李曉靜，王大森，王剛，張旭，張寧，裴寧，聶鳳明，齊子誠

（1.中國兵器科學(xué)研究院寧波分院，浙江 寧波 315103；2.成都精密光學(xué)工程研究中心，成都 610041；3.長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022）

現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)（如強激光系統(tǒng)、光刻系統(tǒng)、空間光學(xué)系統(tǒng)）的發(fā)展對光學(xué)元件表面質(zhì)量提出了更高的要求。離子束拋光（IBF, Ion Beam Figuring）是一種高精度、確定性的無接觸式光學(xué)表面加工技術(shù)，在現(xiàn)代超精密光學(xué)元件的加工過程中發(fā)揮著重要作用[1]。對光學(xué)元件表面加工殘差的確定性修正，能使加工精度達(dá)到納米數(shù)量級[2]。相對于傳統(tǒng)拋光方法，離子束拋光技術(shù)具有下述特點[3-4]：加工精度高，確定性好，為非接觸式加工。

離子束拋光基于物理濺射效應(yīng)，去除光學(xué)元件表面材料。在離子束拋光加工過程中，離子束由計算機控制，沿著設(shè)定的路徑拋光光學(xué)元件表面，通過控制離子束在不同駐留點駐留的特定時間，實現(xiàn)對元件表面誤差的確定性去除，改善元件表面面形。因此，駐留時間的精確求解是離子束拋光的關(guān)鍵步驟，直接關(guān)系著元件最終的加工精度[5]。

離子束拋光技術(shù)的關(guān)鍵步驟是根據(jù)去除函數(shù)和期望材料去除量求解駐留時間函數(shù)，計算得到的駐留時間的精度直接影響拋光加工過程中光學(xué)元件面形的精度和收斂率。駐留時間求解方法主要有線性方程組法[6-8]、迭代法[9]、傅里葉變換法[10]和代數(shù)法[11]，其中，文獻[12]提出了一種新型的拼接算法計算駐留時間。

脈沖迭代法、傅里葉變換法、數(shù)值迭代法和矩陣求解法等是常見的駐留時間求解方法[13]。其中脈沖迭代方法存在計算發(fā)散的問題；傅里葉變換法需多次調(diào)整參數(shù)來實現(xiàn)駐留時間解的非負(fù)；數(shù)值迭代法計算效率較低，因為有時會發(fā)生振蕩而不能收斂，使用率較低；矩陣方程法是將求解駐留時間的解卷積過程轉(zhuǎn)換為對線性矩陣方程求解，使計算過程大幅簡化[14]。

在使用線性方程組模型求解駐留時間時，通常會對誤差面形和駐留時間采用相同的網(wǎng)格劃分，但這樣的網(wǎng)格劃分會引起邊緣效應(yīng)的產(chǎn)生。為此，本文研究了使用截斷奇異值方法求解線性方程組模型的過程，分析了使用相同網(wǎng)格劃分產(chǎn)生邊緣效應(yīng)的原因，并采用駐留時間網(wǎng)格延拓的方法抑制了邊緣效應(yīng)的產(chǎn)生。

1 使用TSVD方法求解線性方程組模型

1.1 采用線性方程組模型進行駐留時間函數(shù)求解

離子束拋光技術(shù)是一種由計算機控制光學(xué)元件表面的成形技術(shù)（Computer Controlled Optical Surface, CCOS）。根據(jù)CCOS原理，離子束拋光過程中的材料去除量可以由公式（1）表示[15]。

式中：E(x,y)是離子束拋光加工過程中元件表面的材料去除量，T(x,y)是離子束在光學(xué)元件表面的駐留時間函數(shù)，R(x,y)是去除函數(shù)[16]。在拋光過程中，材料期望去除量Ed(x,y)根據(jù)待加工光學(xué)元件的測量面形和期望面形相減來獲得，去除函數(shù)一般在拋光加工之前確定。

在數(shù)控系統(tǒng)的精確控制下，離子束按照設(shè)定的光柵掃描路徑及計算的駐留時間，掃描光學(xué)元件表面所有的采樣點，離子束對光學(xué)元件表面某采樣點的總的材料去除量如式（2）所示。

式中：i=1,2,···,ns,ns是采樣點總數(shù)，j=1,2,···,nd,nd是駐留點總數(shù)。Eai是離子束對光學(xué)元件表面采樣點（xsi,ysi）總的材料去除量，r(xsi-xdj,ysi-ydj)為離子束停留在駐留點（xdj,ydj）時，對采樣點（xsi,ysi）的材料去除率（圖1），tj是離子束在駐留點（xdj,ydj）的停留時間。

令r(xsi-xdj,ysi-ydj)=rij，則式（1）可以改寫成式（3）。令式（3）的左側(cè)為期望材料去除量Ed，將求解駐留時間的解卷積操作轉(zhuǎn)換為對線性方程組的求解[17]。

1.2 使用TSVD方法求解線性方程組模型

本研究采用截斷奇異值分解（Truncated Singular Values Decomposition, TSVD）正則化方法來求解線性方程組的近似解，并將其作為駐留時間函數(shù)。因為上述用于求解駐留時間函數(shù)的線性方程組公式（3）通常是個病態(tài)方程，不易得到唯一的精確解，所以在求解離子束拋光的駐留時間函數(shù)時，使用的線性方程組模型多數(shù)求取近似解，而不是精確求解。

對矩陣R進行奇異值分解：

式（5）是使線性方程組的殘差最小的解[1]。

矩陣R的奇異值σi會隨著i值的增大而逐漸減小，最終趨近于0，式（5）中駐留時間t1的數(shù)值變化很大，無法作為駐留時間函數(shù)用于實際的離子束拋光。

為了降低小奇異值對駐留時間幅值的影響，將使用TSVD正則化算法求得的線性方程組的解作為駐留時間，方程組的TSVD解tk為[18]：

式中：正則化參數(shù)k稱為截斷參數(shù)，其控制著σi中的小奇異值對解tk的影響。

由TSVD算法求解得到的駐留時間并不總是非負(fù)解，在駐留時間解出現(xiàn)負(fù)值時，采用將駐留時間整體偏移的方法，保證駐留時間函數(shù)的非負(fù)性，因此最終的駐留時間t為：

式中：tkmin表示tk中的最小值。

2 TSVD算法中邊緣效應(yīng)的抑制

當(dāng)元件誤差面形和離子束駐留時間采用相同的網(wǎng)格劃分時，采用TSVD方法求解線性方程組得到的駐留時間，在模擬計算仿真結(jié)果中就會出現(xiàn)邊緣效應(yīng)。這是由于式（7）中在求解駐留時間時出現(xiàn)了負(fù)值，為保證駐留時間的非負(fù)性，采用了將駐留時間整體偏移的方法，產(chǎn)生偏移，所有的駐留點上額外駐留相同的時間，導(dǎo)致在光學(xué)元件表面產(chǎn)生一層不均勻的材料去除。

當(dāng)面形采樣點和離子束駐留點采用相同的網(wǎng)格劃分，在所有的駐留點上加工時間相同時，根據(jù)離子束拋光的材料去除函數(shù)（公式1）將駐留時間和去除函數(shù)進行卷積運算，材料去除量計算結(jié)果如圖2a所示。當(dāng)離子束在所有的駐留點上駐留相同的時間時，材料去除量在光學(xué)元件邊緣部分的分布明顯低于中間部分。因為元件邊緣部分的采樣點有去除作用的駐留點的數(shù)量要低于光學(xué)元件的中間部分。

本研究將擴大駐留點網(wǎng)格的范圍，使對元件邊緣部分的采樣點有去除作用的駐留點的數(shù)量與元件中間部分的相同，從而避免上述問題的產(chǎn)生。向外進行延拓駐留點的網(wǎng)格范圍，延拓的距離大于所使用的離子束的半徑（圖3），材料去除量的計算結(jié)果如圖2b所示。為易于分析，將圖中光學(xué)元件面形的采樣點范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)向上進行了整體平移。由結(jié)果可知，駐留時間的網(wǎng)格進行了邊緣延拓后，在所有的駐留點上停留相同的時間，對元件面形所在區(qū)域可以實現(xiàn)均勻的材料去除。

3 仿真實驗

根據(jù)離子束拋光過程中的材料去除量公式（式1），按上述網(wǎng)格的劃分建立線性方程組模型，通過TSVD方法計算駐留時間后，對求得的駐留時間和去除函數(shù)進行卷積運算，獲得預(yù)計的材料去除量。再將元件的測量面形和預(yù)計的材料去除量面形相減，即可得到殘留面形。

3.1 誤差面形和去除函數(shù)

選用直徑為50 mm（取有效孔徑90%）的熔融石英光學(xué)元件，其面形PV值為104.489 nm，RMS值為28.009 nm。使用間距為1 mm、行列數(shù)為46×45的采樣點網(wǎng)格（圖4a），對光學(xué)元件表面誤差進行均勻采樣，用測量面形減去面形中的最小測量值作為期望的材料去除量，計算得到的期望材料去除量面形如圖4b所示。

在離子束拋光過程中，始終保持離子束垂直入射光學(xué)元件表面，故模擬仿真時使用的去除函數(shù)的形狀是回轉(zhuǎn)對稱的高斯型。采用與實際加工時相同的去除函數(shù)，參數(shù)為：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全寬10.52 mm（圖4c）。

3.2 駐留時間采用和誤差面形同樣的網(wǎng)格劃分

建立線性方程組模型，使用TSVD方法求解線性方程組。仿真時截斷參數(shù)k為80，圖5是仿真得到的駐留時間面形和殘留面形。仿真結(jié)果表明，當(dāng)駐留時間采用和面形誤差同樣的網(wǎng)格劃分時，殘留面形不收斂，且發(fā)生嚴(yán)重的邊緣效應(yīng)。

3.3 駐留時間網(wǎng)格進行延拓

駐留時間網(wǎng)格在誤差面形網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)上進行延拓，延拓后的駐留時間網(wǎng)格劃分如圖6所示。建立線性方程組模型，使用TSVD方法求解線性方程組。仿真過程選取截斷參數(shù)k為80，圖7是仿真加工得到的駐留時間面形和殘留面形。仿真結(jié)果表明，元件的面形PV值由初始的104.489 nm下降到11.675 nm，RMS值由28.009 nm收斂到1.572 nm，且沒有邊緣效應(yīng)產(chǎn)生。

3.4 離子束拋光實驗

為進一步證明模擬結(jié)果的有效性，針對平面融石英光學(xué)元件開展了離子束拋光實驗研究，見圖8。使用的實驗參數(shù)為駐留時間與其他工藝參數(shù)的優(yōu)化組合。實驗采用射頻離子源RF40，離子束直徑d為8 mm，實驗過程中設(shè)定最優(yōu)延拓距離大于4 mm，去除函數(shù)參數(shù)為：峰值去除率1.3909 nm/s，半高全寬10.52 mm。融石英光學(xué)元件經(jīng)過表面清潔處理后，夾持在夾具上放入真空腔室，待離子源離子束束流穩(wěn)定后，進行離子束拋光。實驗選取部分檢測結(jié)果，如圖9所示，拋光前后，PV值由102 nm降為37 nm，RMS由23 nm降為2 nm。

4 結(jié)論

駐留時間的精確求解是離子束拋光過程中的關(guān)鍵步驟。本文研究了使用截斷奇異值分解方法求解線性方程組模型，確定駐留時間的過程，當(dāng)采樣網(wǎng)格和駐留時間網(wǎng)格劃分相同時，會導(dǎo)致邊緣效應(yīng)的出現(xiàn)。將駐留時間矩陣的網(wǎng)格劃分進行延拓后，克服了邊緣效應(yīng)的產(chǎn)生。對平面光學(xué)元件面形進行仿真加工，殘留面形沒有邊緣效應(yīng)產(chǎn)生。仿真結(jié)果表明，使用駐留時間網(wǎng)格延拓的方法，不僅可以有效抑制邊緣誤差的產(chǎn)生，還可以得到精確的駐留時間解。