREAM和AZURE2的擬合參數(shù)在誤差范圍內(nèi)符合得非常好，但與Ruiz等的實(shí)驗(yàn)參數(shù)有明顯差別。特別是對(duì)于第4條能級(jí)2-態(tài)的Γp，Ruiz等給出的值要大得多(至少20 keV)。由于Ruiz等使用的R矩陣程序是其課題組自己開發(fā)的，該程序未公開，普適性有待驗(yàn)證。從表2的擬合結(jié)果來看，2-態(tài)的Γp應(yīng)在42 keV左右。

圖2 DREAM和AZURE2對(duì)21Na(p,p)21Na實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的R矩陣擬合對(duì)比Fig.2 Comparison between DREAM and AZURE2 fits to data of 21Na(p, p)21Na

2.3 道半徑R的靈敏度研究

表2 21Na(p,p)21Na實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的R矩陣擬合參數(shù)對(duì)比Table 2 Comparison of fit parameters to data of 21Na(p, p)21Na

圖3 12C(p,p)12C數(shù)據(jù)的χ2隨R0的變化Fig.3 χ2 of 12C(p, p)12C data as a function of R0

從圖3可看到，DREAM和AZURE2在12C(p,p)12C數(shù)據(jù)中表現(xiàn)一致，χ2均隨R0的增大而增大。而從表3可看到，χ2的變化并未引起能級(jí)參數(shù)太多的改變。對(duì)于12C(p,p)12C數(shù)據(jù)，道半徑的靈敏度很低。而對(duì)于21Na(p,p)21Na數(shù)據(jù)，DREAM擬合的χ2表現(xiàn)出了明顯的波動(dòng)性，χ2在1.25～1.3 fm之間最低。AZURE2仍呈現(xiàn)的是χ2隨R0的增大而增大。從表4可看到，21Na(p,p)21Na數(shù)據(jù)的Er隨R0的變化不大，但對(duì)于第3條能級(jí)2+態(tài)的Γp，兩種程序表現(xiàn)相同的趨勢(shì)，隨著R0的增大，Γp變小，DREAM的變化率約為2 keV/0.1 fm，AZURE2的變化率約為1.4 keV/0.1 fm。DREAM對(duì)第4條能級(jí)2+態(tài)的Γp表現(xiàn)不靈敏，但AZURE2的變化率卻很大(～2.5 keV/0.1 fm)。

圖4 21Na(p,p)21Na數(shù)據(jù)的χ2隨R0的變化Fig.4 χ2 of 21Na(p, p)21Na data as a function of R0

故確定最優(yōu)道半徑的方法為首先任意選擇R0(如1.25 fm)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，當(dāng)?shù)玫阶罴褦M合后，通過改變R0計(jì)算χ2。在原子核普適的R0范圍(1.1～1.5 fm)內(nèi)尋找χ2的最小值。最小χ2對(duì)應(yīng)的R0即為最優(yōu)道半徑。原則上，做最終擬合前需找到R0的最佳值。

表3 不同R0對(duì)應(yīng)的12C(p,p)12C實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)共振能級(jí)參數(shù)Table 3 Resonance parameter of 12C(p, p)12C data with different R0

表4 不同R0對(duì)應(yīng)的21Na(p,p)21Na實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)共振能級(jí)參數(shù)Table 4 Resonance parameter of 21Na(p, p)21Na with different R0

3 結(jié)論

R矩陣?yán)碚撃芎芎玫卮罱▽?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論計(jì)算之間的橋梁，且將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)外推到核天體物理感興趣的區(qū)域。本文提到的兩種基于R矩陣?yán)碚摰墓ぞ撸诮?jīng)過對(duì)穩(wěn)定束實(shí)驗(yàn)12C(p,p)12C和放射性束實(shí)驗(yàn)21Na(p,p)21Na共振彈性散射的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后，得到了理想的擬合結(jié)果。DREAM和AZURE2兩種工具表現(xiàn)出了很好的一致性。在道半徑的靈敏度研究中，兩種工具表現(xiàn)出了一定的差異，反映各自內(nèi)核的不同，從而可搭建相互驗(yàn)證的平臺(tái)。本文的工作證明了這兩種常用的R矩陣工具在核天體物理研究中具有廣泛的一致性。