從福仲，李雪飛

(空軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022)

科技創(chuàng)新的根基在于基礎(chǔ)研究，基礎(chǔ)研究的根基在于數(shù)學(xué)。從量子信息技術(shù)到材料的加工制備，從華為的5G到順豐的物流、美團(tuán)的配送鏈，新興技術(shù)和新興產(chǎn)業(yè)每一關(guān)鍵問(wèn)題的解決都離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題研究和探求。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在微積分理論之上的分析數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)是通俗版的微積分，是為本科非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)微積分理論課，是培養(yǎng)科技創(chuàng)新人才的公共基礎(chǔ)課。高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的水平牽動(dòng)著雙一流建設(shè)的水準(zhǔn)和新工科理念的落實(shí)。著眼于實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)，我們需要培養(yǎng)一批具有社會(huì)主義覺(jué)悟的高素質(zhì)建設(shè)者。高等數(shù)學(xué)是理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)等“為誰(shuí)培養(yǎng)人”的第一門(mén)課，其課程建設(shè)必須突出思政理念。

課程思政是指以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式將各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把立德樹(shù)人作為教育的根本任務(wù)的一種綜合教育理念[1]。高等數(shù)學(xué)課程思政的內(nèi)涵是將微積分發(fā)展史和數(shù)學(xué)文化等科學(xué)文化觀、家國(guó)情懷等傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)哲學(xué)唯物辨證史觀有機(jī)地結(jié)合到高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的各個(gè)環(huán)節(jié)中。重溫微積分的發(fā)展歷史，正確認(rèn)識(shí)和理解微積分理論蘊(yùn)含的哲學(xué)內(nèi)涵，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程思政建設(shè)有很大的裨益。

一、微積分發(fā)展史是人類(lèi)探索自然的文明史

微積分從產(chǎn)生、確立，到奠定完整學(xué)科經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間歲月，是人類(lèi)發(fā)展到一定階段伴隨生產(chǎn)力相向而生的文化。

(一)微積分發(fā)展簡(jiǎn)史

三世紀(jì)中葉，隨著生產(chǎn)的發(fā)展，關(guān)于圓的“周三徑一”的計(jì)算已經(jīng)不能滿足要求。中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積，進(jìn)而求得較為精確的圓周率。這是最早的極限思想的萌芽。

十七世紀(jì)初，隨著“日心說(shuō)”的進(jìn)一步確立，天文學(xué)和力學(xué)邁入了良性發(fā)展軌道。1619年，開(kāi)普勒確立了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律；1638年，伽利略建立自由落體定律和動(dòng)量定律，他的著作《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》首次倡導(dǎo)科學(xué)研究的數(shù)學(xué)表述問(wèn)題；1687年，牛頓于《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》上發(fā)表萬(wàn)有引力定律。所有這些問(wèn)題歸根結(jié)底可歸結(jié)為科學(xué)處理以下問(wèn)題：1.求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度，及其反問(wèn)題；2.求曲線的切線；3.求函數(shù)的最大值與最小值；4.求測(cè)度(弧長(zhǎng)，面積，體積)、物體的重心、萬(wàn)有引力等實(shí)際問(wèn)題。

十七世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無(wú)限小算法[2]。

1615年，開(kāi)普勒在《測(cè)量酒桶的新立體幾何》中建立了求旋轉(zhuǎn)體體積的積分法。1635年，B.Cavalieri在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法；1637年，笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出求切線的圓法；1637年，費(fèi)馬建立了求極大值與極小值的代數(shù)方法；1655年，J.Wallis發(fā)表《無(wú)窮算術(shù)》；1669年，巴羅在《幾何講義》中，提出微分三角形的概念來(lái)求解曲線的切線問(wèn)題。所有這些研究工作都從不同側(cè)面初級(jí)地闡述了極限的思想。但這些研究成果還不能成為微積分的奠定，因?yàn)樗鼈兪且越鉀Q問(wèn)題的形式出現(xiàn)的，還不能形成統(tǒng)一的一般性的認(rèn)識(shí)，需要進(jìn)一步的提煉和抽象。牛頓和萊布尼茨正是在這些工作的基礎(chǔ)上，各自獨(dú)立創(chuàng)立微積分，使微積分成為能普遍適用的算法。

(二)微積分是人類(lèi)科學(xué)認(rèn)識(shí)宇宙的發(fā)明創(chuàng)造

宇宙是人類(lèi)探索的永恒主題。亙古至今，人類(lèi)對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了從盲從到理性的過(guò)程。

遠(yuǎn)古時(shí)代，人們對(duì)宇宙結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)處于十分幼稚的狀態(tài)。在中國(guó)晉代就提出了早期的宣夜說(shuō)；公元前七世紀(jì)，巴比倫人認(rèn)為，天和地都是拱形的，大地被海洋所環(huán)繞，而其中央則是高山；古埃及人把宇宙想象成以天為盒蓋、大地為盒底的大盒子，大地的中央為尼羅河；古印度人想象圓盤(pán)形的大地附在幾只大象上，而大象則站在巨大的龜背上。經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的探索，到了古希臘時(shí)代(前800-前146)逐步形成了地心說(shuō)。

地心說(shuō)中的本輪—均輪模型，畢竟是托勒密根據(jù)有限的觀測(cè)資料拼湊出來(lái)的。到了中世紀(jì)后期，隨著觀測(cè)儀器的不斷改進(jìn)，行星的位置和運(yùn)動(dòng)測(cè)量越來(lái)越精確，觀測(cè)到的行星實(shí)際位置同這個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果的偏差，逐漸顯露出來(lái)了。

地心說(shuō)是世界上第一個(gè)行星體系模型。盡管它把地球當(dāng)作宇宙中心是錯(cuò)誤的，然而它的歷史功績(jī)不應(yīng)抹殺。地心說(shuō)承認(rèn)地球是圓形的，并把行星從恒星中區(qū)別出來(lái)，著眼于探索和揭示行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這標(biāo)志著人類(lèi)對(duì)宇宙認(rèn)識(shí)的一大進(jìn)步。地心說(shuō)最重要的成就是運(yùn)用數(shù)學(xué)計(jì)算行星的運(yùn)行，托勒密還第一次提出了“運(yùn)行軌道”的概念，設(shè)計(jì)出了一個(gè)本輪一個(gè)均輪模型。按照這個(gè)模型，人們能夠?qū)π行堑倪\(yùn)動(dòng)進(jìn)行定量計(jì)算，推測(cè)行星所在的位置，這是一個(gè)了不起的創(chuàng)造。在一定時(shí)期里，依據(jù)這個(gè)模型可以在一定程度上正確地預(yù)測(cè)天象，因而在生產(chǎn)實(shí)踐中也起過(guò)一定作用。雖然托勒密的地心體系后來(lái)被日心說(shuō)取代，但是它在誕生至今1500多年的時(shí)間里，帶給西方人的東西遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于哥白尼的日心說(shuō)。地心說(shuō)是世界上最早的假說(shuō)和演繹體系。在建立理論的過(guò)程中，自始至終使用數(shù)學(xué)工具去研究和證明，開(kāi)創(chuàng)了構(gòu)建精確性理論的先河。在地心說(shuō)占統(tǒng)治地位的上千年間，由于地心說(shuō)的統(tǒng)治地位和廣泛影響，它塑造了西方人分析式的思維方式和不包含倫理觀的實(shí)體自然觀以及自然研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的方法。

日心說(shuō)的確立給運(yùn)用數(shù)學(xué)工具探索宇宙搭建了快速通道。在眾多科學(xué)家努力的基礎(chǔ)之上，牛頓通過(guò)變化率入手研究天體運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)求反微分問(wèn)題計(jì)算天體運(yùn)動(dòng)的位移。他將求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊方法統(tǒng)一起來(lái)，進(jìn)而發(fā)明了微積分。

(三)微積分是科學(xué)研究傳承發(fā)展的歷史積淀

微積分是人類(lèi)最偉大的成就之一，它開(kāi)創(chuàng)了人類(lèi)科學(xué)史上的分析時(shí)代。微積分的發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用密切交織在一起的，與十八世紀(jì)的工業(yè)革命相伴相生，并逐步沉淀以函數(shù)為研究對(duì)象，包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其相關(guān)應(yīng)用為核心的數(shù)學(xué)研究結(jié)晶。

1691年法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾建立了以其名字命名的微分中值定理，這是微分學(xué)三個(gè)中值定理中的第一個(gè)。

十七世紀(jì)末和十八世紀(jì)初雅各布·伯努利和約翰·伯努利建立了初等微積分的大部分內(nèi)容。1696年約翰·伯努利的學(xué)生羅比達(dá)出版了一部微積分方面最早的教科書(shū)《無(wú)窮小分析》。在這部著作中羅比達(dá)把約翰·伯努利的一個(gè)求解未定式極限的定理做了介紹，這個(gè)定理現(xiàn)在通稱(chēng)為羅比達(dá)法則。

1712年英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒在一封信中首次敘述了在某點(diǎn)附近用到數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這點(diǎn)附近函數(shù)值的公式，即著名的泰勒定理。1719年，愛(ài)丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級(jí)數(shù)稱(chēng)為“麥克勞林”級(jí)數(shù)。

1748年至1770年，著名數(shù)學(xué)家歐拉先后出版了微積分的里程碑式的著作《無(wú)窮小分析引論》《微分學(xué)》和《積分學(xué)》三部著作。這奠定了現(xiàn)代微積分的基本雛形。

從1720年開(kāi)始尼古拉·伯努利和拉格朗日等眾多數(shù)學(xué)家致力于將微積分算法推廣到多元函數(shù)，建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論。

縱觀微積分的發(fā)展，是一部探索科學(xué)研究路徑的歷史。歐拉和拉格朗日首先在其著作中為分析引入了形式化的手段，這是研究微積分的奠基性環(huán)節(jié)。循此發(fā)展，達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理內(nèi)核。經(jīng)過(guò)十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家在嚴(yán)格意義上的精心雕琢，微積分終于成為與現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展密不可分的文化遺產(chǎn)。

二、高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系是哲學(xué)思想的詮釋

恩格斯指出，“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。”[3]高等數(shù)學(xué)作為一門(mén)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)介紹微積分理論的公共核心基礎(chǔ)課，其知識(shí)體系和邏輯體系融入大量哲學(xué)原理和辯證法觀點(diǎn)。

歷史上，數(shù)學(xué)和哲學(xué)是密不可分的。在某種意義上，數(shù)學(xué)本身就是哲學(xué)。微分和積分作為高等數(shù)學(xué)核心概念，它們的建立，無(wú)論從自身還是從二者關(guān)系上看都是對(duì)哲學(xué)基本原理和辯證法最好的詮釋。

在微分學(xué)部分，三大中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)，從內(nèi)容上遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的規(guī)律。從邏輯關(guān)系看，后面兩個(gè)定理的證明是通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理完成的。

在積分學(xué)部分，所有積分統(tǒng)一于流形上的積分，按流形的維數(shù)分為線積分(定積分、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)、面積分(二重積分、對(duì)面積的曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)、體積分(三重積分)。兩類(lèi)曲線(面)積分，既有區(qū)別又有聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一于線(面)積分。三大公式(格林公式、高斯公式、斯托克斯公式)從內(nèi)容和邏輯兩個(gè)維度相互蘊(yùn)含，統(tǒng)一于流形上的斯托克斯定理。

微分與積分從局部與整體、近似與精確等不同視角研究事物變化的性質(zhì)，通過(guò)極限思想將二者對(duì)立地統(tǒng)一起來(lái)，為我們提供了認(rèn)識(shí)和改造世界的科學(xué)方法論。微分和積分二者轉(zhuǎn)換的基本手段就是微元法。

不定積分表示是一個(gè)反映內(nèi)容與形式關(guān)系的鮮活例子。通過(guò)微積分基本公式強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表示的設(shè)計(jì)的重要性。除此之外，對(duì)稱(chēng)、輪換、關(guān)系等哲學(xué)的基本概念在偏導(dǎo)數(shù)、積分、空間解析幾何等各個(gè)部分的概念和計(jì)算中有大量體現(xiàn)。

三、高等數(shù)學(xué)課程思政的基本途徑

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)首先應(yīng)致力于目標(biāo)的設(shè)計(jì)，這是課程的根本。課程的思政要素應(yīng)滲透和融入到目標(biāo)的建設(shè)中，已達(dá)到全面培養(yǎng)人的目的。歷史和哲學(xué)兩個(gè)維度是高等數(shù)學(xué)課程思政的基本路徑。

(一)高等數(shù)學(xué)課程要展示微積分發(fā)展的文明史

微積分發(fā)展歷史是人類(lèi)探索自然和社會(huì)的文明史。微積分的創(chuàng)立是十七世紀(jì)科學(xué)大師不懈努力的結(jié)果。伯努利家族、牛頓、萊布尼茨、歐拉、柯西等數(shù)學(xué)巨匠追求真理的精神，值得后人學(xué)習(xí)和借鑒。在介紹無(wú)窮小、中值定理、微積分基本定理、羅比達(dá)法則、泰勒公式等微積分基本概念和定理時(shí)，要結(jié)合內(nèi)容講好數(shù)學(xué)故事。從瞬時(shí)變化率、切線、測(cè)度、引力等實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的醞釀，到流數(shù)術(shù)、分析微積分等一般性提煉，微積分的創(chuàng)立經(jīng)歷了從具體到抽象、認(rèn)識(shí)和實(shí)踐反復(fù)升華的過(guò)程。要通過(guò)案例式等多種教學(xué)形式，還原和展示牛頓、萊布尼茨等發(fā)明微積分的原創(chuàng)路徑，這些研究經(jīng)歷是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力不可多得的原滋原味素材。

(二)高等數(shù)學(xué)要傳承數(shù)學(xué)哲學(xué)思想

要用哲學(xué)的基本理論指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)的課程建設(shè)。教師要自修哲學(xué)和自然辨證法課程，提高對(duì)高等數(shù)學(xué)的哲學(xué)認(rèn)知。要運(yùn)用哲學(xué)原理重構(gòu)高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提高課程內(nèi)容的含金量[4]。要在每一章總結(jié)時(shí)，引入知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，展示知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系。要將哲學(xué)原理滲透和融入到課堂教學(xué)中，要將微分和積分的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、中值定理的普遍性與特殊性原理、積分與不定積分的內(nèi)容與形式范疇等知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融入到知識(shí)點(diǎn)的講授中。要提倡學(xué)生學(xué)一點(diǎn)哲學(xué)，學(xué)一點(diǎn)辯證法，提高他們認(rèn)識(shí)和理解問(wèn)題的能力。

(三)運(yùn)用聯(lián)系的、辨證的觀點(diǎn)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本方法

要培養(yǎng)學(xué)生辯證思考的能力。定積分的第一類(lèi)、第二類(lèi)換元積分法可以統(tǒng)一為一個(gè)換元積分公式，講清楚使用換元積分的最終目的是為了求積計(jì)算簡(jiǎn)便。三重積分的計(jì)算，從思維的角度有兩種：先算定積分、后算二重積分和先算二重積分、后算定積分。這兩種不同的計(jì)算方法，對(duì)具體問(wèn)題意義重大。

要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系的方法學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。極限、連續(xù)、可微依教學(xué)進(jìn)度順序展開(kāi)，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生注意后續(xù)概念和前序概念的區(qū)別與聯(lián)系，辨別概念的內(nèi)涵與外延，加深對(duì)內(nèi)概念和知識(shí)的理解和掌握。循序漸進(jìn)地，在明晰模塊間概念的聯(lián)系基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考模塊之間，例如，微分與積分的關(guān)系，最終使學(xué)生達(dá)到對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的整體把握和全局認(rèn)知。

要有計(jì)劃地訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用微積分思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。要使學(xué)生從具體實(shí)例提煉為概念的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向掌握微積分理論并應(yīng)用其解決向復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)變。這實(shí)際上是高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的歸宿，也是認(rèn)識(shí)和實(shí)踐的一個(gè)循環(huán)。