郭旭波,蔣 碩,安 宇,阮 東,張留碗

(清華大學 物理系，北京 100084)

第50屆國際物理奧林匹克競賽于2019年7月7日至15日在以色列特拉維夫舉行. 由清華大學率領代表中國參賽的5名中學生全部獲得了金牌，實驗和理論總成績排名分別為第1、第2、第4、第8和第13名，并取得了團體第一、個人總分第一、個人理論第一、個人實驗第一的優(yōu)異成績[1]. 本屆競賽共2個實驗題目[2]. 實驗1是光學測量，內(nèi)容為測量透明圓盤的折射率、衍射光柵的參量和三棱鏡的折射率. 實驗2是維德曼-夫蘭茲定律，內(nèi)容為測量紫銅、黃銅和鋁3種金屬的熱導率和電導率，以及紫銅的比熱容，并驗證它們之間的普適關系. 由于篇幅限制，本文將對實驗2的試題和解答進行詳細介紹.

1 試題介紹

在金屬中，熱傳導主要依靠自由電子的遷移. 因此，熱導率和電導率是相關的. 這一規(guī)律被稱為維德曼-夫蘭茲定律. 本實驗以合理的高精度測量3種金屬的熱學和電學參量，包括紫銅、黃銅、鋁的電導率和熱導率，以及紫銅的比熱容，并驗證這些參量之間的關系.

實驗器材如圖1所示，各器材如下：

1為紫銅中空圓管，長為200.0 mm，內(nèi)直徑為6.0 mm，外直徑為20.0 mm.

2為黃銅中空圓管，長為200.0 mm，內(nèi)直徑為6.0 mm，外直徑為19.0 mm.

3為鋁中空圓管，長為200.0 mm，內(nèi)直徑為6.0 mm，外直徑為20.0 mm.

4為質量為1.2 g的小磁鐵.

5為儲水器，為一種以色列當?shù)氐腻仯伾w內(nèi)有散熱器，蓋頂有螺釘. 提供4 L純凈水，用于倒入儲水器.

6為桿#1，見圖2(a)，數(shù)據(jù)單位為mm，精度為0.1 mm. 直徑為20.0 mm的紫銅桿.

7為桿#2，見圖2(b)，數(shù)據(jù)單位為mm，精度為0.1 mm. 直徑為20.0 mm的復合桿.

桿#1和桿#2均帶著多個溫度傳感器(已連接到測試插口)和接有紅色導線的加熱器，紅色導線用于連接直流電源(第15項裝置). 桿外包著黑色絕熱海綿.

圖1 實驗器材

(a)桿#1

(b)桿#2

注意：不要將桿#1和桿#2浸沒在水中.

8為絕熱蓋.

9為數(shù)顯表的12 V直流電源.

10為數(shù)顯表，如圖3所示，可顯示8個溫度傳感器的讀數(shù)，還可以顯示時間以及用作秒表.

A.12 V直流電源線 B.紅色多功能按鈕 C.溫度傳感器測試線 1～8.8個溫度讀數(shù)(單位為℃)

11為測試線，用于將桿上的溫度傳感器的測試插口與數(shù)顯表連接起來.

12為電壓表，功能應設置為20 V直流電壓，如圖4所示.

13為電流表，功能應設置為10 A直流電流，如圖4所示.

14為導線.

15為加熱器的9 V直流電源.

數(shù)顯表使用說明：用12 V直流電源為其供電. 數(shù)顯表有2種工作模式：秒表和溫度顯示. 當用測試線將其與溫度傳感器連接時，將自動轉換到溫度顯示模式. 當斷開測試線時，自動轉換到秒表模式且屏幕顯示“Timer mode”. 在溫度模式下按住紅色按鈕3 s可重置時間；短暫按下紅色按鈕可使示值暫停(此時秒表仍在計時)；再次按下紅色按鈕可恢復溫度和時間的實時顯示. 在秒表模式下按下紅色按鈕開始計時，再按一次停止計時，長按可將秒表置零. 數(shù)顯表連接到每根桿時必須先校準. 這是因為杠上的各個溫度傳感器并不完全相同，通過校準使得熱平衡時桿的所有溫度傳感器的讀數(shù)相同. 校準步驟為：首先將溫度傳感器測試線的一端與桿連接，然后按住紅色按鈕同時將測試線的另一端連接到數(shù)顯表. 斷開數(shù)顯表的電源或測試線不會擦除校準結果. 警告：必須先進行校準，然后才能將桿連接到儲水器或將其上的加熱器連接到電源，以保證校準時桿上的溫度是一致的. 在實驗過程中如果數(shù)顯表出現(xiàn)異常，斷開其電源再重新連接. 數(shù)顯表會記錄之前的校準結果.

1.實驗中使用的10 A擋的位置 2.電流擋的插孔 3.實驗中使用的20 V擋的位置 4.電壓擋的插孔

1.1 實驗A：紫銅、鋁和黃銅的電導率(1.5分)

當1塊永磁鐵在空心導體圓管內(nèi)下落時，會受到圓管上感應出的渦流的阻力. 因此，磁鐵會達到終極速度. 對于實驗中的圓管，終極速度為

(1)

(2)

其中，L0=0.2 m是圓管的長度，并且假設磁鐵釋放后立即到達終極速度.

計算所需的圓管和磁鐵的參量為：μ0M=0.65 T，wAl=wCu=7.0×10-3m，wBrass=6.5×10-3m，m=1.2×10-3kg，rm=3.0×10-3m，g=9.8 m/s2.

A.1(1.0分) 使用數(shù)顯表的秒表模式，測量磁鐵穿過鋁管、紫銅管和黃銅管所需的時間.

A.2(0.5分) 利用(2)式計算3種材料的電導率.

1.2 實驗B：紫銅的熱導率(3.0分)

將數(shù)顯表連接到桿#1的溫度傳感器插頭，并對桿#1進行校準. 將4 L水倒入儲水器中，將散熱器完全浸沒，蓋上鍋蓋.

B.1(0.1分) 記下桿#1放在桌上時的初始溫度. 斷開溫度傳感器測試線與桿的連接，去掉絕熱蓋，把桿#1擰到鍋蓋上. 注意不要施加太大的力矩. 將測試線重新連接到桿上，如圖5所示.

B.2(0.5分) 畫出為加熱器供電并測試其功率的電路圖. 電路圖應包括：9 V電源、加熱器(已連接到桿上)、電壓表、電流表和導線. 導線可作為開關來接通和斷開電路.

圖5 安裝在鍋蓋上的桿#1

測量熱導率的方法是對桿的一端加熱，而另一端保持與儲水器幾乎相同的恒定溫度. 在所有溫度傳感器都近似為穩(wěn)態(tài)時測試.

按照B.2部分的電路圖連線，為加熱器通電.

B.3(0.1分) 測量并計算提供給加熱器的功率P. 通電之后等待15 min. 可以利用這段時間準備后面的實驗.

B.4(0.5分) 記錄所有8個溫度傳感器在約15,17.5,20 min時的溫度.

B.5(1.0分) 在作圖紙上畫出3個不同時間的溫度傳感器的讀數(shù)與位置的關系. 實驗D部分也會用到這幅圖.

B.6(0.5分) 利用約17.5 min時的數(shù)據(jù)，求出紫銅的熱導率κ0. 忽略所有的熱損耗. 計算17.5 min時桿的平均溫度變化率ΔT/Δt.

B.7(0.3分) 與κ的實際值相比，求得的κ0值是高了、低了還是相同？

1.3 實驗C：測量紫銅的熱損耗和熱容量(4.0分)

熱容量C由下兩式中的任一式定義：

(3)

其中,ΔQ/Δt為對材料的凈傳熱速率，ΔT/Δt為溫度變化率. 比熱容cp為單位質量的熱容量. 紫銅桿的質量為0.58 kg.

關閉加熱器電源，斷開電路. 擰下桿#1，放在桌子上. 把絕熱蓋裝在桿頭. 重新連接加熱器電路，并將桿連接到數(shù)顯表.

注意：在本部分實驗中，請勿在未監(jiān)控溫度的情況下使加熱器長時間通電.

使桿經(jīng)歷冷卻—加熱—再冷卻的過程，可以得到材料的熱損耗和熱容量. 加熱階段溫度的平均變化應約為2.5 ℃. 冷卻—加熱—再冷卻過程的總時長應為10～15 min，以達到實驗所需的精度. 應在實驗B部分測量接近穩(wěn)態(tài)時的溫度平均值附近做實驗.

為了考慮存儲在桿中的全部熱量，需要跟蹤測量其平均溫度. 平均溫度好的近似是桿的中心位置處的溫度.

C.1(1.0分) 進行1次冷卻—加熱—再冷卻過程，記錄測量結果，并計算桿的平均溫度.

C.2(1.0分) 在作圖紙上畫出桿的平均溫度隨時間的變化.

C.3(1.0分) 利用上圖計算比熱容cp和單位時間的熱損耗Ploss(在實驗B部分的平均溫度附近). 用示意圖和公式描述所用方法.

為提高實驗B部分得到的熱導率的精度，需考慮2種主要機制：透過絕熱海綿的徑向的熱傳遞導致的熱損耗，以及測量時系統(tǒng)并未達到穩(wěn)態(tài).

作為一級近似，可以假設由于這些機制，沿著桿的單位長度的功率變化ΔP(x)/Δx恒定.

C.4(1.0分) 考慮上述2種機制，寫出實驗B部分的熱導率修正到一級近似的表達式. 利用實驗B和C部分的κ0，P，cp，m，Ploss，ΔT/Δt表示修正后的熱導率κCu，并計算其數(shù)值.

1.4 實驗D：黃銅和鋁的熱導率(1.0分)

將桿#2連接到數(shù)顯表，并按實驗B部分的說明校準桿上的溫度傳感器(按下紅色按鈕的同時用測試線將溫度傳感器連接到數(shù)顯表).

D.1(0.1分) 將桿放在桌上，記錄初始溫度.

斷開測試線，將桿#2擰在儲水器蓋上，如圖5所示. 重新連接測試線與數(shù)顯表.

重復實驗B部分的步驟，對桿加熱使其接近穩(wěn)態(tài)，至少等待15 min再進行測量.

為了達到此部分所需的精度，可以假設桿已達到穩(wěn)定狀態(tài)，并且桿上單位長度的熱量損失是恒定的.

D.2(0.2分) 記下桿#2上所有8個溫度傳感器的讀數(shù)，并計算每一段材料的ΔT/Δx.

與C.4題相同，作為一級近似，假設ΔP(x)/Δx是恒定的.

D.3(0.7分) 寫出κBrass和κAl的表達式，并計算其數(shù)值.

1.5 實驗E：維德曼-夫蘭茲定律(0.5分)

E.1(0.5分) 在表格中列出求出的熱導率和電導率(κ，σ)，并計算每種材料的L值. 計算時假設在一級近似下熱導率不依賴于溫度.

2 試題解答

2.1 實驗A：紫銅、鋁和黃銅的電導率

測得磁鐵穿過紫銅管、鋁管和黃銅管的時間見表1.

表1 測得的磁鐵穿過金屬管的時間

計算得到紫銅、鋁和黃銅的電導率分別為5.97×107，2.98×107，1.60×107Ω-1·m-1.

2.2 實驗B：紫銅的熱導率

桿#1放在桌上時的初始溫度為22.76 ℃.

為加器供電并測量功率的電路見圖6. 加熱功率為P=IV=5.51 W.

圖6 為加熱器供電并測量其功率的電路圖

加熱器通電15 min后，在約15,17.5,20 min時記錄的8個溫度傳感器的讀數(shù)及其與位置的關系見表2和圖7.

表2 不同時間記錄的8個溫度傳感器的讀數(shù)

圖7 不同時間8個溫度傳感器的讀數(shù)與位置的關系

紫銅的熱導率的計算公式為

420 W/(m·K),

(4)

其中,P為提供給加熱器的功率，A為紫銅桿的橫截面積，ΔT/Δx為沿紫銅桿長度方向的溫度梯度，也就是圖7中17.5 min數(shù)據(jù)的擬合斜率.

17.5 min時紫銅桿的平均溫度變化率ΔT/Δt可由圖7中桿的中點位置處15～20 min的溫度變化求得：

求得的κ0值比κ的實際值高. 這是因為加熱器的部分功率透過側面的絕熱海綿損耗了，沿著紫銅桿傳遞的實際熱功率小于加熱器功率；此外，系統(tǒng)并未達到穩(wěn)態(tài)，ΔT/Δt≠0，因此加熱器的一部分功率還用于對紫銅桿加熱使其溫度升高.

2.3 實驗C：測量紫銅的熱損耗和熱容量

本部分通過使桿#1經(jīng)歷冷卻—加熱—再冷卻的過程，測量紫銅桿的熱損耗和考慮一級近似時的熱容量. 測得的實驗數(shù)據(jù)、計算得到的桿的平均溫度及其與時間的關系見表3和圖8. 桿的平均溫度是通過測量離桿的中心位置最近的2個溫度傳感器的溫度并計算其平均值得到的. 冷卻—加熱—再冷卻過程的總時長為860 s，平均溫度的變化范圍為30.18～32.81 ℃，溫度改變量為2.63 ℃，符合實驗要求(總時長10～15 min，整個過程在實驗B中接近穩(wěn)態(tài)時測量的平均溫度值30.8 ℃附近，溫度改變量應約為2.5 ℃).

表3 冷卻—加熱—再冷卻過程中桿的溫度讀數(shù)及平均溫度

圖8 冷卻—加熱—再冷卻過程中桿的平均溫度變化

根據(jù)本部分實驗的測試結果，可以對實驗B部分得到的比熱容在考慮一級近似的情況下進行修正.

由降溫階段的斜率，得到紫銅桿的熱損耗為

(5)

在考慮一級近似的情況下對比熱進行修正有2種方法.

方法1使用斜率來計算：

(6)

方法2利用圖8中的2條降溫曲線在加熱階段的延長線的中點的溫度跳變ΔT=2.94 K來計算比熱容，可得：

PinΔt=cpmΔT.

(7)

由式(5)和式(7)求比熱容cp=386 J/(kg·K)，熱損耗Ploss=0.31 W.

桿#1中各個位置處的溫度梯度正比于該位置處的熱流量. 如圖9所示，在桿的始端，熱流量等于提供給加熱器的功率Pin. 而在桿的末端，由于2種機制引起的熱損耗[透過絕熱海綿的沿徑向的熱傳遞，可由式(5)計算；以及系統(tǒng)未達到穩(wěn)態(tài)，桿的溫度仍在升高，可由式(6)第一項計算]從而導致熱流量變小.

圖9 桿上不同位置處的熱流量示意圖

作為一級近似，桿上的平均溫度梯度正比于桿上的平均熱流，可得：

(8)

2.4 實驗D：黃銅和鋁的熱導率

桿#2放在桌上時的初始溫度為22.65 ℃. 加器供電1 041 s后各個溫度傳感器的讀數(shù)如表4所示. 由各段材料上2個溫度傳感器的讀數(shù)及其之間的距離計算得到的相應的溫度梯度如表5所示.

表4 加熱1 041 s后桿#2上溫度傳感器的讀數(shù) ℃

表5 桿#2上各段材料的溫度梯度 K/m

作為一級近似，假設ΔP(x)/Δx是恒定的. 由實驗C部分得到的紫銅的熱導率，并考慮黃銅段材料的中點位置距離左右2段紫銅段材料中點位置的距離(見圖10)，可求得：

同樣可得鋁的熱導率：

圖10 桿#2熱導率計算示意圖

2.5 實驗E：維德曼-夫蘭茲定律

表6 驗證維德曼-夫蘭茲定律數(shù)據(jù)表

3 結束語

本競賽題的原理和實驗方法難度適中,實驗任務量較大，我國代表隊的學生基本都能完成實驗. 在競賽前的實驗培訓中特別強調了實驗操作、數(shù)據(jù)記錄、數(shù)據(jù)處理和作圖的規(guī)范性，避免了學生因為追求實驗速度而在細節(jié)和過程上丟分. 中國隊取得了很好的成績，1名學生取得了個人實驗第1的成績(15.8分，滿分為20分)，另外2名學生的實驗成績(15.0分)接近實驗最高分.