孔寒雪，蔣虎超，朱雯雯，張曉峰，朱成成

(上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

旋轉(zhuǎn)是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈和制導(dǎo)彈箭所采用的一種重要體制。隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展和未來戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的日益惡化，現(xiàn)代武器系統(tǒng)正朝著多樣化、智能化、協(xié)同一體化和低成本的方向發(fā)展[1-2]。采用旋轉(zhuǎn)體制的導(dǎo)彈由于其特有的一些優(yōu)點(diǎn)，在制導(dǎo)武器系統(tǒng)中具有巨大的發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用前景[3]。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈多為近程、低空、快速反應(yīng)的防空導(dǎo)彈，主要攔截來自低空和超低空的空中威脅，為超近程防空武器裝備。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的主要特點(diǎn)是：在飛行過程中，繞其縱軸低速自旋；使用單通道控制，控制系統(tǒng)簡(jiǎn)單，導(dǎo)彈只需一對(duì)操縱機(jī)構(gòu)，即可獲得俯仰和偏航方向的控制力，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈在空間做任意方向的運(yùn)動(dòng)[4]。但在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈飛行過程中，將產(chǎn)生馬格努斯效應(yīng)和陀螺效應(yīng)，使旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈俯仰和偏航通道具有氣動(dòng)交聯(lián)、慣性交聯(lián)和控制交聯(lián)，使旋轉(zhuǎn)彈具有特殊的動(dòng)力學(xué)特性。這種特性表現(xiàn)為彈體除了繞自身的縱軸旋轉(zhuǎn)外，還會(huì)繞其速度矢量軸做周期式的圓形運(yùn)動(dòng)，也就是錐形運(yùn)動(dòng)[5]。這種錐形運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生如附加的馬格努斯效應(yīng)、陀螺效應(yīng)導(dǎo)致的通道間嚴(yán)重耦合等，將影響導(dǎo)彈的控制和制導(dǎo)精度，如果錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)散，甚至可能造成彈體飛行失穩(wěn)，導(dǎo)致飛行任務(wù)失敗[6]。對(duì)于錐形運(yùn)動(dòng)的形成原因、穩(wěn)定條件等國(guó)內(nèi)外已進(jìn)行了一些研究。Peterson等首先分析了導(dǎo)致錐形運(yùn)動(dòng)的可能因素：包括發(fā)射的不確定因素、初始擾動(dòng)、馬格努斯力和力矩等[7]；Nicolaides等通過理論推導(dǎo)和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，證明了旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)產(chǎn)生的面外力和面外力矩是產(chǎn)生錐形運(yùn)動(dòng)的直接原因[8]；Shi等從剛體運(yùn)動(dòng)和彈性形變耦合的角度分析了耦合對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)的影響[9]；Ji等基于速度控制規(guī)律設(shè)計(jì)，通過建立關(guān)于速度的一階近似模型，研究了錐形運(yùn)動(dòng)對(duì)飛行器的影響[10]；Yan等基于章動(dòng)理論對(duì)圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析[11]；任天榮等基于旋轉(zhuǎn)彈的變質(zhì)量陀螺方程，對(duì)旋轉(zhuǎn)彈產(chǎn)生錐形運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行分析探討[12]；頡凱平等通過對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的理論分析和仿真計(jì)算，得到了確?；鸺龔椃€(wěn)定飛行的舵翼面安裝誤差及發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏心指標(biāo)要求[13]。

本文將以旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈為研究對(duì)象，對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，通過勞斯定理，分析錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的條件和角運(yùn)動(dòng)特性，并通過仿真分析旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈轉(zhuǎn)速和速度對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，為設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略抑制導(dǎo)彈的錐形運(yùn)動(dòng)提供理論基礎(chǔ)。

1 錐形運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)建模

錐形運(yùn)動(dòng)可以由彈體系oy1軸、oz1軸的速度和繞著兩個(gè)軸的角速度描述，分別以彈體坐標(biāo)系oy1、oz1的速度Vy、Vz，角速度分量ωy、ωz為狀態(tài)變量，建立動(dòng)力學(xué)方程如式(1)所示[14]

(1)

式(1)中，θ、φ為彈體的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角，Vx、Vy、Vz為導(dǎo)彈速度在彈體系各軸上的分量，ωx、ωy、ωz為導(dǎo)彈角速度在彈體系各軸上的分量，My、Mz分別為俯仰力矩和偏航力矩，F(xiàn)y、Fz為氣動(dòng)力在彈體系oy1軸、oz1軸的合力，Jx、Jy、Jz為導(dǎo)彈對(duì)彈體系各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

可以將氣動(dòng)力轉(zhuǎn)換至彈體坐標(biāo)系下進(jìn)行計(jì)算，如式(2)所示

(2)

式(2)中X、Y、Z為速度坐標(biāo)系下的三軸氣動(dòng)力，X為阻力，Y為升力，Z為側(cè)向力；α、β為攻角和側(cè)滑角。

由于所研究的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性問題是在錐形運(yùn)動(dòng)的章動(dòng)角是一個(gè)小值的前提下進(jìn)行的，所以可將原來的系統(tǒng)用一個(gè)線性系統(tǒng)在穩(wěn)定點(diǎn)附近加以近似。通常都是基于小角度假設(shè)和系數(shù)固化假設(shè)，這些假設(shè)包括：

(1) 旋轉(zhuǎn)彈質(zhì)心速度矢量沿彈體縱軸的分量Vx的數(shù)值很大，接近于質(zhì)心前進(jìn)速度V

(3)

(2) 小角度假設(shè)，例如俯仰角比較小，所以進(jìn)行如下線性化

sinθ≈θcosθ≈1

(4)

(3) 攻角和側(cè)滑角可以近似表示為

α≈Vy/Vβ≈Vz/V

(5)

(4) 彈體速度、轉(zhuǎn)速、質(zhì)量以及空氣動(dòng)力系數(shù)在小段時(shí)間內(nèi)保持不變；

(5) 角速度、速度等矢量的橫向分量比較小，將橫向分量之間的乘積項(xiàng)忽略。

基于以上的假設(shè)，可以得到一個(gè)四階的動(dòng)力學(xué)矩陣如式(6)

(6)

2 錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部，將式(6)中的動(dòng)力學(xué)方程可以寫為一般形式如式(7)

(7)

式中，狀態(tài)變量x=[Vy,Vz,ωy,ωz]T；A為系統(tǒng)矩陣，決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用式(8)表示

(8)

根據(jù)勞斯判據(jù)可知，如果一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則勞斯判定式的第一列都應(yīng)該為正數(shù)，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面[15]。

所以要判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先要得到系統(tǒng)的特征方程。將系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣代入式(9)

|sI-A|=0

(9)

可得到系統(tǒng)的特征方程如式(10)所示

Δ(s)=f4s4+f3s3+f2s2+f1s+f0

(10)

式中

(11)

根據(jù)勞斯判據(jù)，可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

(12)

從式(6)和式(12)可以看到，決定錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的不等式組其系數(shù)由導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)(高度、速度)、相關(guān)氣動(dòng)參數(shù)和彈體自旋角速度決定。所以通過代入導(dǎo)彈在不同狀態(tài)下的彈體氣動(dòng)參數(shù)，可以得到旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈穩(wěn)定性的邊界條件對(duì)不同參數(shù)的要求。

3 仿真驗(yàn)證

在彈體外形已經(jīng)確定的情況下，導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)決定了彈體在此狀態(tài)下的氣動(dòng)特性，所以在分析錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定時(shí)，主要對(duì)飛行速度和彈旋速度對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響進(jìn)行分析。

對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。首先對(duì)其在相同轉(zhuǎn)速，不同速度下的錐形運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，通過繪制攻角和側(cè)滑角在半彈體坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)曲線，來看錐形運(yùn)動(dòng)對(duì)彈體角運(yùn)動(dòng)的影響。由于仿真在彈體坐標(biāo)系下完成，需要對(duì)彈體系下的攻角和側(cè)滑角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，其計(jì)算方法如式(13)所示

(13)

式中，α4和β4分別為半彈體下的攻角和側(cè)滑角，α1和β1分別為彈體系下的攻角和側(cè)滑角。假設(shè)彈體的自旋速度為15r/s，分別對(duì)不同速度下的導(dǎo)彈進(jìn)行仿真，設(shè)定初始的半彈體下攻角和側(cè)滑角擾動(dòng)為2.5°，可以得到此時(shí)角運(yùn)動(dòng)曲線如圖1所示。

圖1 不同速度下的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.1 Angular motion curves of rotating missile at different speed

從圖1中可以看出，隨著速度的增大，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性越強(qiáng)，在速度為250m/s的時(shí)候，錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)散，速度為350m/s的時(shí)候，錐形運(yùn)動(dòng)臨界穩(wěn)定，速度為450m/s和600m/s，錐形運(yùn)動(dòng)有著良好的穩(wěn)定性。

下面對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈在某一飛行狀態(tài)下，不同轉(zhuǎn)速下的錐形運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，假設(shè)某一旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈在高度為1500m、速度450m/s的條件下的彈體參數(shù)和氣動(dòng)參數(shù)如表1和表2所示。

表1 彈體參數(shù)Tab.1 Projectile body parameters

表2 氣動(dòng)參數(shù)Tab.2 Aerodynamic parameters

將表1和表2的數(shù)據(jù)代入式(6)、(7)、(10)，同時(shí)解式(11)的不等式組，可以得到此狀態(tài)導(dǎo)彈的穩(wěn)定邊界條件為：

0<ωx<26.80r/s

下面分別在彈體不同轉(zhuǎn)速的情況下對(duì)其角運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖2中可以看出，導(dǎo)彈在6r/s和15r/s的轉(zhuǎn)速下運(yùn)動(dòng)，其錐形運(yùn)動(dòng)收斂，且轉(zhuǎn)速較低，收斂較快，在28r/s時(shí)略超出穩(wěn)定邊界，錐形運(yùn)動(dòng)未收斂，而在30r/s錐形運(yùn)動(dòng)明顯發(fā)散。

圖2 旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈不同轉(zhuǎn)速下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.2 Angular motion curve of rotating missile at different rotational speed

由于在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈飛行過程中，其轉(zhuǎn)速與速度常常存在一定的對(duì)應(yīng)性，當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)一定飛行速度的同時(shí)，導(dǎo)彈也達(dá)到一定的轉(zhuǎn)速，將導(dǎo)彈不同速度下的氣動(dòng)參數(shù)代入穩(wěn)定性判據(jù)可以得到導(dǎo)彈在不同速度下對(duì)轉(zhuǎn)速邊界的要求如表3所示。

表3 不同速度下的穩(wěn)定性邊界Tab.3 Stability boundaries at different speed

由表3可知，當(dāng)導(dǎo)彈達(dá)到相應(yīng)的飛行速度時(shí)，要保持導(dǎo)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，其轉(zhuǎn)速也應(yīng)在相應(yīng)的范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文通過對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)狀態(tài)變量進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，得到了只含有彈體自旋速度、氣動(dòng)參數(shù)、飛行狀態(tài)等變量的狀態(tài)方程。通過勞斯定理進(jìn)行分析，得到了關(guān)于彈體自旋速度的不等式組，從而分析了影響旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的因素。除了彈體自身的氣動(dòng)外形、飛行狀態(tài)外，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)速也是影響其錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。通過分析，提出了一種基于勞斯定理的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析方法。在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)確定后，通過推導(dǎo)不等式組確定了旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的穩(wěn)定性邊界，并通過仿真對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了穩(wěn)定性條件的正確性。通過該方法對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)及制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有一定的實(shí)際意義。