汽車(chē)懸架系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制及其參數(shù)優(yōu)化研究*

劉建均，孫藝瑕，李 勝

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院 上海 201620)

0 引 言

汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振效果是影響汽車(chē)乘坐舒適性和安全性的關(guān)鍵因素。雖然傳統(tǒng)的被動(dòng)懸架系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和成本小等優(yōu)點(diǎn)，但一經(jīng)加工成型，結(jié)構(gòu)參數(shù)便不可調(diào)整，從而無(wú)法更好地適應(yīng)復(fù)雜多變的實(shí)際路況。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)主動(dòng)和半主動(dòng)汽車(chē)懸架系統(tǒng)展開(kāi)了大量的研究[1-4]。然而，由于信號(hào)的采集傳輸和控制力的計(jì)算等因素，主動(dòng)汽車(chē)懸架系統(tǒng)中不可避免地存在時(shí)滯。時(shí)滯對(duì)汽車(chē)懸架系統(tǒng)控制的影響很大，可能會(huì)導(dǎo)致隔振效果下降，甚至失穩(wěn)[5]。目前，對(duì)含時(shí)滯的汽車(chē)主動(dòng)懸架系統(tǒng)的研究，主要是利用時(shí)滯補(bǔ)償技術(shù)減少或抵消時(shí)滯帶來(lái)的影響[6-8]。隨著研究的深入，有研究發(fā)現(xiàn)，在汽車(chē)懸架的控制系統(tǒng)中適當(dāng)?shù)匾霑r(shí)滯，不僅可以改善懸架系統(tǒng)的隔振效果，還可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性[9-12]。由此，時(shí)滯被當(dāng)作汽車(chē)懸架控制系統(tǒng)中可調(diào)的控制參數(shù)，為實(shí)現(xiàn)更好的懸架系統(tǒng)性能，獲取最優(yōu)的控制參數(shù)就尤為關(guān)鍵。

鑒于此，本文將在被動(dòng)汽車(chē)懸架系統(tǒng)中引入時(shí)滯加速度反饋控制，以時(shí)滯和反饋增益系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法，得到兩參數(shù)的最優(yōu)值，來(lái)提高汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振性能。

1 汽車(chē)懸架系統(tǒng)的力學(xué)模型

時(shí)滯加速度反饋控制下，1/4汽車(chē)懸架系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 力學(xué)模型

根據(jù)圖1的力學(xué)模型，由牛頓第二定律可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

(2)

式中：m1—懸架質(zhì)量；c1—減振器阻尼；k1—彈簧的剛度；u—時(shí)滯反饋控制力；m2—非懸架質(zhì)量；c2—輪胎阻尼；k2—輪胎剛度；x1—車(chē)身的位移；x2—車(chē)輪的位移；x3—路面激勵(lì)。

時(shí)滯反饋控制力u和路面激勵(lì)x3[13]的表達(dá)式為：

(3)

x3=rsin(ωt)

(4)

式中：g—反饋增益系數(shù)；τ—時(shí)滯；r—路面激勵(lì)幅值；ω—路面激勵(lì)頻率。

當(dāng)g=0時(shí)，時(shí)滯反饋控制下的1/4主動(dòng)汽車(chē)懸架系統(tǒng)退化為被動(dòng)汽車(chē)懸架系統(tǒng)。

設(shè)式(1，2)的解為:

x1=a1sin(ωt)+b1cos(ωt)

(5)

x2=a2sin(ωt)+b2cos(ωt)

(6)

式中：a1，b1，a2，b2—待求系數(shù)。

將式(3～6)代入式(1，2)，由等式左右兩端sin(ωt)和cos(ωt)前面的系數(shù)相等，可以得到關(guān)于a1，b1，a2，b2的線性方程組：

[a1,b1,a2,b2]T=D-1E

(7)

其中：

D=(dyz)4×4,(y,z=1,2,3,4),d11=d22=k1-m1ω2-gω2cos(ωτ)，d12=-d21=-c1ω-gω2sin(ωτ)，d13=d24=-k1，d14=-d23=c1ω，d31=d42=-k1+gω2cos(ωτ)，d32=-d41=c1ω+gω2sin(ωτ)，d33=d44=k1，d34=-d43=-c1ω-c2ω，E=[0,0,k2r,c2rω]T。

由式(7)可得車(chē)身和車(chē)輪的加速度幅值：

(8)

(9)

2 穩(wěn)定性分析及數(shù)值驗(yàn)證

2.1 穩(wěn)定性分析

考慮到時(shí)滯反饋控制的引入，會(huì)給汽車(chē)懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)很大影響，因此，本文對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

設(shè)式(1，2)的特征根為s，由Laplace變換可得：

G(s)X(s)=F(s)

(10)

其中：

G(s)=

X(s)=[X1(s),X2(s)]T,F(s)=[0,F(s)]T。

時(shí)滯反饋控制下，汽車(chē)懸架系統(tǒng)的特征方程為|G(s)|=0，即：

P(s)+Q(s)e-sτ=0

(11)

其中：

P(s)=m1m1s4+(c1m1+c1m2+c2m1)s3+(c1c2+k1m1+k1m2+k2m1)s2+(c1k2+c2k1)s+k1k2，Q(s)=(-k2-c2s-m2s2)g。

當(dāng)式(11)所有的特征根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)才穩(wěn)定[14]。故先考慮系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定狀態(tài)，即所有特征根的實(shí)部皆為0。設(shè)s=ωci，(ωc>0)，代入式(11)，分離實(shí)部和虛部可得：

(12)

(13)

由式(12，13)可求得sin(ωcτ)和cos(ωcτ)的表達(dá)式。根據(jù)sin2(ωcτ)+cos2(ωcτ)=1，可得關(guān)于ωc的多項(xiàng)式方程為：

(14)

其中：

由式(14)可知，當(dāng)反饋增益系數(shù)g取某一定值時(shí)，系數(shù)li(i=0,2,4,6,8)決定了方程根的取值情況，本文定義式(14)的正實(shí)根個(gè)數(shù)為N。當(dāng)N=0時(shí)，系統(tǒng)不發(fā)生穩(wěn)定性切換，即τ取任意正實(shí)數(shù)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變。當(dāng)N≠0時(shí)，系統(tǒng)有N個(gè)根{ωc1,ωc2,…,ωcN}，且對(duì)于每個(gè)根ωcm(m=1,2…,N)都存在無(wú)窮多個(gè)τ值{τ1,τ2,…,τ∞}與之對(duì)應(yīng)。當(dāng)τ從τn-ε增加到τn+ε(0<ε<<1,n=1,2,…,∞)，方程特征根實(shí)部變化情況可由以下方程確定[15]：

(15)

在τ穿過(guò)臨界τn的過(guò)程中，如果RT=+1，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量增加2個(gè)；如果RT=-1，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量減少2個(gè)。依次將反饋增益系數(shù)g取不同值，重復(fù)上述分析過(guò)程，可得到反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的兩參數(shù)平面上系統(tǒng)的穩(wěn)定性分區(qū)圖，如圖2所示(本文中，取系統(tǒng)的物理參數(shù)[16]如下：m1=600 kg，m2=60 kg，k1=18 000 N/m，k2=200 000 N/m，c1=2 500 Ns/m，c2=1 000 Ns/m)。

圖2 穩(wěn)定性分區(qū)圖

從圖2可以看出：當(dāng)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的取值位于灰色區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯的取值位于空白區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)。

2.2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證穩(wěn)定性分析的正確性，本文選取4個(gè)點(diǎn)(如圖2所示)。其中，點(diǎn)P2和P3對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng)，點(diǎn)P1和P4對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的系統(tǒng)響應(yīng)。

分別將4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(1，2)，同時(shí)取r=0.01 m，Ω=5.5 Hz(Ω=ω/2π)，利用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，可得到4個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的車(chē)身加速度時(shí)程響應(yīng)，如圖3所示。

圖3 車(chē)身的加速度時(shí)程響應(yīng)

由圖3可見(jiàn)：車(chē)身的加速度響應(yīng)幅值收斂到某一定值，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；車(chē)身的加速度響應(yīng)幅值發(fā)散，此時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)。這與圖2中P1-P4點(diǎn)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性一致，從而證明圖2穩(wěn)定性分區(qū)圖的正確性。

3 單頻率處的控制參數(shù)優(yōu)化及驗(yàn)證

3.1 控制參數(shù)優(yōu)化

本文采用粒子群優(yōu)化算法，對(duì)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯進(jìn)行優(yōu)化求解。以車(chē)身的加速度幅值作為適應(yīng)度函數(shù)，優(yōu)化過(guò)程中相關(guān)參數(shù)的設(shè)置如下：粒子數(shù)為500，空間維數(shù)為2，最大迭代次數(shù)為1 000，學(xué)習(xí)因子為0.9，慣性權(quán)重為0.8，速度限制為[-1,1]，位置限制為[-500,500]和[0,1.4]。

在頻段1 Hz～20 Hz之間取離散頻率點(diǎn)，本文對(duì)每個(gè)頻率處車(chē)身的加速度幅值進(jìn)行優(yōu)化，并獲得該點(diǎn)處最優(yōu)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯取值(gop和τop)。為了得到車(chē)身和車(chē)輪的加速度幅值的變化情況(增加或減少)，定義ΦA(chǔ)和ΦB分別表示車(chē)身和車(chē)輪的加速度幅值變化的百分比，其表達(dá)式如下：

(16)

其中：X=A,B。

優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果

從表1可以看出：某些路面激勵(lì)頻率處存在多個(gè)最優(yōu)時(shí)滯量，這給實(shí)際工程中時(shí)滯的取值提供一定的靈活性。

被動(dòng)和最優(yōu)時(shí)滯反饋控制下，車(chē)身和車(chē)輪的加速度幅值—頻率關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 加速度幅值-頻率關(guān)系曲線

由表1和圖4可知：與被動(dòng)控制下車(chē)身的加速度幅值相比，最優(yōu)時(shí)滯反饋控制下車(chē)身的加速度幅值得到一定程度的減小，表明汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振效果得到改善。當(dāng)Ω=1.5 Hz和Ω=9.5 Hz時(shí)，車(chē)身加速度幅值分別降低了54.05%和19.60%，而車(chē)輪加速度幅值分別增加了1.59%和47.31%，表明在時(shí)滯反饋控制下，汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振效果得到了明顯改善，且車(chē)身和車(chē)輪之間存在能量傳遞。

3.2 優(yōu)化結(jié)果的驗(yàn)證

從表1中選取頻率Ω=5.5 Hz和Ω=9.5 Hz，并對(duì)兩頻率處時(shí)滯反饋控制參數(shù)的最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

通過(guò)數(shù)值仿真，分別得到兩個(gè)頻率處車(chē)身和車(chē)輪的加速度時(shí)程響應(yīng)如圖(5，6)所示。

圖5 當(dāng)Ω=5.5 Hz時(shí)加速度時(shí)程響應(yīng)

圖6 當(dāng)Ω=9.5 Hz時(shí)加速度時(shí)程響應(yīng)

從圖(5，6)可以看出：當(dāng)Ω=5.5 Hz和Ω=9.5 Hz時(shí)，車(chē)身和車(chē)輪的加速度時(shí)程響應(yīng)的幅值與表2中的優(yōu)化結(jié)果是一致的，表明本文對(duì)控制參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果是可靠的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用了粒子群優(yōu)化算法，研究了1/4汽車(chē)懸架系統(tǒng)中時(shí)滯反饋控制的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化結(jié)果表明，在最優(yōu)控制參數(shù)下汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振效果得到了有效地改善，在頻率1 Hz～20 Hz范圍內(nèi)車(chē)身的加速度幅值至少可降低19.60%；在某些頻率下，存在多組反饋控制參數(shù)的最優(yōu)值，這給實(shí)際工程中控制參數(shù)的靈活取值提供了理論參考。

在下一階段，本研究將通過(guò)汽車(chē)懸架系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究，進(jìn)一步驗(yàn)證最優(yōu)時(shí)滯反饋控制下的汽車(chē)懸架系統(tǒng)的隔振效果。