李 朝

(湖北省湖北大學(xué)附屬中學(xué) 430062)

一、二次函數(shù)試題的一般解題路徑及其核心思想

一次函數(shù)的幾何特性是直線,二次函數(shù)則有明顯不同，其幾何特性是曲線.這種差異使得很多在學(xué)習(xí)時(shí)不善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)障礙，而一些善用數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)生又可能因數(shù)學(xué)四則運(yùn)算不熟練而出現(xiàn)解題失誤.

從本質(zhì)上看，二次函數(shù)解題錯(cuò)誤的根本問(wèn)題在于二次函數(shù)的代數(shù)和幾何特性都在試題中有較高的出現(xiàn)率(一次函數(shù)試題中代數(shù)運(yùn)算的考察比重更高)，在一些復(fù)雜問(wèn)題中學(xué)生容易找不到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，本文認(rèn)為二次函數(shù)的解題關(guān)鍵在于把握問(wèn)題的核心，從而尋找最適合的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決相應(yīng)問(wèn)題.例如試題“函數(shù)y=x2+2ax+b的圖象與x軸交點(diǎn)分別為A、B，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，已知三角形ABC面積為6，求a、b的值.”該問(wèn)題的題干中同時(shí)給出了二次函數(shù)的代數(shù)(函數(shù)式)和幾何性質(zhì)(坐標(biāo)系中的點(diǎn))要素，多數(shù)學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地繪制函數(shù)圖形來(lái)分析問(wèn)題，然后把重點(diǎn)放在求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)上，這時(shí)學(xué)生必然會(huì)發(fā)現(xiàn)在圖形中難以準(zhǔn)確判斷A、B坐標(biāo)點(diǎn)，仍要回歸到函數(shù)關(guān)系上來(lái)(僅借助三角形面積知識(shí)求取交點(diǎn)差值來(lái)獲取函數(shù)值為0時(shí)兩個(gè)解的差值，即SABC=(|x1-x2|·2)/2=6)，把結(jié)果代入二次函數(shù)根的計(jì)算公式即可求出a、b的值.

因此，解決二次函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)核心思想是判斷題目所要考察的問(wèn)題，雖然題目中對(duì)于二次函數(shù)代數(shù)和幾何特性的展現(xiàn)頻率都相對(duì)較高，但實(shí)際考察的內(nèi)容仍會(huì)以代數(shù)性質(zhì)為主.因此要注重培養(yǎng)學(xué)生提煉關(guān)鍵條件和要素并嘗試轉(zhuǎn)化的能力，最終向二次函數(shù)及其根的代數(shù)形式靠攏，把握轉(zhuǎn)化和簡(jiǎn)化這一核心思想來(lái)解決所有二次函數(shù)問(wèn)題.

二、二次函數(shù)解題中主要轉(zhuǎn)化思想

二次函數(shù)問(wèn)題的一般解決方法是轉(zhuǎn)化，但所應(yīng)用的轉(zhuǎn)化思想較為多樣，其中典型的轉(zhuǎn)化思想有如下三種，教師可根據(jù)學(xué)生弱項(xiàng)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練.

第二種，對(duì)稱簡(jiǎn)化.對(duì)稱性是二次函數(shù)的特有幾何屬性，該屬性是函數(shù)計(jì)算中隱藏的條件，少數(shù)初中二次函數(shù)問(wèn)題中會(huì)考察這一知識(shí)點(diǎn)，大多數(shù)不考察該知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題也能夠使用這一特性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.建議教師先對(duì)函數(shù)對(duì)稱的代數(shù)表現(xiàn)進(jìn)行詳細(xì)分析，重點(diǎn)說(shuō)明函數(shù)最值和根為中心點(diǎn)，兩側(cè)函數(shù)的對(duì)稱性，由此在應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)題目中有成對(duì)根、最值點(diǎn)坐標(biāo)等關(guān)系時(shí)，先考慮二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用這一性質(zhì)來(lái)豐富有效條件并輔助解題.

第三種，聯(lián)想轉(zhuǎn)換.聯(lián)想轉(zhuǎn)換是一種更復(fù)雜但也更高效的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，一般在高中及以上層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及應(yīng)用中出現(xiàn)率較高，但對(duì)于一些難度較高的初中二次函數(shù)問(wèn)題也有奇效.比如“已知二次函數(shù)y=x2+2ax+b兩個(gè)根的大小關(guān)系(x1

三、二次函數(shù)解題能力強(qiáng)化訓(xùn)練的建議

結(jié)合前文分析來(lái)看，二次函數(shù)解題能力的關(guān)鍵不在于掌握一種絕對(duì)正確的解題法，而是要掌握正確的解題思路和豐富的數(shù)學(xué)思想，由此實(shí)現(xiàn)一通百通的理想效果，筆者建議教師可以在教學(xué)中通過(guò)如下方法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力：

第一，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣.在課堂練習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)經(jīng)常性地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解析，按照題干要素收集、問(wèn)題定位與本質(zhì)識(shí)別、問(wèn)題關(guān)聯(lián)有效要素的篩選這三個(gè)步驟對(duì)問(wèn)題進(jìn)行提煉，通過(guò)這種說(shuō)題方法不斷培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)審題的習(xí)慣，幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握核心問(wèn)題.

第二，盡可能要求學(xué)生一題多解，以多樣嘗試鞏固轉(zhuǎn)化方法運(yùn)用熟練度.即在多樣化的嘗試中提高學(xué)生對(duì)二次函數(shù)核心性質(zhì)、計(jì)算公式的理解與應(yīng)用水平，也豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生較早地熟悉絕大多數(shù)二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用和考察形式.

第三，及時(shí)總結(jié)和反思，梳理轉(zhuǎn)化方法的適用情境.即在經(jīng)過(guò)一定量的訓(xùn)練后，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)二次函數(shù)解題時(shí)使用的三類轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行總結(jié)，直接說(shuō)明所運(yùn)用的具體數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)也認(rèn)同數(shù)學(xué)思想在解題中的價(jià)值，從而將相應(yīng)數(shù)學(xué)思想拓展應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中去，在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力的同時(shí)也強(qiáng)化其應(yīng)用此類思想解決二次函數(shù)問(wèn)題的能力.