函數(shù)的“故事”

姜鴻雁

記得好幾年前，我把“函數(shù)”這一課題寫在黑板上，對同學們說：“今天起，我們開始學習函數(shù)啦！在學習之前，對這個“新朋友”，你有問題問老師嗎？”有同學問：“它與我們前面學習的內容有關嗎？如果有，有怎樣的關系呢？我很想知道。”有人問：“什么叫函數(shù)呀？”……在眾多問題中，一位同學的問題讓我記憶猶新！他問：“老師，到底是誰起的這個‘怪怪的名字??？”同學們，通過本章的學習，前面的問題都應該解決了。最后一個問題，你有沒有像這位學長一樣，有同樣的疑惑？相信通過這篇文章的閱讀，你一定能從另一個視角認識“函數(shù)”。

“函數(shù)”名字的由來

早在17世紀，德國數(shù)學家萊布尼茨就首次提出用“function，（函數(shù)）”表示x的冪，即x²、x³、x⁴……的值。后來，他還用‘function（函數(shù)）”這一詞表示曲線上的橫坐標、縱坐標等與曲線上的點的變量關系，這個詞便逐漸流行開來。大物理學家、數(shù)學家牛頓曾用“流量”（與我們現(xiàn)在手機使用的“流量”不是一回事）表示兩個變量之間的關系。

19世紀，英國數(shù)學家德摩根的權威著作《代數(shù)學》被英國傳教士偉烈亞力帶入我國。我國清代數(shù)學家李善蘭在翻譯這本書時，將“變量”譯成“變數(shù)”，把“包含變數(shù)的表達式”譯成了“函數(shù)”，所以“函”有“含”的意思。這個譯名一直沿用至今。

函數(shù)發(fā)展小史

目前，提起函數(shù)，同學們可能容易聯(lián)想到一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），也就是首先想到函數(shù)解析式。這與古代數(shù)學家剛開始認識函數(shù)的歷程是一樣的。著名數(shù)學家歐拉曾經直接用“解析式”給函數(shù)下過定義。函數(shù)發(fā)展史上稱這一段時期為“解析式說”定義時期。

18世紀中葉，還是歐拉，在《微分基礎》這本著作里，更新了函數(shù)的定義，大致是這么描述的：如果某些量依賴另一些量，當后面這些量變化時，前面的量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。這個定義與我們課本上的定義比較接近了。為什么會有這樣的變化呢？因為數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)實世界里，并不是所有的函數(shù)關系都可以用解析式來表示的，比如一天中的氣溫隨時間而變化的規(guī)律是用圖像表示的;再如水庫的水位隨時間的變化規(guī)律是用表格來表示的……歐拉如此改進，將函數(shù)的發(fā)展由“解析式說”推進到“變量依賴關系說”。無論是他的“解析式”定義還是“依賴關系”定義，都對后世認識函數(shù)產生了深遠的影響。

德國數(shù)學家狄利克雷在1837年提出另一個函數(shù)定義，大致是這么說的：兩個變量x、y，在某一區(qū)間上，每一個確定的x值，y都有唯一一個確定的值與它對應，那么y叫x的函數(shù)。這與我們教材中關于函數(shù)定義的描述非常接近了，史上稱之為“變量對應關系說”。它將函數(shù)的發(fā)展又向前推進了一步。例如，y=0，我們說它一定不是一次函數(shù)，但它是函數(shù)嗎？我們可以這樣理解：對于變量x，取任意一個值，y都有唯一的值0與它對應，用變量對應關系定義可以判斷它是函數(shù)，我們稱它為“常函數(shù)”。另外，數(shù)學家柯西首次提出“自變量”一詞，也推動了函數(shù)的發(fā)展。

在數(shù)學世界里，同學們還有很長的探索之路要走。待到進入高中后，函數(shù)的定義會變化，你們將學習函數(shù)發(fā)展的更高階段——“集合對應關系說”下的定義。至于“集合對應關系說”下的函數(shù)定義是怎么描述的，對函數(shù)的研究又提供了怎樣廣闊天地，進入高中學習階段后自有分曉。這真是學無止境、學海無涯！

函數(shù)定義的發(fā)展是一部歷史，傾注了幾十代數(shù)學家們的思考與努力，為后人留下了燦爛的文化，也感召著后人為人類文明的發(fā)展奉獻自己的智慧?；赝瘮?shù)發(fā)展的歷史，其實“函數(shù)”這個詞翻譯自函數(shù)發(fā)展初級階段，即“解析式說”時期的定義，它已經不能反映“function”的真正含義了。我們了解它、延用它，更要發(fā)展它，這既是銘記我國古代數(shù)學家李善蘭為我國數(shù)學事業(yè)發(fā)展作出的貢獻，也是在鞭策我們努力前行，為人類的數(shù)學文明的發(fā)展作出我們中國人應有的貢獻！