一種基于全局最優(yōu)的改進(jìn)的正弦余弦算法

趙鵬軍， 陳克文， 黨 楠

（1.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000；2.商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛 726000）

基于對(duì)正弦、余弦函數(shù)的研究，澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili［1］于2016年提出了一種新的智能優(yōu)化算法——正弦余弦算法（Sine Cosine Algorithm，SCA），該算法通過(guò)初始化多個(gè)隨機(jī)解，利用正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的變化來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，能夠有效避免局部最優(yōu)，是智能計(jì)算領(lǐng)域中的一個(gè)新的研究方向. 該算法具有模型簡(jiǎn)單、可調(diào)參數(shù)少、收斂速度快、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，已初步成功應(yīng)用于電力系統(tǒng)［2］、工程設(shè)計(jì)［3］、模式識(shí)別［4］等方面［5-15］. 和其他智能優(yōu)化算法一樣，SCA同樣存在易陷入局部最優(yōu)、后期收斂速度較慢等現(xiàn)象. 為提高算法的性能，本文借鑒有關(guān)算法［16-17］中的部分思想，提出了改進(jìn)的SCA（記為GSCA），利用文獻(xiàn)［16］中算法分群的思想，將種群體分成兩個(gè)子群進(jìn)行迭代操作，其中一個(gè)子群借鑒文獻(xiàn)［17］中算法第二階段的迭代方法，另一個(gè)子群中進(jìn)一步結(jié)合最優(yōu)信息，對(duì)原迭代公式進(jìn)行修改，使得在迭代過(guò)程中各個(gè)部分采用不同的迭代機(jī)制，可以提高種群的多樣性，通過(guò)種群間個(gè)體之間的合作與競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)生群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索，可有效增強(qiáng)算法的開(kāi)采能力，避免算法陷入局部最優(yōu)，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性和有效性.

1 正弦余弦算法

在正弦余弦算法中，首先隨機(jī)初始化個(gè)體，然后以一定的概率分別利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的值進(jìn)行迭代，更新個(gè)體位置，其迭代公式為

算法先將種群中的個(gè)體隨機(jī)散布在解空間，然后根據(jù)式（1）計(jì)算更新后的位置，這樣通過(guò)多次移動(dòng)后，所有個(gè)體都將聚集在最優(yōu)位置上，從而實(shí)現(xiàn)尋優(yōu).

2 改進(jìn)的正弦余弦算法

為進(jìn)一步提高算法的搜索效率，有效避免過(guò)早陷入局部最優(yōu)，加快收斂速度并提高求解精度，受文獻(xiàn)［16-17］的啟發(fā)并結(jié)合算法自身最優(yōu)信息，將種群分成相等的兩個(gè)子群，各個(gè)子群采用不同的迭代公式進(jìn)行迭代，以提高種群的多樣性，算法收斂速度和求解精度，其中一個(gè)子群用公式（2）進(jìn)行迭代.

另一子群用式（3）進(jìn)行迭代.

利用式（2）～（3）進(jìn)行迭代的算法記為GSCA. 兩個(gè)子群在不同迭代公式的作用下為迭代提供更有效的信息，可以在一定程度上引導(dǎo)個(gè)體快速朝最優(yōu)解方向移動(dòng)，增強(qiáng)其尋優(yōu)能力，為跳出局部最優(yōu)提供了可能，更有可能求得優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解.

綜上所述，GSCA流程如下：

步驟1 產(chǎn)生隨機(jī)初始種群及參數(shù)（個(gè)體數(shù)N，最大迭代次數(shù)T）.

步驟2 計(jì)算個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值并確定全局最優(yōu).

步驟4 根據(jù)更新后個(gè)體位置，重新計(jì)算個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，并更新全局最優(yōu).

步驟5 當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)算法結(jié)束，輸出最優(yōu)個(gè)體值；否則，轉(zhuǎn)步驟3.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

3.1 測(cè)試函數(shù)

表1 測(cè)試函數(shù)Tab.1 Test functions

3.2 參數(shù)設(shè)置

文中對(duì)SCA和GSCA分別進(jìn)行了測(cè)試，為了增強(qiáng)可比性，采用文獻(xiàn)［1］中建議的參數(shù)設(shè)置，兩種算法的種群規(guī)模N=30，維數(shù)n=30，最大迭代次數(shù)T=1000.

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

每個(gè)測(cè)試函數(shù)在上述參數(shù)設(shè)置下獨(dú)立運(yùn)行30次以消除隨機(jī)因素的影響，各算法對(duì)23個(gè)測(cè)試函數(shù)的計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2所示，包括平均結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差.

表2 函數(shù)優(yōu)化結(jié)果比較Tab.2 Comparison of optimization results for functions

從表2中的平均結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差的比較可知，對(duì)函數(shù)f1～f7,f10～f13,f15～f20,f22,f23來(lái)說(shuō)，給出的算法的收斂精度和尋優(yōu)能力均優(yōu)于SCA，在f9,f14上，給出的算法的效果略差于SCA，在f8,f21上，給出的算法取得了較好的平均結(jié)果，但SCA的標(biāo)準(zhǔn)差較小. 對(duì)于絕大部分函數(shù)來(lái)說(shuō)，GSCA在收斂能力和穩(wěn)定性方面，都優(yōu)于SCA.

算法對(duì)兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果如表3所示，包括最好結(jié)果、最差結(jié)果、平均結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差. 從表3的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，GSCA很容易求解第一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，取得了較好的最好結(jié)果、最差結(jié)果、平均結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差，對(duì)第二個(gè)實(shí)際問(wèn)題，GSCA取得了較好的最好結(jié)果、最差結(jié)果、平均結(jié)果.

表3 實(shí)際問(wèn)題優(yōu)化結(jié)果比較Tab.3 Comparison of optimization results for practical problems

這里僅列出部分測(cè)試函數(shù)的收斂曲線. 從圖1～4可以看出，相比于SCA，改進(jìn)算法能夠增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力，在收斂精度方面有很大程度的提高，充分說(shuō)明新的群體更新方式的有效性.

圖1 函數(shù)f7 進(jìn)化曲線Fig.1 Evolution curves of function f7

圖2 函數(shù)f11 進(jìn)化曲線Fig.2 Evolution curves of function f11

圖3 函數(shù)f14 進(jìn)化曲線Fig.3 Evolution curves of function f14

圖4 函數(shù)f20 進(jìn)化曲線Fig.4 Evolution curves of function f20

GSCA由于采用了混合蛙跳算法中分群的思想，共生生物搜索算法的“共棲”思想及算法自身最優(yōu)信息，在一定程度上改善了對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的搜索能力，其收斂精度高，穩(wěn)定性較好，提高了算法的尋優(yōu)效率.

4 結(jié)語(yǔ)

正弦余弦算法是一種新的隨機(jī)優(yōu)化算法，利用混合蛙跳算法、共生生物搜索算法及算法自身最優(yōu)信息對(duì)正弦余弦算法做了改進(jìn)，使算法在具有良好收斂性的同時(shí)，有效地改善了算法的搜索能力. 對(duì)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題的仿真結(jié)果表明GSCA提高了算法的搜索性能，能有效避免早熟收斂，而且算法的穩(wěn)定性好.下一步將研究如何進(jìn)一步提高算法在求解多模函數(shù)的尋優(yōu)能力以及用本算法處理實(shí)際問(wèn)題.