一題多解開闊思路

孫晉芳

很多時(shí)候我們能通過多種方法解決同一個(gè)問題，從而感知題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。請(qǐng)看以下兩例，一起感受“一題多解”的魅力。

例1 若點(diǎn)P（a，b）在第三象限，則點(diǎn)M（b-1，-a+l）在第____象限。

【分析】首先我們要掌握各象限內(nèi)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的特征，判斷出a、b的正負(fù)情況，再根據(jù)對(duì)橫、縱坐標(biāo)的理解判斷出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的正負(fù)情況，最后反過來(lái)根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答。

方法一：特殊值法

令a=-1，b=-1，則b-1=-2，-a+1=2，∴M（-2，2），

∴點(diǎn)M（b-1，-a+1）在第二象限。

方法二：抓住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

∵點(diǎn)P（a，b）在第三象限，

∴a<0，6<0，

∴6-1<0，-a+1>0，

∴點(diǎn)M（b-1，-a+1）在第二象限。

方法三：數(shù)形結(jié)合

∵如圖1，點(diǎn)P（a，b）在第三象限，

∴a<0，b<0，

∴-a>0，b<0，

∴點(diǎn)（b，-a）在第二象限。

∴將點(diǎn)（b，-a）向左平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，平移后的點(diǎn)仍在第二象限，∴點(diǎn)M（b-1，-a+1）在第二象限。

【點(diǎn)撥】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征。記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決問題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上可以給出不同的解題方法。

例2 已知：在平面直角坐標(biāo)系中如圖2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，AD⊥x軸，OA⊥AB，且OA=AB，求四邊形OABC的面積。

【分析】此題的難點(diǎn)在于僅知道點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即AD的長(zhǎng)度，不能直接求出四邊形OABC的面積，因此需要我們構(gòu)造和轉(zhuǎn)化。

方法一：如圖3，過點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，這樣根據(jù)條件可證得△ADO≌△AEB，易證四邊形ADCE為正方形，那么四邊形OABC的面積即為正方形ADCE的面積16。

方法二：如圖4，過點(diǎn)B作BF⊥AD，垂足為F，這樣根據(jù)條件可證得△ADO≌△BFA，所以S_{四邊形OABC}=2S_△ADO+S_{長(zhǎng)方形BFDC}=2×1/2 AD·OD+DC·DF

=AD·OD+AD·（AD-AF）

=AD·OD+AD·（AD-OD）

=AD²=16。

【點(diǎn)撥】本題考查了同學(xué)們對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)的深度理解，若能將其與幾何圖形結(jié)合起來(lái)，通過割補(bǔ)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將有限的條件運(yùn)用起來(lái)，便能迎刃而解。

同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)從不同角度、不同方位和不同的運(yùn)算過程進(jìn)行聯(lián)想，以獲取更多有益的知識(shí)，也可以將一些煩瑣的甚至枯燥無(wú)味的習(xí)題變得充滿趣味。