◇ 甘肅 丁小強(qiáng)

“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”作為組合數(shù)論中非常經(jīng)典的一個(gè)問(wèn)題,在日常教學(xué)和高考中經(jīng)常出現(xiàn).本文將拓展思路,探討該問(wèn)題與其他問(wèn)題結(jié)合的考查方法.

1 裝錯(cuò)信封問(wèn)題的來(lái)源

“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”是由17世紀(jì)至18世紀(jì)世界上著名的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(Johann Ber noulli,1667—1748)的兒子丹尼爾·伯努利(Daniel Ber noulli,1700—1782)提出來(lái)的,原題大意如下:

某個(gè)人寫(xiě)了n封互不相同的信件,與信件一一對(duì)應(yīng)的有n個(gè)互不相同的信封,他要求這n封信必須都裝錯(cuò)信封,也就是每封信件都不可以裝到與之對(duì)應(yīng)的信封里,問(wèn)這樣的裝法有多少種.

這個(gè)問(wèn)題也被約翰·伯努利的學(xué)生,著名的數(shù)學(xué)家歐拉稱為“組合數(shù)論”的一個(gè)妙題.該問(wèn)題也被稱為全錯(cuò)位排列問(wèn)題.

2 “裝錯(cuò)信封問(wèn)題”常規(guī)考法

例1某學(xué)校高三年級(jí)有4個(gè)班,學(xué)校舉行的摸底考試要求4名班主任分別監(jiān)考4個(gè)班,并且每名班主任都不可以監(jiān)考自己班,請(qǐng)問(wèn)有多少種安排方案.

解析

1)頂針?lè)?4個(gè)班級(jí)1,2,3,4班對(duì)應(yīng)的班主任稱為一、二、三、四.若先排一,有3種排法(即2,3,4),若排到2班,則接下來(lái)排班主任二也有3種排法(即1,3,4),最后排班主任三、四,兩人都只有1種排法,因此由分步計(jì)數(shù)原理可計(jì)算出共有3×3×1×1＝9種排法.

2)公式法:將n＝4代入中,即可計(jì)算出為9種.

也可用列舉法,列舉法與頂針?lè)☉?yīng)對(duì)錯(cuò)位元素較少的題型實(shí)踐性較高,應(yīng)對(duì)錯(cuò)位元素較多的題型則太過(guò)復(fù)雜且容易重復(fù)或遺漏.公式法中由于該公式不是高中課程內(nèi)容的基本公式,故高考考查的錯(cuò)位元素不會(huì)太多,因此我們只需要記住2～5個(gè)元素的全錯(cuò)位數(shù)即可:A2＝1,A3＝2,A4＝9,A5＝44.

3 裝錯(cuò)信封問(wèn)題與考題結(jié)合的新思路

“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”作為排列組合中的經(jīng)典問(wèn)題,可以與其他的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合,更新穎、更靈活地考查學(xué)生的能力.

1)“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”與涂色問(wèn)題的結(jié)合

例2用3種不同的顏色給正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)涂色,則相連接的頂點(diǎn)都不同色的涂法有多少種?

解析

正三棱柱ABC-A1B1C1的兩個(gè)底面都為正三角形,已知三角形的3個(gè)頂點(diǎn)之間互相連接,所以兩個(gè)三角形都必須使用3種顏色涂色才能滿足題中相連接的頂點(diǎn)不同色的要求.上下兩個(gè)面的點(diǎn)通過(guò)正三棱柱的3條側(cè)棱相連接,AA1,BB1,CC1形成了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,符合全錯(cuò)位的基本形式,所以上下兩個(gè)面需要全錯(cuò)位涂色.

先涂A,B,C這3個(gè)點(diǎn),再涂A1,B1,C1這3個(gè)點(diǎn),且上下兩個(gè)面的點(diǎn)全部錯(cuò)位,故共有A33×2＝3×2×1×2＝12種.

2)“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”與分布列結(jié)合

例3某實(shí)驗(yàn)小組由4名同學(xué)組成,老師要求實(shí)驗(yàn)結(jié)束后必須要整理好實(shí)驗(yàn)器材并且打掃實(shí)驗(yàn)室衛(wèi)生.小明想到了一個(gè)方式,在4張完全相同的卡片上寫(xiě)上每個(gè)人名字然后隨機(jī)抽取,若抽到自己名字則留下,反之則不用留下.請(qǐng)列出留下打掃衛(wèi)生人數(shù)的分布列.并且說(shuō)明這種方法的合理性.

解析

該題是“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”與分布列的結(jié)合,留下來(lái)的總?cè)藬?shù)X＝0,1,2,4(注意1個(gè)元素是沒(méi)有全錯(cuò)位的,所以不可能留下3人).一共有A44＝4×3×2×1＝24種抽取情況,若沒(méi)有人留下則為4人與4張卡片全錯(cuò)位,共有9種情況,所以P(X＝0)＝;若1人留下來(lái)則先選出留下的1人,剩下的3人全錯(cuò)位,共有種情況,所以若2人留下來(lái)則先選出留下的2人,剩下的2人全錯(cuò)位,共有種情況,所以若4人留下來(lái)則全不錯(cuò)位,所以這樣我們就可以得到留下打掃衛(wèi)生人數(shù)的分布列.

“裝錯(cuò)信封問(wèn)題”作為組合數(shù)論中的經(jīng)典問(wèn)題,不僅與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合緊密,并且靈活多變,從全部裝錯(cuò)到局部裝錯(cuò),思路逐漸深入.該問(wèn)題難度適中,若與其他知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合,定會(huì)成為高考命題中經(jīng)典的題型.