數(shù)字全息相位解包裹方法的適用性分析

李建素，黨長營

(中北大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

在數(shù)字全息中，相位反映物體的縱向尺寸，它是通過數(shù)值再現(xiàn)全息圖獲得原物體的復(fù)振幅，再對復(fù)振幅求反正切獲得的.其中，反正切函數(shù)具有周期截斷性，因而相位被包裹在[-π, π]的主值區(qū)域中.當(dāng)物體的縱向尺寸大于照射光波長時，需對此包裹相位解包裹之后才能獲得反映物體縱向尺寸的連續(xù)相位值，因此相位解包裹技術(shù)在數(shù)字全息術(shù)中至關(guān)重要.

相位解包裹是將被包裹在[-π, π]的包裹相位恢復(fù)為連續(xù)真實相位的過程.實際中，照射光的波長常常只有幾百納米，因此待測物的縱向尺寸常常是大于照射光的波長，故需將包裹相位恢復(fù)為連續(xù)相位值，再根據(jù)此相位值與待測物的關(guān)系，進而獲得待測物的縱向尺寸信息.又因為數(shù)字全息術(shù)中通常只有一幅包裹相位圖，故一般用空間相位解包裹方法.

空間相位解包裹是通過對包裹相位差分的再包裹值的積分來獲得解包裹相位[1].相位解包裹法可分為兩類：路徑相關(guān)法和路徑無關(guān)法.路徑相關(guān)法是根據(jù)質(zhì)量圖引導(dǎo)或殘差點判斷等方式選擇一定的積分路徑對包裹相位圖積分，獲得連續(xù)的真實相位.常見的方法有枝切法[2]、質(zhì)量圖引導(dǎo)法[3]、標(biāo)記法[4]、掩膜截斷法[5]、遺傳算法[6]等等.這類方法的魯棒性不好，抗噪聲能力差，對存在噪聲的包裹相位圖，容易出現(xiàn)“拉線”效應(yīng)和未解包裹區(qū)域.路徑無關(guān)法是利用包裹相位梯度的再包裹值與真實相位的梯度值之差最小(即最小范數(shù))為目標(biāo)，在整個面內(nèi)用包裹相位梯度的再包裹值來搜索真實相位面的最佳逼近值，是一種全局擬合的方法[1].路徑無關(guān)法可分為最小二乘法[7]、最優(yōu)估計法[8]及多級網(wǎng)格法[9]等.相對于路徑相關(guān)法，這類方法具有速度快，抗噪聲能力強的優(yōu)勢.而其中最小二乘法是最有效、最便捷的方法，因此本文主要針對路徑無關(guān)法中的最小二乘法進行分析討論.

最常用的最小二乘法又分為加權(quán)和非加權(quán)兩種.加權(quán)相對于非加權(quán)算法是在包裹相位梯度的再包裹值前加入反映包裹相位質(zhì)量好壞的加權(quán)因子.求解最小二乘法常用迭代法[10]，離散余弦變換[11]和快速傅里葉變換法[12].迭代法包括Jacobi迭代法，Gauss-Seidel(GS)迭代法和逐次超松弛(SOR)迭代等.無論哪種迭代法，其收斂速度較慢，且耗時長，即便對64×64大的數(shù)據(jù)都不適用[13].因此目前發(fā)展較快的是基于離散余弦變換和快速傅里葉變換的最小二乘相位解包裹方法.

國外，1994年，美國Sandia國家實驗室(Sandia National Laboratories)的D.C.Ghiglia等人[10]首次提出了基于離散余弦變換最小二乘法求解包裹相位.此后，基于離散余弦變換的相位解包裹技術(shù)蓬勃發(fā)展.2003年，美國的布魯克海文國家實驗室(Brookhaven National Laboratory，BNL)的M.A.Schofield等人[14]依據(jù)快速傅里葉變換和二維拉普拉斯變換的關(guān)系，提出了基于四次快速傅里葉變換的相位解包裹方法(四次快速傅里葉變換包含四次快速傅里葉變換和四次快速傅里葉逆變換)，并用此方法進行了相位解包裹，獲得了較好的結(jié)果.同年，他們依據(jù)指數(shù)函數(shù)的微分與其快速傅里葉變換的關(guān)系，提出基于二次快速傅里葉變換的相位解包裹技術(shù)[15].

國內(nèi)，2008年，天津大學(xué)的葛寶臻等人[16]把基于離散余弦變換最小二乘法的相位解包裹技術(shù)應(yīng)用于求解數(shù)字全息術(shù)中的包裹相位，并獲得了較好的實驗結(jié)果.在數(shù)字全息中，由于基于離散余弦變換和快速傅里葉變換[17]的相位解包裹方法抗噪聲能力強，效率高而被廣泛應(yīng)用.而對于基于離散余弦變換、四次快速傅里葉變換和二次快速傅里葉變換的三種相位解包裹法，2013年，河北工程大學(xué)的王華英等人[18]進行了簡單的實驗比較，但未從這三種方法的基本原理入手來分析這三種方法的適用性.

綜上所述，針對常用的相位解包裹方法：基于離散余弦變換的相位解包裹法(DCT)、基于四次傅里葉變換的相位解包裹法(4-FFT)和基于二次傅里葉變換的相位解包裹法(2-FFT)，目前還缺乏從理論上對它們的適用性進行分析，進而明確相位解包裹方法的適用范圍，這對相位解包裹在實際中的應(yīng)用是非常必要的.因此，本文首先分析了這三種解包裹方法的基本原理.其次，依據(jù)它們成立的前提條件，從理論上分析它們的適用范圍，并進行了實驗驗證.

1 三種相位解包裹方法的基本原理

1.1 DCT法

DCT法是以二維離散余弦變換求解L2范數(shù)的一種解包裹算法，即求真實相位的相位梯度與包裹相位的包裹梯度以最小二乘算法理論[10]逼近于真實相位的相位解包裹方法.

求解函數(shù)可表示為

(1)

DCT法的計算步驟為：

1.2 4-FFT法

4-FFT法[14]是根據(jù)包裹相位與真實相位的二維拉普拉斯變換的關(guān)系及二維拉普拉斯變換與二維傅里葉變換的關(guān)系進行相位解包裹，其數(shù)學(xué)關(guān)系式為

φe=

(2)

式中：ψ為包裹相位；fx為相位像中x的頻域坐標(biāo)；fy為相位像中y的頻域坐標(biāo).

由式(2)得到估計值φe，按照式(3)進行迭代求得最終的真實相位.

φi+1=φi+2π×round[(φe-φi)/2π],

(3)

式中：i為迭代步數(shù)，i=0時,φ0表示包裹相位值；round()為取整函數(shù).

當(dāng)i=0時，式(3)稱為后處理法，是將包裹相位的初始值代入后續(xù)的解包裹值中.

1.3 2-FFT法

2-FFT法[15]是根據(jù)指數(shù)函數(shù)的偏微分與其快速傅里葉變換的關(guān)系，進行相位解包裹，并把求解式子轉(zhuǎn)換為僅需兩次傅里葉變換的關(guān)系式，以此來提高計算效率.表達式為

φ(x,y)=

(4)

式中：Re{}為求復(fù)數(shù)函數(shù)的實部；?xφ為在x方向的偏微分；?yφ為φ在y方向的偏微分.

對Z(x,y)=exp[jφ(x,y)]=exp{j[ψ(x,y)+2πK(x,y)]}=exp[jψ(x,y)]求偏微分可得

φ(x,y)=Re[Z(x,y)/jZ(x,y)],

(5)

根據(jù)Z(x,y)=exp[jψ(x,y)]和式(5)可得φ(x,y)，即?xφ和?yφ由包裹相位求得，代入式(4)，則獲得真實相位φ.

2-FFT法與4-FFT法一樣，都是利用快速傅里葉變換求解包裹相位.它僅需兩次傅里葉變換和一次快速傅里葉逆變換，因此速度優(yōu)于4-FFT法，但它和4-FFT法都需要對原包裹相位圖進行鏡像操作以避免圖像邊界對相位解包裹的影響，故速度上受到一定的限制.由于2-FFT法中包裹相位的偏導(dǎo)數(shù)可通過2×1的像素模板獲得，所以它具有較好的噪聲免疫能力和較快的計算速度.

2 三種相位解包裹方法的理論分析及驗證

2.1 DCT法的適用條件

首先對真實相位與包裹相位的關(guān)系ψ=φ+2πK兩邊同時做微分，可得

ψ=W[φ]=φ+2πK.

(6)

對式(6)兩邊取包裹得到

W(ψ)=φ+2πK+2πK′.

(7)

因此解相位跳變大于π(相位不連續(xù))的包裹相位時，解包裹算法中，不能直接應(yīng)用W(ψ)=φ等式進行計算.當(dāng)矩陣中取相鄰兩像素的梯度值時，矩陣的偏微分與梯度值相等，所以上述描述的Δφ=φ，Δψ=ψ.DCT法獲得真實相位是通過求真實相位的梯度與包裹相位的包裹梯度的最小二乘.因此，DCT法應(yīng)用了W(Δψ)=Δφ等式，故在該方法中，若真實相位的相位跳變大于π時，該方法不再適用.上述分析表明DCT法僅適用于真實相位跳變小于π(相位連續(xù))的情況.

圖1 φr1的相位梯度與其包裹相位的包裹梯度之差

兩者分別沿x和y方向的差均在10-15以內(nèi)，完全可忽略.結(jié)果證明當(dāng)真實相位的最大相位跳變小于π 時，式(7)中的2πK+2πK′=0，即真實相位的梯度Δφ與其包裹相位的包裹梯度W(Δψ)相等，此時DCT法中的等式W(Δψ)=Δφ成立，所以DCT法適用于解相位跳變小于π的包裹相位.

圖2 φr2的相位梯度與其包裹相位的包裹梯度之差

兩相位梯度的最大誤差達6.28 rad，表明了當(dāng)真實相位跳變大于π時，相位梯度與其包裹相位的包裹梯度不相等，式(7)中的2πK+2K′=6.28 rad.此時DCT法中的等式W(Δψ)=Δφ不成立，所以DCT法不適用于解相位跳變大于π的包裹相位.

2.2 4-FFT法的適用條件

4-FFT法的思想是用傅里葉變換代替二維拉普拉斯變換，利用包裹相位的指數(shù)函數(shù)獲得真實相位的二維拉普拉斯變換，進行相位解包裹.

由于復(fù)指數(shù)函數(shù)的實部和虛部分別是余弦和正弦函數(shù)，而余弦和正弦函數(shù)都是以2π為周期的函數(shù).因此，在復(fù)指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)項也是以2π為周期的函數(shù)，則公式Z(x,y)=exp[jψ(x,y)]=exp{j[φ(x,y)-2πK(x,y)]}=exp[jφ(x,y)]是恒成立的，而4-FFT法是利用等式推導(dǎo)得到解包裹的表達式，其中Z(x,y)是用包裹相位計算得到的.

然而，當(dāng)真實相位的相位跳變大于π時，包裹相位不是連續(xù)的相位，用包裹相位計算得到，故此時4-FFT法不適用.

為了論證理論分析得到的4-FFT法適用范圍的正確性，下面在真實相位跳變小于和大于π的情況下，分別比較真實相位的拉普拉斯變換和利用包裹相位的指數(shù)函數(shù)獲得的拉普拉斯變換Im(2Z(z,y)/Z(x,y)).

設(shè)指數(shù)函數(shù)Z(x,y)=exp[jψr1(x,y)]，比較真實相位的拉普拉斯變換2φr1(x,y)與利用Z(x,y)=exp[jψr1(x,y)]得到的Im(2Z(x,y)/(Z(x,y))之差如圖3 所示.由圖可知，x向的兩值之差在[-1.46 rad, 1.42 rad]之間，y向的兩值之差在[-1.7 rad, 2.25 rad]之間，表明2φ(x,y)≠Im(2Z(x,y)/Z(x,y)).又因為在4-FFT法中有式(3)的后處理過程，對前期計算的結(jié)果進行了誤差校正，而且變換誤差在[-π, π]范圍內(nèi)時，該誤差可以被修正.

圖3 φr1的拉普拉斯變換與利用ψr1的指數(shù)函數(shù)獲得的Im(2Z(x,y)/Z(x,y))之差

設(shè)指數(shù)函數(shù)Z(x,y)=exp[jψr2(x,y)]，比較φr2的拉普拉斯變換2φ(x,y)與通過Z(x,y)=exp[jψr2(x,y)]得到的Im(2Z(x,y)/Z(x,y))之差如圖4 所示.

圖4 φr2的拉普拉斯變換與利用ψr2的指數(shù)函數(shù)獲得的Im(2Z(x,y)/Z(x,y))之差

x向的兩值之差在[-2.18 rad, 2.13 rad]之間，y向的兩值之差在[-2.55 rad, 3.37 rad]之間，同樣表明2φ(x,y)≠Im(Z(x,y)/Z(x,y)).而且y向誤差不在[-π, π]范圍內(nèi)，因此4-FFT法中的后處理也不能校正該誤差.

2.3 2-FFT法的適用條件

如前所述，公式Z(x,y)=exp{i[ψ(x,y)+2πK(x,y)]}=exp[iψ(x,y)]是恒成立的.式(5)可寫成

(8)

真實相位的偏微分是由包裹相位的指數(shù)函數(shù)及其偏微分獲得的，然而需要注意：二元函數(shù)可微分的條件是函數(shù)在該點連續(xù)，若相位在此點是不連續(xù)的函數(shù)(相位跳變大于π)，則相位在該點不能微分，即不能對包裹相位的指數(shù)函數(shù)Z(x,y)=exp[jψ(x,y)]求偏微分，故2-FFT法中利用包裹相位的指數(shù)函數(shù)獲得真實相位的偏微分是不可行的.

為了論證理論分析獲得的2-FFT法適用范圍的正確性，下面在真實相位跳變小于和大于π的情況下分別對比真實相位的偏微分與利用包裹相位的指數(shù)函數(shù)獲得真實相位的偏微分.

指數(shù)函數(shù)Z(x,y)=exp[jψr1(x,y)]，比較φr1(x,y)與Re{Z(x,y)/jZ(x,y)}之差，結(jié)果如圖5 所示.沿x向的兩值之差在[-0.46 rad, 0.43 rad]之間，沿y向的兩值之差在[-0.71 rad, 1.48 rad]之間，證明了當(dāng)相位跳變小于π時，φr1(x,y)已經(jīng)與Re{Z(x,y)/jZ(x,y)}有較大偏差.

圖5 真實相位φr1的偏微分與Re{exp[jψ(x,y)]/jexp[jψ(x,y)]}之差

指數(shù)函數(shù)Z(x,y)=exp(jψr2)，比較φr2(x,y)與Re{Z(x,y)/jZ(x,y)}之差，如圖6 所示.

圖6 真實相位φr2的偏微分與Re{exp[jψ(x,y)]/jexp[jψ(x,y)]}之差

沿x向的兩值之差在[-1.36 rad, 1.28 rad]之間，沿y向的兩值之差在[-2.0 rad, 3.63 rad]之間，證明了當(dāng)相位跳變大于π時，φ(x,y)與Re{Z(x,y)/jZ(x,y)}之差大于π，2-FFT法存在嚴重誤差.

3 實驗結(jié)果與分析

為了進一步論證該三種常用相位解包裹方法的適用性，仿真了一系列的真實相位進行包裹處理之后，再分別利用三種解包裹方法進行解包裹運算，得到了與上述相類似的結(jié)果.下面僅列出2組仿真實驗結(jié)果進行說明.

圖7 DCT、4-FFT和2-FFT法獲得的解包裹相位φr1與真值的差值

第一組實驗數(shù)據(jù)為對仿真相位φr1，取指數(shù)函數(shù)為Zr1=exp(jφr1)，通過反正切函數(shù)獲得φr1的包裹相位ψr1.采用DCT、4-FFT和2-FFT三種方法分別對包裹相位ψr1解包裹，解包裹相位φr1與真實相位φr1的誤差如圖7 所示.

圖7 中，DCT、4-FFT和2-FFT三種解包裹方法的誤差范圍分別為[1.43 rad, 1.43 rad],[-1.8×10-15rad, 1.8×10-15rad]和[-6.26 rad, 9.09 rad]，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σDCT=1.43 rad，σ4-FFT=1.3×10-16rad 和σ2-FFT=2.49 rad.其中2-FFT法的誤差值比其他兩種方法都大，表明了2-FFT法雖然減少了傅里葉變換的次數(shù)，節(jié)約了時間，但損失了精度，而且不能獲得正確的真實相位.且在多組實驗數(shù)據(jù)中，當(dāng)相位梯度小于π時，DCT法誤差雖然變大但還是一常數(shù)偏差，即解包裹相位與真實相位僅相差一常數(shù)相位值，因此雖然每次相位解包裹所得的偏差不同，但不會影響物體的相對高度，故DCT法是可行的.4-FFT法實驗結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差非常小，幾乎為零，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，在第二組數(shù)據(jù)分析中會進行解釋，此處就不再闡述.上述結(jié)論證明了當(dāng)真實相位的最大相位跳變小于π時，DCT法和4-FFT法獲得的解包裹相位與真實相位吻合，而2-FFT法在真實相位的相位跳變還未達到π時，解包裹誤差已經(jīng)大于了π，即存在真實相位“坡度”欠估計的問題[19]，表明該方法已經(jīng)失效.

第二組實驗數(shù)據(jù)為對仿真相位φr2，取指數(shù)函數(shù)為Zr2=exp(jφr2)，通過反正切函數(shù)獲得φr2的包裹相位ψr2.采用DCT、4-FFT和2-FFT三種解包裹方法分別對包裹相位ψr2解包裹，獲得的解包裹相位與真實相位的誤差，如圖8 所示.

圖8 中，DCT、4-FFT和2-FFT三種解包裹方法的誤差范圍分別為[-9.6 rad, 12.6 rad]，[-6.28 rad, 6.28 rad]和[-19.34 rad, 23.9 rad].三種解包裹方法的誤差都很大，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σDCT=2.6 rad，σ4-FFT=2.78 rad和σ2-FFT=6.12 rad.證明了當(dāng)真實相位的相位跳變大于π時，三種解包裹方法的解包裹誤差都大于了π，表明上述三種解包裹方法均失敗，不能獲得正確的解包裹值.

當(dāng)真實相位的最大相位跳變小于π時，4-FFT法的標(biāo)準(zhǔn)差非常小(達到了10-16)，精確地實現(xiàn)了相位解包裹，這主要是因為在4-FFT法中，有后處理過程，即φ=φ+2π×round[(φe-ψ)/2π]，且此包裹相位是仿真相位，完全無噪聲等干擾.基于此，本文也在DCT和2-FFT法中加了相應(yīng)的后處理算法，獲得與真實相位非常接近、標(biāo)準(zhǔn)差也非常小的結(jié)果.但是，無論哪種算法若包裹相位中含有噪聲，后處理算法都會將噪聲加入解包裹相位中，這樣使得解包裹的精度進一步降低.實際實驗中，因溫度、振動等因素的影響，包裹相位中或多或少都會包含一些噪聲，加后處理算法進行相位解包裹并不那么精確好用.由于4-FFT法容易疊加包裹相位的噪聲，2-FFT法的標(biāo)準(zhǔn)差大于DCT法，所以常用的解包裹方法中最實用的相位解包裹方法為DCT法.

圖8 DCT、4-FFT和2-FFT法獲得的解包裹相位φr2的誤差

為了清楚比較上述三種解包裹方法，上述實驗數(shù)據(jù)如表1 所示.其中|Δmax|表示真實相位最大相位跳變，σDCT、σ4-FFT、σ2-FFT分別表示DCT、4-FFT、2-FFT法獲得解包裹相位的標(biāo)準(zhǔn)差，Emax-DCT、Emax-4-FFT、Emax-2-FFT分別表示DCT、4-FFT、2-FFT法獲得解包裹相位的最大誤差.當(dāng)真實相位的最大相位跳變小于π時，對應(yīng)表中第一行，DCT、4-FFT法都獲得了較好的結(jié)果，但2-FFT法的標(biāo)準(zhǔn)差較大.當(dāng)真實相位的最大相位跳變大于π時，DCT、4-FFT和2-FFT法都存在嚴重誤差.

表1 DCT、4-FFT和2-FFT三種解包裹方法的精度比較

4 結(jié) 論

本文對常見的三種相位解包裹方法成立的基本公式進行了理論分析推導(dǎo)和實驗驗證，結(jié)果表明，當(dāng)真實相位的相位跳變小于π時，三種相位解包裹方法能獲得較好的結(jié)果，DCT法和4-FFT法精度較高.其中DCT法僅存在一個常數(shù)相位誤差，4-FFT法的均方差低至1.3×10-16rad，2-FFT法的均方差高達2.494 rad.但是，當(dāng)真實相位的相位跳變大于π時，W(ψ)≠φ，2φ(x,y)≠Im(2Z(x,y)/Z(x,y))，φ(x,y)≠Re{exp[jψ(x,y)]/jexp[jψ(x,y)]}.故得出：這三種解包裹方法都不能有效地獲得相位跳變大于π的包裹相位的解包裹值，因為其不論是以真實相位的梯度與包裹相位的包裹梯度相等為條件，還是對包裹相位和真實相位的復(fù)指數(shù)相等的恒等式取相應(yīng)的變化，再獲得相應(yīng)等式恒成立為條件，當(dāng)相位跳變大于π時，這些條件都不再成立.因此，在常用的三種相位解包裹方法中，DCT法的準(zhǔn)確性較高，可靠性更好.該分析結(jié)果將為數(shù)字全息技術(shù)中相位解包裹技術(shù)的選擇提供理論支撐.