魔術(shù)套環(huán)的動力學(xué)分析

周麗婷,朱蕾蕾,黃小紅,熊舉峰

(湖南師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410000)

魔術(shù)是一種娛樂性的藝術(shù)魔術(shù)也蘊(yùn)含著豐富的物理原理. 本文探討了魔術(shù)套環(huán)的動力學(xué)過程. 王惠明教授等通過一系列實(shí)驗(yàn)與動力學(xué)分析得出完成魔術(shù)套環(huán)的關(guān)鍵在于使圓環(huán)經(jīng)過一次碰撞，獲得一定的初角速度[1]. 將鐵環(huán)下落分為3個階段——自由落體、碰撞和鐵環(huán)轉(zhuǎn)動，從角速度和角位移的角度描述了鐵環(huán)套結(jié)成功所需的條件，但是其動力學(xué)分析只停留在定性描述上，條件只分析了初始角速度，初始準(zhǔn)備條件也只分析了碰撞方式. 本文定量分析了鐵環(huán)下落各個階段的動力學(xué)過程，從力矩和能量的角度計算了鐵環(huán)套結(jié)成功的條件，即鐵鏈寬度與直徑的關(guān)系、初始角動量、鐵鏈長度和鐵鏈材質(zhì)，結(jié)合對原理的應(yīng)用，增加了幾種準(zhǔn)備動作.

1 魔術(shù)套環(huán)的動力學(xué)分析

從圓環(huán)套結(jié)過程中關(guān)鍵處示意圖(圖1)可知，魔術(shù)情景下拇指提前釋放，使得圓環(huán)重力矩不等于零，圓環(huán)具有初始角動量L0，由于初始角動量的存在讓圓環(huán)套結(jié)成為可能.

為了分析“魔術(shù)套結(jié)”的動力學(xué)過程，將分為3個階段，且建立O-xyz坐標(biāo)系(圖2)，設(shè)圓環(huán)質(zhì)量為m，圓環(huán)半徑為r，圓環(huán)與z軸的角度為α，鐵鏈寬度d，鐵鏈長度l.

圖1 圓環(huán)套結(jié)過程中關(guān)鍵處示意圖

(a)初始狀態(tài)O-xyz坐標(biāo)系 (b)受力分析

1.1 第1階段：從拇指開始釋放到圓環(huán)全部離開手(0<α<θ)

設(shè)食指與圓環(huán)接觸部分圓環(huán)質(zhì)量為Δm，對圓環(huán)進(jìn)行受力分析(不計空氣阻力)，圓環(huán)受到重力、支持力和摩擦力作用，第1階段末狀態(tài)受力分析示意如圖2所示.

從鐵鏈寬度d與圓環(huán)直徑D=2r關(guān)系的角度開始討論，分以下2種情況:

1)d>D

摩擦力f≠0,摩擦力對圓心的合力矩Mf=0. 重力W=mgj，支持力為F=-Δmgj(通過靜摩擦力的方式提供接觸部分質(zhì)元重力的支持力，由于圓環(huán)對接觸點(diǎn)的向心力在圓環(huán)直徑方向，對質(zhì)心速度與圓環(huán)對圓心的轉(zhuǎn)動影響不計，且時間間隔短，所以忽略此方向的支持力)，重力與支持力對圓心的力矩分析如圖2所示.

2)d≤D

摩擦力f=0,摩擦力對圓心的合力矩Mf=0. 重力和支持力對圓心的合力矩為M=rΔWsinα=rΔmgsinα.

1.2 第2階段：從圓環(huán)脫離手到圓環(huán)與鐵鏈成π/2角度(θ<α<π/2)

由于此階段沒有支持力，圓環(huán)只受到重力和摩擦力的作用，考慮到圓環(huán)的對稱性，分析重力矩和摩擦力矩(圖2). 重力矩MW=0,摩擦力矩Mf=0(與第1階段同理),與第1階段類似，設(shè)這一階段的質(zhì)心加速度為a2.

1.3 第3階段：圓環(huán)與鐵鏈角度α由π/2到大于π/2(α>π/2，即套結(jié)過程)

圖3 第3階段某一角度α接觸點(diǎn)受力與力矩分析圖

計算表明，由于初始轉(zhuǎn)動動能的存在使得套結(jié)可以實(shí)現(xiàn)，即初始轉(zhuǎn)動動能使得圓環(huán)可以克服鐵鏈的壓力矩做功，通過計算可知圓環(huán)可轉(zhuǎn)入鐵鏈的最大角度為φ(圓環(huán)轉(zhuǎn)動動能為0). 同時在α=φ處圓環(huán)所受力矩不平衡，仍然有壓力矩MF(線性恢復(fù)力矩)的存在，如果忽略空氣阻力且鐵鏈無限長，則圓環(huán)會在有豎直向下加速度的非慣性系中做簡諧運(yùn)動. 其中簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程可表示為：α=φcos (ωt+δ)，其中ω為角速度，δ為初相位，且設(shè)豎直向下加速度為恒定a，則y方向上運(yùn)動學(xué)方程為：y=at2/2. 因此制做出α與t的關(guān)系示意圖(圖4)，圖中(t0，t1)，(t2，t3)階段角動量守恒，則α與t的斜率k為常數(shù)，即只要時間t(鐵鏈長度)可以使得圓環(huán)與z軸角度α滿足π/2<α<φ，就可以使圓環(huán)套結(jié).

圖4 角度α與時間t的關(guān)系示意圖

2 魔術(shù)套環(huán)的條件分析

1)準(zhǔn)備動作如圖5所示,為了使套結(jié)能夠成功，就要使圓環(huán)具有初始轉(zhuǎn)動動能. 本文實(shí)驗(yàn)了3種情形：a.利用中指與圓環(huán)發(fā)生碰撞;b.握圓環(huán)的手優(yōu)先釋放拇指;c.利用拇指與食指提供作用力. 最終采用b情形，使鐵鏈平面在Oxy平面上，圓環(huán)與手的接觸直徑在z軸上(使得初始力矩和第3階段壓力矩都在x軸方向上).

圖5 a,b,c3種情形初始準(zhǔn)備動作示意圖

2)從第1階段中分析計算可知，D與d的大小關(guān)系與摩擦力矩?zé)o關(guān)，而在第3階段的合壓力矩中，圓環(huán)與鐵鏈接觸點(diǎn)P與圓心的連線OP與x軸的夾角為β，β與d和D的關(guān)系有關(guān). 當(dāng)dd,D=d和D

3)本文采用是鐵鏈和鐵環(huán)，由于其材質(zhì)密度、光滑度、柔韌性等方面的適宜，使得在第3階段有線性恢復(fù)力矩的存在，圓環(huán)可以做簡諧運(yùn)動. 針對柔韌性這一因素，將鐵鏈換成柔韌性較大的軟線環(huán)和柔韌性較小的銅絲環(huán)分別做實(shí)驗(yàn)， 發(fā)現(xiàn)柔韌性過大則線性恢復(fù)力矩過小(接近于0)、鏈環(huán)長度l只要大于某一值y1+D(圖4)即可，柔韌性較小則線性恢復(fù)力矩過大使得符合條件的鏈環(huán)長度l范圍過小，即套結(jié)難度過大.

4)從圖4可知，在y1

3 結(jié) 論

定量分析了魔術(shù)套環(huán)的動力學(xué)過程，一定的初始轉(zhuǎn)動動能的存在是魔術(shù)套結(jié)的首要條件，即初始轉(zhuǎn)動動能使得圓環(huán)可以克服鐵鏈的壓力矩做功，通過計算可知圓環(huán)可轉(zhuǎn)入鐵鏈的最大角度為φ時圓環(huán)轉(zhuǎn)動動能為0. 在α=φ處圓環(huán)所受力矩不平衡，仍然有壓力矩MF(線性恢復(fù)力矩)的存在，如果忽略空氣阻力且鐵鏈無限長，則圓環(huán)會在有豎直向下加速度的非慣性系中做簡諧運(yùn)動. 即只要鐵鏈長度可以使得圓環(huán)與z軸角度α滿足π/2<α<φ，就可以使圓環(huán)套結(jié).