周紹磊， 趙學遠， 祁亞輝， 王帥磊

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264001)

0 引言

由于多智能體系統(tǒng)能夠高效合理地解決復雜的大規(guī)?？刂茊栴}，近年來受到了廣泛關注，其體現(xiàn)在實際工業(yè)系統(tǒng)中的能力以及尚待挖掘的潛力，將作為基礎問題的一致性問題推上了控制科學領域的前沿。

一致性問題已經(jīng)取得了大量成果，其中包括蜂擁[1]、編隊控制[2-3]、集結[4]、分布式跟蹤[5]等群體性行為領域。文獻[6]為多智能體系統(tǒng)設計了基于事件觸發(fā)函數(shù)的控制器，使得系統(tǒng)在達成一致的過程中節(jié)約了寶貴的通信資源。文獻[7]研究了一種混合型多智能體系統(tǒng)的一致性問題，并提出了3種控制協(xié)議，針對采樣周期的不同限制，給出了混合多智能體系統(tǒng)達成一致的充要條件。文獻[8]利用反饋線性化方法將一類非線性智能體系統(tǒng)化為標準型，然后設計了一致性協(xié)議，并且根據(jù)下三角矩陣性質分析了協(xié)議的性能指標。

關于一致性問題的研究，現(xiàn)有的結論多集中在固定拓撲或無向拓撲中[9-10]，這對系統(tǒng)的通信能力提出了極高的要求。而在實際情況下，多智能體之間的通信網(wǎng)絡極容易受環(huán)境影響，智能體距離超過最大通信距離，運動過程中出現(xiàn)障礙物阻礙通信等情況都有可能使得固定的拓撲結構出現(xiàn)通信中斷現(xiàn)象。無向拓撲結構顯然是有向拓撲的一種特殊情況，即每個智能體均可以接收發(fā)送信息，這對智能體的傳感器提出了很高要求，無形中增加了成本。相比于固定拓撲和無向拓撲圖，文獻[11]研究了在切換拓撲條件下無人機系統(tǒng)的編隊控制，其中每個拓撲圖均為一般有向拓撲圖，突破了固定拓撲和無向拓撲的局限性，因此本文所要研究的有向切換拓撲條件下多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題也更加具有一般性和實際意義。

在實際系統(tǒng)中，外部擾動的存在，對系統(tǒng)達成一致造成了極大障礙，將外界擾動考慮其中更具有實際意義。如果所設計的控制器能夠有效抑制擾動，那么對系統(tǒng)達成一致性便有了非常好的控制品質。文獻[12]利用多重比例積分控制器，使得異構多智能體系統(tǒng)存在常數(shù)擾動時達到一致。文獻[13-14]針對多智能體系統(tǒng)受到已知干擾建立觀測器，將有干擾情況下的一致性問題轉化為自治系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。文獻[15]研究了具有1階、2階動力學模型的多智能體系統(tǒng)在外部常數(shù)擾動下的一致性問題。在文獻[16-17]中均考慮了外部擾動的存在，并設計了基于輸出反饋的控制器抑制了擾動影響并實現(xiàn)了一致性控制。文獻[18]設計了控制器使得基于無向圖的線性多智能體系統(tǒng)在受到外部未知擾動時達成一致?？紤]外部擾動，文獻[19]基于觀測器理論設計了控制器，使得帶有擾動的2階多智能體系統(tǒng)達成一致。文獻[20]研究了有向拓撲條件下考慮外部擾動的H∞控制。為了抑制擾動文獻[21]使用了一種基于動態(tài)反饋的觀測器解決了固定拓撲條件下的H∞控制一致性問題。文獻[22]研究了無向通信拓撲條件下不確定的線性多智能體系統(tǒng)分布式魯棒性控制問題。文獻[23]提出了一種分解方法來解決具有相同耦合離散時間的線性多智能體系統(tǒng)的分布式H∞控制問題。在多智能體系統(tǒng)工作期間很容易受到外部隨機產生的短時有界擾動，如多無人機系統(tǒng)飛行過程中受到陣風的影響，多無人潛航器在水中受到海流的影響，同樣多無人機等智能體躲避障礙物的行為也可以視為短時有界干擾?，F(xiàn)有結果多是針對已知擾動[12-15]，且多智能體系統(tǒng)的通信拓撲多為固定拓撲[12-23]，如之前分析固定拓撲圖對系統(tǒng)具有很強的局限性，而在切換拓撲圖條件下針對外部隨機產生的短時有界擾動相關成果很少，故研究如何設計H∞一致性控制器，使得系統(tǒng)在切換拓撲條件下實現(xiàn)一致性并滿足給定的暫態(tài)性能指標，對外界擾動起到較好的抑制作用更具有實際意義。

一致性問題可以分成帶領導者的一致性問題和不含領導者的一致性問題。文獻[24]研究了切換拓撲條件下不含領導者的具有非線性動力學的多智能體系統(tǒng)一致性問題。文獻[25]研究了2階多智能體系統(tǒng)具有一個或者多個領導者的有限時間一致性問題。領導者是一個運動學獨立于其他智能體的特殊智能體，它可以對跟蹤智能體產生影響，反之通常不成立，故可以通過控制領導智能體的運動來完成對多智能體系統(tǒng)最終狀態(tài)的控制，這樣使得多智能體系統(tǒng)的控制簡化，同時也降低了控制成本。因此研究帶領導者的一致性問題，也稱為追蹤問題更加具有實際意義。

本文將要研究包含一個領導者的多智能體系統(tǒng)，在有向切換拓撲條件下考慮暫態(tài)響應的H∞一致性控制，使得系統(tǒng)即使受到外部擾動影響也能達成一致，并具有好的控制品質，本文中外部擾動是短時有界隨機產生的。將現(xiàn)有的在無向固定拓撲，有向固定拓撲的通信拓撲條件釋放為有向切換拓撲，研究所得結果更具有一般性。通過變量代換，將一致性問題轉化為穩(wěn)定性問題，并利用線性矩陣不等式求解，使得問題求解難度降低。

1 圖論及相關引理

引理1[26]圖G的Laplacian矩陣L至少有一個零特征值，其他非零特征值均具有正實部；如果有向圖G包含有一個有向生成樹，則0是L的簡單特征值，1N是其對應的右特征向量。

1)S(P)<0；

根據(jù)文獻[24]可以得到類似的引理3：

2 問題描述及分析

考慮一個由N個具有相同動力學模型的智能體構成的多智能體系統(tǒng)，當智能體系統(tǒng)受到外部擾動時，其動力學模型描述為

(1)

式中：i=1,2,…,N；xi(t)為智能體i的狀態(tài)；ui(t)為智能體i的控制輸入；yi(t)為智能體i的控制輸出；ωi(t)∈L2[0,∞)為智能體i的外部擾動，L2[0,∞)表示在[0，∞)上的平方可積函數(shù)；A、B、C、D是具有合適維度的系統(tǒng)矩陣。設智能體i=1為領導者，智能體i=2,3，…，N為跟隨者。

如何設計控制器使得多智能體系統(tǒng)無論擾動存在與否，都能達成一致，并且當外部擾動存在時，所設計的控制器能夠有效地抑制擾動，同時滿足暫態(tài)性能指標，為本文研究的主要問題。

基于局部鄰居相對狀態(tài)信息，將領導者和跟隨者的控制器設計為

(2)

式中：K1和K2為待求矩陣；c為耦合系數(shù)。

定義智能體偏差變量為

zi=C(xi(t)-x1(t)),i=2,3,…,N.

(3)

令θi=xi(t)-x1(t),i=2,3,…,N，θ(t)=[θ2(t),θ3(t),…,θN(t)]T，z(t)=[z2(t),z3(t),…,zN(t)]T，則可得

(4)

對于預先給定的抗擾動衰減指標γ>0，稱控制器使得系統(tǒng)實現(xiàn)了滿足暫態(tài)響應性能的H∞一致性控制，如果所設計的控制器能夠使得多智能體系統(tǒng)滿足以下兩個條件：

2)當ω(t)≠0時，在零初始條件下，γω<γ，即智能體偏差變量滿足

3 控制器設計

有向切換拓撲條件下考慮暫態(tài)響應的多智能體系統(tǒng)H∞一致性控制器的設計步驟如圖1所示。

圖1 控制器設計步驟Fig.1 Design procedure of controller

計算反饋矩陣所用線性矩陣不等式如(5)式：

(5)

(6)

(7)

(8)

整理可得(6)式成立，證畢。

考慮如(9)式的連續(xù)Lyapunov函數(shù)：

V(t)=θ(t)T(Qσ(t)?P)θ(t).

(9)

當t∈[tk,tk+1)時，V(t)是連續(xù)的。令K2=BTP，對(9)式沿著系統(tǒng)(4)式求導，可得

(PBBTP))θ(t)+ 2ωT(t)((FTQσ(t))?(PD))θ(t).

(10)

根據(jù)引理3有

(11)

根據(jù)引理2，當且僅當

(12)

時，(5)式成立，顯然有

ATP+PA-2α0cPBBTP+βP<0.

(13)

如果切換系統(tǒng)平均駐留時間滿足

(14)

ATP+PA-2α0cPBBTP+P<0.

(15)

當ω(t)=0時，

(16)

由(15)式可得

(17)

根據(jù)(9)式和(17)式可得

V(t)

(18)

考慮到對于任意i∈S，有ηI≤Qσ(t)≤φI，所以在切換時刻tk時有

(19)

進行迭代推理可得

(20)

(21)

當ω(t)≠0時，

(22)

則

(23)

(23)式兩邊同時加上βθ(t)T(Qσ(t)?P)θ(t)，可得

(24)

式中：

(25)

(26)

根據(jù)引理2，Θ<0當且僅當

(27)

時，又因為Qσ(t)≤φI，F(xiàn)FT≤φI，則

(28)

對于任意時刻均成立。

(29)

對于零初始條件，有V(0)=0，則

(30)

又因為1<ξ(t)<μ，所以

(31)

文獻[29]研究了有向圖下考慮暫態(tài)響應的多智能體H∞一致性控制，而本文所研究的是在有向切換拓撲條件下帶有領導者考慮暫態(tài)響應的多智能體H∞一致性控制。有向切換拓撲圖使得系統(tǒng)對通信要求降低了，且固定拓撲就是切換拓撲的一種特殊情況；包含領導者的一致性問題(追蹤問題)的解決，使得可以通過控制領導者進而控制整個智能體系統(tǒng)。因此本文研究內容更加具有普適性和實用性。

文獻[13-14]所研究的干擾是已知的動態(tài)模型，可以通過解耦將一致性問題轉化為穩(wěn)定性問題，本文所研究的干擾是隨機產生的，因此無法通過直接解耦解決問題，這無形中增加了研究難度。而在實際中，研究這種隨機產生的有界擾動更具有意義，例如多無人機系統(tǒng)在飛行過程中，所受到短時間側風的影響。

4 仿真結果與分析

本文針對多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)含有領導者的一致性過程中受到短時有界干擾問題，建立控制器，根據(jù)H∞控制的相關概念和思想，研究了多智能體系統(tǒng)能夠在滿足給定暫態(tài)性能指標的前提下達成一致問題。

多無人機系統(tǒng)的通信拓撲從如圖2所示有限拓撲集合中隨意切換，其中4個拓撲圖G1、G2、G3、G4均包含一條有向生成樹。拓撲切換過程如圖3所示，σ(t)的當前值表示t時刻多無人機系統(tǒng)通信拓撲圖的序號，即t時刻多無人機系統(tǒng)的通信拓撲圖為Gσ(t).

圖2 有限的拓撲集合={G1,G2,G3,G4}Fig.2 A finite set of topologies ={G1,G2,G3,G4}

圖3 拓撲切換過程Fig.3 Topology switching process

在考慮暫態(tài)響應時，所設計的控制器，使得系統(tǒng)滿足暫態(tài)響應性能指標，各無人機東向位置、東向速度、北向位置、北向速度分別如圖4～圖7所示。為描述方便將圖4～圖7稱為第1組圖。

圖4 考慮暫態(tài)響應時無人機東向位置Fig.4 UAV eastward position with considering transient response

圖5 考慮暫態(tài)響應時下無人機東向速度Fig.5 UAV eastward speed with considering transient response

圖6 考慮暫態(tài)響應時無人機北向位置Fig.6 UAV northward position with considering transient response

圖7 考慮暫態(tài)響應時無人機北向速度Fig.7 UAV northward speed with considering transient response

不考慮暫態(tài)響應時，所設計的控制器使得無人機系統(tǒng)趨于一致，各無人機東向位置、東向速度、北向位置、北向速度分別如圖8～圖11所示。為描述方便將圖8～圖11稱為第2組圖。

圖8 不考慮暫態(tài)響應時無人機東向位置Fig.8 UAV eastward position without considering transient response

圖9 不考慮暫態(tài)響應時無人機東向速度Fig.9 UAV eastward speed without considering transient response

圖10 不考慮暫態(tài)響應時無人機北向位置Fig.10 UAV northward position without considering transient response

圖11 不考慮暫態(tài)響應時無人機北向速度Fig.11 UAV northward speed without considering transient response

在不受外部擾動影響時，所設計的控制器使得無人機系統(tǒng)趨于一致，各無人機東向位置、東向速度、北向位置、北向速度分別如圖12～圖15所示。為描述方便將圖12～圖15稱為第3組圖。

圖12 不受外部擾動時無人機東向位置Fig.12 UAV eastward position without external disturbance

圖13 不受外部擾動時無人機東向速度Fig.13 UAV eastward speed without external disturbance

圖14 不受外部擾動時無人機北向位置Fig.14 UAV northward position without external disturbance

圖15 不受外部擾動時無人機北向速度Fig.15 UAV northward speed without external disturbance

當存在外部隨機擾動時，考慮暫態(tài)響應和不考慮暫態(tài)響應，以及不存在外部隨機擾動時，所設計的控制器均能使多無人機系統(tǒng)達到一致，但是在控制品質上存在明顯的差異。從第3組圖可以看出4架無人機構成的系統(tǒng)在5 s時達成一致，此后保持一致狀態(tài)運行，表明在不受外部擾動影響時，所設計的控制器能夠使得無人機系統(tǒng)達成一致。從第1組圖可以看出4架無人機構成的系統(tǒng)也在5 s時達成一致，此后保持一致狀態(tài)運行。但是對比3組圖，可以發(fā)現(xiàn)，第1組圖在1～4 s內由于外部隨機擾動的影響，無人機系統(tǒng)的位置和速度曲線均產生了波動，因為考慮了暫態(tài)響應設計的控制器作用，無人機系統(tǒng)依舊在5 s時各狀態(tài)達成了一致。從第2組圖可以看出4架無人機構成的系統(tǒng)也在8 s時達成一致，此后保持一致狀態(tài)運行，在1～4 s內由于外部隨機擾動，可以清晰地看出無人機系統(tǒng)的各狀態(tài)曲線都產生了較為強烈的振蕩，以至于達成一致的時間較考慮暫態(tài)響應和不受外部擾動兩種情況下都需多耗時4 s. 綜合3組圖，考慮暫態(tài)響應所設計的控制器抑制擾動效果極為明顯，使得系統(tǒng)狀態(tài)以較小的震蕩快速趨于一致，在達成一致時間上與不受外部擾動情況下一樣，且狀態(tài)曲線基本相似。而不考慮暫態(tài)響應所設計的控制器，在控制效果上明顯不如考慮暫態(tài)響應所設計的控制器，震蕩劇烈，達成一致時間延后。因此本文提出的在有向切換拓撲條件下考慮暫態(tài)響應所設計的H∞一致性控制器能夠解決多智能體系統(tǒng)受外部隨機擾動時的一致性問題，同時滿足暫態(tài)性能指標，極具實際意義。

本文給定的抗擾動衰減參數(shù)γ用于描述所設計控制器對外界擾動的抑制效果，取值越小則效果越明顯，但是在仿真中發(fā)現(xiàn)過小的取值會導致(5)式無解，這意味所設計的控制器不能無限抑制擾動，關于γ最小取值本文并未進行研究。而γ取值如若過大則對擾動的抑制效果不明顯，所設計的控制器也失去了意義。

5 結論

本文針對有向切換拓撲條件下多智能體系統(tǒng)受外部有界隨機擾動影響時，設計了H∞一致性控制器，使得系統(tǒng)能夠追蹤領導者達成一致。得出以下結論：

1)利用本文提出的算法設計的H∞一致性控制器，能夠有效抑制外部隨機擾動對多智能體系統(tǒng)達成一致所造成的影響，并滿足給定的暫態(tài)性能指標，使得系統(tǒng)能夠迅速高效地達成一致。

2)本文所研究的通信拓撲結構為有向切換拓撲，相比較已有的無向拓撲，有向拓撲下得到的結論，降低了對系統(tǒng)的通信要求，所得結論更具有一般性和實際意義。

3)所設計控制器能滿足跟蹤領導者的一致性，降低了對多智能體系統(tǒng)的控制難度和控制成本，只需通過對領導者的控制，便可以實現(xiàn)對整個多智能體系統(tǒng)的控制。