井旭旭,文立華

(1.中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，成都 610200；2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710000)

0 引言

索網(wǎng)式空間可展開天線是目前應(yīng)用廣泛的空間可展開天線形式，在對(duì)地觀測(cè)、導(dǎo)航定位、移動(dòng)通信等方面的應(yīng)用日益廣泛。這種天線反射面及其調(diào)整結(jié)構(gòu)是典型的空間張拉結(jié)構(gòu)，具有大位移、小應(yīng)變的力學(xué)特性并且僅能單向承拉，呈現(xiàn)典型的幾何非線性特性。索網(wǎng)式可展開天線反射網(wǎng)面上索單元的位置誤差決定了天線精度，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)張力分布和邊界條件決定了結(jié)構(gòu)的形狀及其承載能力，具有特定形狀的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)及其邊界條件也對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的預(yù)張力場(chǎng)。因此，索網(wǎng)式可展開天線的預(yù)張力設(shè)計(jì)問題本質(zhì)是在反射網(wǎng)面保形條件下尋求一組可以構(gòu)成設(shè)計(jì)拋物面的預(yù)張力，也即“由形找力”。

關(guān)于張拉整體結(jié)構(gòu)的找形與優(yōu)化問題已有大量的研究，數(shù)值方法是索網(wǎng)式空間張拉結(jié)構(gòu)找形的最主要設(shè)計(jì)方法，可以分為力密度法[1,2]、動(dòng)力松弛法[3,4]和非線性有限元法[5,6]等。文獻(xiàn)[7,8]探索了索桿結(jié)構(gòu)的找形與預(yù)張力設(shè)計(jì)，由于這些方法所有單元都是軸向受力，忽略了橫向載荷和彎矩，不適用于索梁結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[9,10]探索了索梁結(jié)構(gòu)找形與優(yōu)化方法，由于問題的高度非線性，給索梁張拉結(jié)構(gòu)的找形帶來了一定的困難。以上各類預(yù)張力找形設(shè)計(jì)方法在本質(zhì)上可以分為兩類：一是利用索網(wǎng)的平衡方程求解一組合適的預(yù)張力；二是試探性給出一組預(yù)張力，利用非線性有限元法進(jìn)行找形分析，給出反射網(wǎng)面誤差，通過優(yōu)化方法找出一組合適的預(yù)張力。前一類方法的優(yōu)點(diǎn)是力學(xué)原理清晰，但缺點(diǎn)在于沒有考慮索材的本構(gòu)關(guān)系，且預(yù)張力可能存在多組解。后一類方法的優(yōu)點(diǎn)在于引入了索材的本構(gòu)關(guān)系，缺點(diǎn)在于很難給出一組初始自平衡預(yù)張力，使得計(jì)算型面收斂困難。

本文將結(jié)合上述兩類方法各自的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，完成了傘型索網(wǎng)式可展開天線的預(yù)張力優(yōu)化與找形設(shè)計(jì)。首先，利用反射網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的平衡矩陣，給出可行的自平衡預(yù)張力設(shè)計(jì)空間。其次，在設(shè)計(jì)空間上利用遺傳算法，優(yōu)化出使前表面索單元預(yù)張力配置最均勻的一組初始張力。這組預(yù)張力不僅滿足均勻化要求，并且是自平衡的。最后，將這組初始張力作為輸入，利用非線性有限元法進(jìn)行找形分析，獲得了滿意的結(jié)果。

1 天線構(gòu)型

如圖1所示，傘形索網(wǎng)式可展開天線設(shè)計(jì)為六骨架結(jié)構(gòu)。其中，前反射網(wǎng)面為拋物面，反射網(wǎng)面不直接依附于支撐肋(展開桿)。支撐肋之間設(shè)計(jì)有對(duì)稱的跨肋調(diào)整索以及豎向調(diào)整索。傘形空間可展開天線由柔性索網(wǎng)及支撐結(jié)構(gòu)共同形成受力體系。天線結(jié)構(gòu)參數(shù)：口徑為2.5m；焦距為2m；型面精度要求σ≤2mm。傘形空間可展開天線前反射面由三向網(wǎng)格逼近拋物面面型，一般采用最小均值法來估算網(wǎng)格單元長(zhǎng)與反射面型之間的關(guān)系[11]：

(a)天線布局

(1)

拋物面的設(shè)計(jì)精度指標(biāo)決定了網(wǎng)格單元的最大可取長(zhǎng)度。反射面網(wǎng)格單元需滿足Lmax<503.9mm，實(shí)際設(shè)計(jì)為L(zhǎng)=337mm。天線支撐肋設(shè)計(jì)為單肢旋轉(zhuǎn)可展開結(jié)構(gòu)，展開角為82°。支撐結(jié)構(gòu)原理如圖2所示。天線索網(wǎng)材料均為Kevlar49，支撐肋材料為碳纖維M60J。

圖2 支撐結(jié)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of the supporting structure

2 預(yù)張力平衡方程

2.1 平衡矩陣與協(xié)調(diào)矩陣

傘形空間可展開天線的索網(wǎng)部分可以看作是由節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間連接承受張拉力的桿單元而成的桁架體系，又稱為張力桁架體系。對(duì)于可展開天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，如圖3所示，任意自由節(jié)點(diǎn)i均可以寫出其節(jié)點(diǎn)平衡方程：

圖3 節(jié)點(diǎn)受力示意圖Fig.3 Diagram of the force on a nodea

(2)

對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)非約束節(jié)點(diǎn)列出上述平衡方程，并集合成總體平衡方程：

[A]3(N-C)×M{T}M×1={P}3(N-C)×1

(3)

式中：N為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；C為約束節(jié)點(diǎn)總數(shù)；M為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的索段總數(shù)。[A]3(N-C)×M為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的平衡矩陣；{T}M×1為索段的預(yù)張力列向量；{P}3(N-C)×1為作用于所有非約束節(jié)點(diǎn)上的外載荷列向量。

假設(shè)平衡矩陣A與變形協(xié)調(diào)矩陣B的秩為r，則自應(yīng)力模態(tài)數(shù) 和機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)m滿足如下的關(guān)系式[8,9]：

s=M-r

(4)

m=3(N-C)-r

(5)

對(duì)于圖1所示的傘形天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)而言，所有非約束節(jié)點(diǎn)在工作狀態(tài)下均不承受外載荷的作用。因此，式(3)中的右端項(xiàng){P}3(N-C)×1=0，故而：

[A]3(N-C)×M{T}M×1=O

(6)

顯然，空間天線的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)張力優(yōu)化問題就是在滿足方程(6)的條件下，求解一組滿足前表面索預(yù)張力足夠均勻的列向量T。[A]3(N-C)×M矩陣的零空間就是自平衡張力的設(shè)計(jì)空間。

2.2 傘形天線的預(yù)張力優(yōu)化模型

天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)平衡方程式平衡矩陣 完全由索網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)位置確定。考慮到空間天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱特性，且自平衡索網(wǎng)不承受外載荷，取天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)的1/12模型給出反射網(wǎng)的平衡矩陣A是合適的[12,13]。

由圖4可以看出：天線反射網(wǎng)的1/12模型共有18個(gè)自由節(jié)點(diǎn)，有48條索段。因此，天線反射網(wǎng)的平衡矩陣A的規(guī)模為54×48。已經(jīng)求得平衡矩陣A54×48的秩為：

圖4 索段編號(hào)Fig.4 Number of the cable segments

rank(A54×48)=37

(7)

由此，可以得到結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)s=11和機(jī)構(gòu)位移模態(tài)數(shù)m=17。

這里引入奇異值分解求解平衡矩陣A54×48的自應(yīng)力模態(tài)向量，也即A54×48的零空間基。

(8)

由矩陣的奇異值分解特性可以知道：矩陣V的右11列構(gòu)成平衡矩陣A54×48的零空間正交基；矩陣U的右17列構(gòu)成平衡矩陣A54×48的左零空間正交基。假若將反射網(wǎng)的自應(yīng)力模態(tài)矩陣取為S=(s1,s2,L,s11)，那么S可取為[12]：

S=(s1,s2,L,s11)=(V38,V39,L,V48)

(9)

反射網(wǎng)中的預(yù)張力分布可以展開為：

T=a1s1+a2s2+L+a11s11

(10)

天線反射網(wǎng)面上預(yù)張力均勻化模型的優(yōu)化變量可以取為平衡矩陣自應(yīng)力模態(tài)向量的組合系數(shù)：a1,a2,L,a11。天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

min:fmax/fmin

(11)

式中，fmax為前反射面上索單元最大張拉力，fmin為前反射面上索單元最小張拉力。對(duì)應(yīng)于張拉力列向量T，可以將目標(biāo)函數(shù)改寫為：

min: max(T1)/min(T1)

(12)

式中，T1=T(1:27)為T向量中前反射面上的索段張力。所有索單元預(yù)張力的取值范圍為[2N,100N]。則反射網(wǎng)預(yù)張力優(yōu)化模型的約束條件為：

2N

(13)

綜上，天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力優(yōu)化為如下優(yōu)化問題：

finda1,a2,L,a11

min max(T1)/min(T1)

s.t. 2

(14)

3 預(yù)張力優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化

優(yōu)化問題式(14)是一個(gè)多變量?jī)?yōu)化問題，并且，張力列向量T是含有優(yōu)化變量a1,a2,L,a11的參變量，但是約束條件卻直接建立在列向量T的所有元素上。因此優(yōu)化變量a1,a2,L,a11與目標(biāo)函數(shù)之間很難建立起直接的函數(shù)關(guān)系。采用遺傳算法求解優(yōu)化問題式(14)比較合適。

遺傳算法提供了一種求解非線性、多模型、多目標(biāo)等復(fù)雜優(yōu)化問題的通用框架，但是它不能處理有約束的優(yōu)化問題[13]。因此需要對(duì)優(yōu)化問題式(14)進(jìn)行相應(yīng)改造，使其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。

首先，對(duì)優(yōu)化問題式(14)中的約束條件進(jìn)行歸一化處理：

(15)

(16)

其次，利用外點(diǎn)罰函數(shù)法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。取一個(gè)極大的正數(shù)M，構(gòu)成修正后的目標(biāo)函數(shù)為

min:max(T1)/min(T1)+

(17)

最后，優(yōu)化變量a1,a2,L,a11取值范圍，必須保證式(10)求得的張拉力列向量T中的每一個(gè)元素都可以在[2N,100N]內(nèi)任意取值。本文按照如下的方式來保證這一條件：將已經(jīng)正交的自應(yīng)力模態(tài)向量s1,s2,L,s11歸一化，并分別對(duì)元素取絕對(duì)值，最后將這些元素恒大于零的自應(yīng)力模態(tài)向量線性求和，取和列向量中的最小元素為參考量，以張拉力的上限100N除以該參考量作為優(yōu)化變量a1,a2,L,a11取值范圍的參考上限，如式(18)所示。對(duì)于本文而言：|aj|max=809.98，為使優(yōu)化變量更易于浮點(diǎn)編碼，優(yōu)化變量的取值范圍取定為：aj[-1000,1000],(j=1,2,L,11)。

(18)

這樣，反射網(wǎng)預(yù)張力優(yōu)化式(14)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

finda1,a2,L,a11-1000

[max(T(i)/100-1,0)]2}

(19)

3.2 預(yù)張力優(yōu)化

將遺傳算法中交叉概率取為Pc=0.7，變異概率取為Pm=0.15，種群規(guī)模取為100，遺傳終止代數(shù)取為500。外點(diǎn)罰值取為M=1×109。優(yōu)化模型式(19)的目標(biāo)函數(shù)值(適應(yīng)度)隨遺傳代數(shù)的變化曲線如圖5所示，可以看出：目標(biāo)函數(shù)值(適應(yīng)度)隨著遺傳代數(shù)的增加逐漸降低，即反射面上的索網(wǎng)單元預(yù)張力趨于均勻化。

圖5 目標(biāo)函數(shù)曲線Fig.5 The objective function curve

圖5代表的種群進(jìn)化過程表明：優(yōu)化變量在16代之前的尋優(yōu)主要是尋找滿足優(yōu)化模型式(14)中約束條件的變量范圍，這個(gè)變量范圍是優(yōu)化模型滿足約束條件時(shí)的可行域，優(yōu)化變量很快收斂到這個(gè)可行域上。優(yōu)化變量在16～501代上的尋優(yōu)主要是在約束條件的可行域下尋找使得目標(biāo)函數(shù)值最小的可行解，這些可行解構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)可行域是滿足約束條件可行域的子集。最終得到的目標(biāo)函數(shù)值為：max(T1)/min(T1)=8.406，索網(wǎng)的最終預(yù)張力分布如表1所示。

表1 索網(wǎng)單元張拉力分布值Tab.1 Pretensions on the cable segments

4 反射面找形分析

為驗(yàn)證上述一組預(yù)應(yīng)力的正確性，可以將預(yù)應(yīng)力作為輸入條件，利用非線性有限元法對(duì)天線進(jìn)行找形分析。若找形結(jié)果顯示反射面節(jié)點(diǎn)誤差很小，在數(shù)值誤差以內(nèi)，則說明這組預(yù)張力可以使天線張拉成型，且索網(wǎng)位于設(shè)計(jì)拋物面上。采用有限元軟件ANSYS對(duì)天線反射網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析，小彈性模量法作為找形方法。模型中索網(wǎng)單元采用link10單元來模擬，索結(jié)構(gòu)的預(yù)張力通過給定索單元link10初始應(yīng)變的方式施加。找形分析僅考慮預(yù)應(yīng)力條件下索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的最終形態(tài)是否滿足面型要求，因此這里將天線支撐結(jié)構(gòu)設(shè)定為固定約束。

(a)位移云圖 (b)張拉力云圖圖6 找形之后索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)位移與張拉力Fig.6 Displacements and Pretensions on the cable segments after the form-finding analysis

展開天線最終以索網(wǎng)及展開肋構(gòu)成索梁一體式自平衡結(jié)構(gòu)，在完成索網(wǎng)找形之后，還需對(duì)天線整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行形態(tài)分析，以驗(yàn)證索網(wǎng)預(yù)張力的穩(wěn)定性。

(a)位移云圖 (b)張拉力云圖圖7 整體張拉后索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)位移與張拉力Fig.7 Displacements and Pretensions on the cable segments after the antenna analysis

由圖7可以看出：相較于不考慮支撐肋的彈性變形時(shí)而言，整體分析后的節(jié)點(diǎn)位移變大，但前表面節(jié)點(diǎn)最大位移依然保持在0.06mm以下，說明天線拋物面形態(tài)保持良好，此時(shí)天線反射面的型面誤差為 ，也遠(yuǎn)小于設(shè)計(jì)指標(biāo)2mm要求。比較索單元預(yù)張力在找形分析和整體分析后的配置變化情況，如圖8所示?？梢钥闯觯呵氨砻嫠鲉卧念A(yù)張力在引入支撐肋彈性變形后普遍降低，但前索網(wǎng)張力配置的均勻性保持良好。這是由于支撐肋作為細(xì)長(zhǎng)桿結(jié)構(gòu)，抗彎剛度較小，支撐肋的彈性變形減小了索網(wǎng)單元的彈性伸長(zhǎng)量，進(jìn)而降低了索單元的預(yù)張力。通過對(duì)支撐肋進(jìn)行詳細(xì)的抗彎變形設(shè)計(jì)，并減小豎向調(diào)整索長(zhǎng)度，最終得到的預(yù)張力與優(yōu)化結(jié)果誤差小于12%。

圖8 索網(wǎng)張拉力比較圖Fig.8 Contrast diagram of pretensions on the cable segments

5 結(jié)論

本文給出了一種傘形索網(wǎng)式展開天線的預(yù)張力設(shè)計(jì)分析方法。該方法從索網(wǎng)結(jié)構(gòu)平衡方程出發(fā)，建立了索網(wǎng)反射面上預(yù)張力均勻化優(yōu)化模型，采用遺傳算法得到了一組適當(dāng)?shù)念A(yù)張力，將傘形天線前表面上最大張力與最小張力比降低到了8.406。非線性有限元的找形分析充分驗(yàn)證了上述優(yōu)化結(jié)果的正確性。