董剛 林長龍

摘? 要：猜想驗(yàn)證是小學(xué)數(shù)學(xué)“成長型課堂”中要求最高的探究方式，對學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)習(xí)能力、知識建構(gòu)、思維能力有積極的促進(jìn)作用。文章在近幾年區(qū)域探索與實(shí)踐的基礎(chǔ)上，從猜想驗(yàn)證的定義、作用、能力發(fā)展指標(biāo)和能力觀察要點(diǎn)等四個方面做了較為詳細(xì)的闡述。

關(guān)鍵詞：猜想驗(yàn)證;能力發(fā)展指標(biāo);觀察要點(diǎn)

編者按：自主探索是小學(xué)數(shù)學(xué)“成長型課堂”中重要的自主學(xué)習(xí)板塊，主要包括嘗試發(fā)現(xiàn)、舉例歸納和猜想驗(yàn)證三種探究方式。猜想驗(yàn)證是對學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力要求最高的一種探究方式，對提高小學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)習(xí)能力、知識建構(gòu)和思維能力有著積極的促進(jìn)作用。南京市江北新區(qū)的小學(xué)數(shù)學(xué)“成長型課堂”項(xiàng)目組在區(qū)教研員林長龍老師的帶領(lǐng)下，對小學(xué)生在猜想驗(yàn)證活動中的行為表現(xiàn)進(jìn)行了長期的觀察與分析，在此基礎(chǔ)上編制了《小學(xué)生猜想驗(yàn)證能力發(fā)展指標(biāo)》，并通過實(shí)踐不斷探索培養(yǎng)小學(xué)生猜想驗(yàn)證能力的策略，取得了較為豐碩的成果。本期圍繞“猜想驗(yàn)證能力”的專題，推出“成長型課堂”項(xiàng)目組成員的4篇論文和案例，以饗讀者。

小學(xué)數(shù)學(xué)“成長型課堂”包括自主定向、自主探索和自主應(yīng)向三大自主板塊，自主探索又包括自主探究和展示交流兩個部分。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的自主探究活動主要包括嘗試發(fā)現(xiàn)、舉例歸納、猜想驗(yàn)證等三種方式，猜想驗(yàn)證是其中最為完整的科學(xué)探究方式，需要在小學(xué)生具備一定的嘗試發(fā)現(xiàn)和舉例歸納能力之后才能適度開展。猜想驗(yàn)證能力是培養(yǎng)小學(xué)生自主探究能力的最高追求。

■一、猜想驗(yàn)證的定義

猜想驗(yàn)證是指學(xué)生在觀察或處理數(shù)學(xué)信息時發(fā)現(xiàn)具有共性的問題，通過歸納、類比或想象提出數(shù)學(xué)猜想，選擇運(yùn)用合適的方法驗(yàn)證猜想并形成結(jié)論的探究學(xué)習(xí)活動。

■二、猜想驗(yàn)證的作用

開展猜想驗(yàn)證活動能有效促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、學(xué)習(xí)能力、知識建構(gòu)和思維能力的發(fā)展。首先，猜想驗(yàn)證活動能激發(fā)學(xué)生的好奇心，在猜想驗(yàn)證的過程中學(xué)生真切體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和思維的樂趣，通過自主探究感受自身的價值，從而有效增強(qiáng)學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機(jī)和自信心。其次，猜想驗(yàn)證是一種重要的學(xué)習(xí)策略，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展起著重要作用，掌握猜想驗(yàn)證的過程與方法能有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。第三，猜想驗(yàn)證能激發(fā)學(xué)生盡可能多地調(diào)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，努力探索知識之間的聯(lián)系，綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)和解決問題，有效促進(jìn)了學(xué)生對知識的理解和知識體系的建構(gòu)與完善。最后，猜想驗(yàn)證有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，其主要表現(xiàn)在想象與創(chuàng)造思維、邏輯思維和思維方式三個方面。想象是對表層發(fā)現(xiàn)進(jìn)行聯(lián)想的重要方式，是提出猜想所需的重要品質(zhì)，大膽的想象與合理的推理相結(jié)合，往往能獲得創(chuàng)造性的深層發(fā)現(xiàn)。從某種意義上來說，猜想就是想象與創(chuàng)造的過程。驗(yàn)證需要科學(xué)、合理和嚴(yán)密的思維，驗(yàn)證的過程就是學(xué)生運(yùn)用邏輯思維進(jìn)行思考與操作的過程，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力。猜想驗(yàn)證要求學(xué)習(xí)者掌握一般的研究方法，能夠按照一定的流程進(jìn)行觀察、思考與實(shí)踐，并在猜想驗(yàn)證過程中能夠靈活把握研究的方向和進(jìn)程，根據(jù)研究中所遇到的問題及時調(diào)整方法和方向，從而逐步掌握科學(xué)探究的思維方式。

■三、猜想驗(yàn)證能力發(fā)展指標(biāo)

猜想驗(yàn)證能力發(fā)展指標(biāo)是對學(xué)生開展猜想驗(yàn)證活動的行為表現(xiàn)水平的具體描述。為了便于觀察與操作，根據(jù)猜想驗(yàn)證活動的一般過程，指標(biāo)從提出問題、合理猜想、設(shè)法驗(yàn)證、得出結(jié)論和回顧反思等五個維度來描述小學(xué)生的猜想驗(yàn)證能力，并將每個維度劃分成三個層級來區(qū)分小學(xué)生不同的發(fā)展水平。具體內(nèi)容見表1。

■四、猜想驗(yàn)證能力的觀察要點(diǎn)

猜想驗(yàn)證能力是一種高度綜合的能力，每個維度的能力也都是一些具體能力的綜合體現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用小學(xué)生猜想驗(yàn)證能力發(fā)展指標(biāo)來指導(dǎo)教學(xué)時，我們不太可能面面俱到地加以關(guān)注，但可以抓住每個維度的要點(diǎn)進(jìn)行觀察與分析。教師在實(shí)際教學(xué)中通過對這些要點(diǎn)的觀察與分析，可以較為準(zhǔn)確、快捷地了解學(xué)生猜想驗(yàn)證能力的發(fā)展情況，進(jìn)而及時采取有針對性的指導(dǎo)策略。

1. 提出問題維度的觀察要點(diǎn)：問題意識

提出問題維度的觀察要點(diǎn)是學(xué)生的問題意識，具體包括發(fā)現(xiàn)意識、追問意識和聯(lián)系意識，它們具有遞進(jìn)關(guān)系。發(fā)現(xiàn)意識是指學(xué)生在對數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行觀察和操作的時候，能夠有意識地尋找其中具有某種特性的現(xiàn)象，這是發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)。追問意識是指學(xué)生在有所發(fā)現(xiàn)之后能夠有意識地思考“為什么會這樣”“什么情況下才會這樣”“這種現(xiàn)象能說明什么，有什么價值”等問題，這是提出問題的基礎(chǔ)，有利于激發(fā)學(xué)生參與探究的動機(jī)。聯(lián)系意識是指學(xué)生能在產(chǎn)生問題后有意識地進(jìn)一步思考“出現(xiàn)這種現(xiàn)象可能與哪些因素有關(guān)”，從而提出指向明確的問題，有利于探究活動有針對性地順利開展和比較具體的數(shù)學(xué)猜想的形成。意識引導(dǎo)思維和行為，具備不同意識的學(xué)生所提問題的深度有所不同。

2. 合理猜想維度的觀察要點(diǎn)：分析視角

合理猜想維度的觀察要點(diǎn)是學(xué)生分析數(shù)據(jù)的視角，具體包括情境視角、關(guān)系視角和全局視角，它們具有遞進(jìn)關(guān)系。情境視角是指學(xué)生分析時思考的范圍局限在具體的事物和數(shù)量上，缺乏必要的抽象。關(guān)系視角是指學(xué)生分析時聚焦于對問題中所提及的變量之間關(guān)系的抽象概括，忽視其他可能的影響因素。全局視角是指學(xué)生在關(guān)注變量之間的關(guān)系的同時能夠從全局的角度進(jìn)行審視，留意是否存在其他的影響因素。數(shù)學(xué)猜想實(shí)質(zhì)上就是通過對某些材料中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析從而明確其中可能蘊(yùn)含的規(guī)律或結(jié)論的過程，分析的視角對猜想的抽象程度和準(zhǔn)確性有較大的影響。

3. 設(shè)法驗(yàn)證維度的觀察要點(diǎn)：方法選擇

設(shè)法驗(yàn)證維度的觀察要點(diǎn)是學(xué)生對驗(yàn)證方法的選擇，具體包括跟隨指導(dǎo)、遵循經(jīng)驗(yàn)、嘗試創(chuàng)新，分別代表學(xué)生自主驗(yàn)證能力發(fā)展的三個階段。學(xué)生在剛開始進(jìn)行猜想驗(yàn)證活動時，并不清楚發(fā)現(xiàn)猜想與驗(yàn)證猜想之間的區(qū)別，不知道該怎樣做才算是驗(yàn)證，因此需要教師的具體指導(dǎo)，獲得關(guān)于驗(yàn)證的基本認(rèn)識與經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在開展猜想驗(yàn)證活動的過程中初步積累了以舉例驗(yàn)證為主的驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)，能夠遵循已有經(jīng)驗(yàn)自主開展新的驗(yàn)證活動。學(xué)生通過多次的猜想驗(yàn)證活動逐步豐富了對驗(yàn)證方法的理解和適用范圍的感知，獲得了驗(yàn)證方法的條件性知識，從而逐步具備了根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)自主選擇和創(chuàng)新驗(yàn)證方法的能力，能在自主實(shí)踐中比較靈活地、創(chuàng)造性地進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生自主驗(yàn)證能力的發(fā)展是一個長期的過程，三個階段之間還有過渡階段，教師需要通過仔細(xì)觀察與分析才能更為有效地進(jìn)行引導(dǎo)。

4. 得出結(jié)論維度的觀察要點(diǎn)：判斷過程

得出結(jié)論維度對學(xué)生的觀察要點(diǎn)是對驗(yàn)證結(jié)果做出判斷的過程，具體包括確認(rèn)猜想、形成結(jié)論和數(shù)學(xué)表達(dá)，反映了學(xué)生在得出結(jié)論時思維逐步深入的過程。學(xué)生在完成驗(yàn)證活動之后，首先要根據(jù)驗(yàn)證的情況，有理由、有依據(jù)地對猜想是否正確進(jìn)行確認(rèn);然后在確認(rèn)猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考最后的結(jié)論應(yīng)該是什么，并準(zhǔn)確地進(jìn)行描述;最后從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，思考怎樣用數(shù)學(xué)的形式簡潔而準(zhǔn)確地表達(dá)結(jié)論。學(xué)生在進(jìn)行充分的猜想和驗(yàn)證環(huán)節(jié)之后通過觀察、比較、討論得出結(jié)論，是對自己的體會感悟和發(fā)現(xiàn)做出邏輯整理和總結(jié)歸納的過程，學(xué)生要把自己頭腦中的思路和想法梳理清晰，在加以組織、加工之后用簡練的語言表達(dá)出來，這有利于提高和發(fā)展學(xué)生思維的條理性和邏輯性，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知從直觀到抽象、從特殊到一般持續(xù)發(fā)展。

5. 回顧反思維度的觀察要點(diǎn)：反思程度

回顧反思維度對學(xué)生的觀察要點(diǎn)是學(xué)生對自己的變化或得失的反思程度，包括描述過程、分析原因和自我提升三個層級。描述過程重在對當(dāng)時自己的想法和做法的回顧，分析原因是對想法和做法來源的解釋，自我提升則是思考這一過程帶來的新想法和新認(rèn)識?；仡櫡此际且粋€開放的環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)容理解、方法應(yīng)用和行為表現(xiàn)等方面進(jìn)行自我反思。學(xué)生的反思點(diǎn)可以有很多，不同的學(xué)生，其反思點(diǎn)的差異也很大，支持學(xué)生自主反思需要充分尊重這些差異。因此，在反思內(nèi)容方面以“變化”和“得失”兩個較大的概念來界定范圍，具體的反思點(diǎn)則通過實(shí)踐讓學(xué)生逐步積累與豐富。教師的觀察應(yīng)聚焦于學(xué)生對某一點(diǎn)的反思程度，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會深刻地反思?；仡櫡此家苍S是整個猜想驗(yàn)證活動中最重要的階段了，是學(xué)好數(shù)學(xué)和學(xué)會學(xué)習(xí)的法寶和訣竅之一，理應(yīng)得到教師和學(xué)生的高度重視。

猜想驗(yàn)證活動為學(xué)生提供了更多的觀察發(fā)現(xiàn)、自主探索、反思批判的時間與空間，能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證、歸納、反思等學(xué)習(xí)過程。但是，要想使教學(xué)的內(nèi)容目標(biāo)與過程目標(biāo)都得以較好的實(shí)現(xiàn)，需要教師在設(shè)計問題情境時兼顧內(nèi)容的指向性與思維的開放性，在猜想驗(yàn)證時兼顧學(xué)生的自主性和教師的指導(dǎo)性，在評價反思時兼顧學(xué)生的個性思考與共同發(fā)展，充分發(fā)揮教師的支持與指導(dǎo)作用，使猜想驗(yàn)證活動更為有效地開展。