張 夏，黃 遲

(1. 太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024； 2. 西南財經(jīng)大學 經(jīng)濟信息工程學院，四川 成都 611130)

0 引 言

由Takagi和Sugeno所提出的T-S模糊模型[1-2]，被廣泛認為是高效的數(shù)學模型，可以用于多種分析中. 其中，同步性分析在模糊領域備受關注，尤其對于復雜非線性系統(tǒng). 現(xiàn)如今，各種復雜網(wǎng)絡隨處可見，并正成為人們?nèi)粘Ｉ钪械囊粋€重要組成部分[3-4]. 因此，拓撲結構和復雜網(wǎng)絡的動力學行為被研究人員廣泛研究. 與此同時，復雜網(wǎng)絡中節(jié)點之間的關聯(lián)比重并不是完全相同的，必然存在著一定的權重而且權重的值不是一成不變的，會隨著時間和空間位置的變化而變化. T-S模糊模型便是解決此類問題的高效模型. 然而，在現(xiàn)有研究中，復雜網(wǎng)絡中的節(jié)點狀態(tài)僅依賴于時間. 但是在許多情況下，節(jié)點狀態(tài)不僅取決于時間，還依賴于空間變量，這種模型可由非線性的偏微分方程來表示. 通過實驗研究知道，當電子在不規(guī)則電磁場中運動時，擴散現(xiàn)象是不可被避免的. 帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡可用來描述多種現(xiàn)象及化學反應，有著廣泛的應用[5-6]. 因此，對帶反應擴散項的模糊復雜網(wǎng)絡進行同步性分析顯得尤為重要.

基于T-S模糊模型，Wang H O和Tanaka K等[7-8]提出了狀態(tài)反饋控制器來逼近反饋環(huán)，從而形成T-S模糊模型的控制系統(tǒng). 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，Tanaka K等[8]得到了線性矩陣不等式(LMIs)[9]形式的穩(wěn)定性條件以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提供了控制器的設計方案，如果對于一系列的LMIs存在公共解，則基于模糊模型的控制系統(tǒng)能夠達到同步. 與同步性分析和控制器設計相關的結果已在文獻[10-13]中進行匯總.

本文使用分段線性隸屬函數(shù)研究了帶反應擴散項的模糊復雜網(wǎng)絡的同步性. 用T-S模糊模型表示帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡以支持控制器設計和同步性分析. 在分析過程中，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論，通過分段線性隸屬函數(shù)來逼近原函數(shù)，并利用一些矩陣不等式技術，在基于模糊模型(FMB)控制方法下進行同步分析.

1 模糊系統(tǒng)的描述

本節(jié)將先介紹文中使用的符號，之后介紹由一組相互耦合的反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡構成的具有反應擴散項的復雜網(wǎng)絡.

1.1 符號說明

1.2 帶反應擴散項的模糊復雜網(wǎng)絡

1.2.1 單個反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡

第i個帶Dirichlet邊界條件的單個反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡可以被表示為下列偏微分方程(PDEs)

(1)

系統(tǒng)(1)的初值和邊界條件為

(2)

(3)

本文中，函數(shù)fk(·)(k=1,2,…,n)滿足Lipschitz條件，即存在一個正常數(shù)ρk，對于任意的ξ1,ξ2∈R有

|fk(ξ1)-fk(ξ2)|≤ρk|ξ1-ξ2|,

(4)

其中, |·|表示Euclidean范數(shù)算子. 為了方便起見，ρ=diag(ρ1,ρ2,…,ρn).

系統(tǒng)(1)可簡寫為

B*f*(zi(x,t)),

(5)

1.2.2 帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡

本節(jié)考慮一個含有反應擴散項的復雜網(wǎng)絡, 該網(wǎng)絡由N個相互耦合的不同的單個反應擴散神經(jīng)網(wǎng)絡(5)組成，可表示為

B*f*(zi(x,t))+E*ui(x,t)+

(6)

包含N個節(jié)點的復雜網(wǎng)絡的式(6)的形式可以用一種簡潔的形式編寫，如下

η(G?Γ)z(x,t)+Eu(x,t),

(7)

本文中的復雜網(wǎng)絡(7)的拓撲結構是無向加權的. 復雜網(wǎng)絡(7)相關的初值和邊值條件為

zi(x,0)=Φi(x),x∈Ω,

(8)

zi(x,t)=0, (x,t)∈?Ω×[0,+∞),

(9)

式中：Φi(x)(i=1,2,…,N)為Ω上的有界連續(xù)函數(shù).

1.2.3 帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡的T-S模糊模型

基于Takagi等的研究[1-2]，類似于非線性常微分方程系統(tǒng)，復雜網(wǎng)絡(7)可以用T-S模糊PDE模型表示，其中第i條規(guī)則描述如下

Model Rulei:

帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡為

Bif(z(x,t))+η(Gi?Γi)z(x,t)+Eiu(x,t)},

(10)

其中,

(11)

DiΔz(x,t)-Aiz(x,t)+Bif(z(x,t)),

(12)

則其滿足式(8)～(9)，及

0=DiΔz*(x)-Aiz*(x)+Bif(z*(x)),

(13)

其中，i=1,2,…,p.

1.2.4 帶反應擴散項的復雜網(wǎng)絡的T-S模糊控制器

針對T-S模糊模型(11)，設計了一個具有如下格式的c個模糊規(guī)則的模糊控制器以逼近反饋環(huán). 模糊控制器的第j條規(guī)則描述如下

Controller Rulej:

模糊控制器定義如下

(14)

其中,

1.2.5 帶反應擴散項的模糊復雜網(wǎng)絡

FMB控制系統(tǒng)由帶反應擴散項的變系數(shù)復雜網(wǎng)絡式(10)和模糊控制器(14)在閉環(huán)中連接構成. 根據(jù)式(10)和(14)，F(xiàn)MB控制系統(tǒng)為

Aiz(x,t)+Bif(z(x,t))+η(Gi?Γi)z(x,t)+

EiKj(z(x,t)-z*(x))].

(15)

根據(jù)e(x,t)的定義，由式(15)減式(13)得到誤差向量e(x,t)的動態(tài)性. 誤差系統(tǒng)可描述為

Aie(x,t)+Bif(z(x,t))-Bif(z*(x))+

η(Gi?Γi)e(x,t)+EiKje(x,t)].

(16)

2 預備知識

在更深入的研究前，先介紹下列引理及定義.

引理1[14]Ω為滿足|xk|

其中x=(x1,x2,…,xq)T.

引理2[15]對于給定的合適維度的任意向量x,y和正定矩陣P>0, 有下列不等式成立

2xTy≤xTPx+yTP-1y.

定義1復雜網(wǎng)絡(15)可被稱為同步的，如果存在控制輸入u(x,t)，使得

式中：z(·，t)為復雜網(wǎng)絡(15)的解；z*(·)為復雜網(wǎng)絡(16)的唯一解.

3 主要結論

本文通過Lyapunov穩(wěn)定性理論和一些不等式對模糊復雜網(wǎng)絡(15)進行同步性分析. 定理1的充分條件是獨立于隸屬度函數(shù)的，定理2的充分條件依賴于隸屬度函數(shù)，它提供了一種高效的方法來放松同步性分析結果. 在以下分析中，為了簡便，分別把wi(x,t),mj(x,t)表示為wi,mj.

定理1如果存在矩陣P∈RNn×Nn,Kj∈RNm×Nn，對于任意的i=1,2,…,p,j=1,2,…,c，使得

P>0,

(17)

(18)

γij<0,

(19)

證明首先，對誤差系統(tǒng)構建Lyapunov函數(shù)

其次，沿著誤差系統(tǒng)(16)的軌跡對V(t)求導, 得到

f(z*(x)))]}dx.

其中j,l∈{1,2,…,N},k,m∈{1,2,…,n}，得到

(20)

(21)

(22)

令?i(x,t)=Cie(x,t), 對于邊界條件(9)的(x,t)∈?Ω×[0,+∞), 則有?i(x,t)=Cie(x,t)=0,i=1,2,…,p. 根據(jù)引理1，有

(23)

根據(jù)引理2和條件(4)，可以得到

2eT(x,t)PBi(f(z(x,t))-f(z*(x)))=

(24)

由式(20)～(24)可以得到

(25)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，當γij<0，復雜網(wǎng)絡(15)在定義1的意義下是全局漸進同步的. 證畢.

Matlab的LMI工具箱被廣泛應用于求解線性矩陣不等式. 定理1的矩陣不等式(18)～(19)不能用LMI工具箱求解. 為了得到式(18)～(19)的解，我們引入推論1，然后利用LMI工具箱從推論1中找到滿足條件(26)～(28)的解，為仿真實例奠定基礎.

推論1如果存在矩陣S∈RNn×Nn,Mj∈RNm×Nn, 使得

S>0,

(26)

(27)

(28)

證明令S=(P-1)T，對式(17)～(18)左乘ST，右乘S，則有

S>0,

對式(19)左乘ST，右乘S，可得

Yij<0,

(29)

令Mj=KjS，則Kj=MjS-1.Yij可被寫為Yij=Wij+STΘΘS. 根據(jù)引理3，知道式(29)和 -INn<0等價于式(28)，則復雜網(wǎng)絡(15)在定義1的意義下是全局漸進同步的. 證畢.

其具有以下性質

同樣，考慮模糊控制器(14)的隸屬函數(shù)，將mj(x,t)的分段線性隸屬函數(shù)定義為

其具有以下性質

定理2如果存在矩陣P∈RNn×Nn,Kj∈RNm×Nn,Q∈RNn×Nn，使得

P>0,

(30)

(31)

(32)

γij+Q<0,

(33)

其中

vk(d)(x,t)∈[0,1]且nk(b)(x,t)∈[0,1]，則條件(30)～(33)成立時，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，復雜網(wǎng)絡(15)在定義1的意義下是全局漸進同步的. 證畢.

如推論1的證明，可以根據(jù)定理2得到推論2.

推論2如果存在矩陣S∈RNn×Nn，Mj∈RNm×Nn,R∈RNn×Nn，使得

S>0,

(34)

(35)

(36)

(37)

證明令S=(P-1)T，R=STQS，Mj=KjS，則Q=(S-1)TRS-1，Kj=MjS-1. 對式(30)～(33)同左乘ST，右乘S，則有

(38)

Yij+R<0.

(39)

根據(jù)Yij=Wij+STΘΘS，式(38)可寫為

(40)

同理，式(39)可寫為

Wij+R+STΘΘS<0.

(41)

根據(jù)引理3，可知式(41)和-INn<0等價于式(37). 則復雜網(wǎng)絡(15)在定義1的意義下是全局漸進同步的. 證畢.

注與現(xiàn)有的復雜網(wǎng)絡文獻相比，文獻[5]，[14]研究了帶反映擴散項的復雜網(wǎng)絡的同步性，并沒有采用輸入狀態(tài)反饋控制，本文對于控制輸入項使用了狀態(tài)反饋控制，并且使用了T-S模糊模型對系統(tǒng)進行分析. 文獻[13]研究了具有部分和離散耦合的模糊復雜網(wǎng)絡的牽引同步，且T-S模糊模型和模糊控制器的設計是相同的，并未考慮到隸屬度函數(shù)不匹配的情況. 本文考慮了T-S模糊偏微分模型，并且不要求T-S模糊模型和模糊控制器共享相同的隸屬度函數(shù)，最終得到了一個相比于原先方法更為寬松的充分條件.

4 仿真算例

為降低模糊控制器的復雜度(當使用較少的模糊控制器規(guī)則時)，從而達到較低的實現(xiàn)成本，選擇了具有3個規(guī)則模糊模型和2個規(guī)則模糊控制器的算例. 通過比較定理1和定理2 的結果可知，定理2可以得到比定理1更大的同步區(qū)域，證明了定理1和定理2的有效性.

考慮如下網(wǎng)絡

i=1,2,3,

Bif(z(x,t))-Bif(z*(x))+

η(Gi?Γi)e(x,t)+EiKje(x,t)],

其中x∈Ω，Ω={x|-5≤x≤5},e(x,t)∈R3為誤差向量. 系統(tǒng)和輸入矩陣表達如下

D1=diag(0.4,0.5,0.6),

D2=diag(0.3,0.2,0.5),

D3=diag(0,0.4,0.5),

A1=diag(0.6,0.55,0.27),

A2=diag(0.6,0.9,0.5),

A3=diag(0.5,0.3,0.7),

E1(x,t)=(10,0,0)T,

E2(x,t)=(2,0,0)T,

E3(x,t)=(-b+1,-1,0)T,

Θ=diag(0.5,0.5,0.5),η=0.2,G1=0.1,

G2=0.4,G3=0.2,Γ1=diag(0.5,0.5,0.5),

Γ2=diag(0.2,0.1,0.1),

Γ3=diag(0.1,0.2,0.4).

變量a和b是需指定的常量參數(shù). 隸屬函數(shù)被選擇為

w2(x,t)=1-w1(x,t)-w3(x,t).

用2個規(guī)則模糊控制器對誤差系統(tǒng)進行控制. 隸屬函數(shù)選擇

m1(x,t)=e-x2×1.52/2,m2(x,t)=1-m1(x,t).

對于該隸屬度函數(shù)，滿足條件的κij值如表 1 所示.

表 1 樣本點x=-5,-4,…,5時κij的取值Tab.1 Values of κij for sampled x=-5,-4,…,5

由圖 1 可以看出，在1≤a≤8，1≤b≤60的范圍內(nèi)，使用LMI工具箱考慮系統(tǒng)滿足LMI式(26)～(28) (推論1(‘+’))的和系統(tǒng)滿足LMI式(34)～(37) (推論2(‘o’))的可行解. 使用如上的參數(shù)，同步區(qū)域如圖1所示，同步條件(34)～(37)中包含了更多的隸屬函數(shù)信息，可以生成更大的同步區(qū)域. 因此，所提出的條件(34)～(37)更準確，而且更保守.

圖 1 推論1(‘+’)及推論2(‘o’)下的同步性區(qū)域Fig.1 Synchronization regions given by the conditions for Corollary 1 (‘+’) and Corollary 2 (‘o’)

5 結 論

本文應用不匹配的T-S模糊模型和狀態(tài)反饋控制器，使得帶反應擴散項的模糊復雜網(wǎng)絡達到同步. 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論及使用分段線性隸屬函數(shù)來逼近原函數(shù)的方法，推導出兩種不同的同步性判據(jù)，一種是利用求解PDE的不等式技巧來得到，另一種是基于第一種判定通過運用分段線性隸屬函數(shù)的特性得到. 這兩種同步性方法相比較，后者更高效，更有說服力. 最后，通過仿真實例驗證了該方法的優(yōu)越性.