取對(duì)數(shù)與去對(duì)數(shù)符號(hào)顯威力

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

所謂取對(duì)數(shù)就是把不含對(duì)數(shù)符號(hào)的等式轉(zhuǎn)化為含有對(duì)數(shù)符號(hào)的等式，即設(shè)x、y、a均為正數(shù)，且a≠1，若x=y，則logax=logay；所謂去對(duì)數(shù)就是把同底數(shù)的兩個(gè)相等的對(duì)數(shù)式子轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)符號(hào)的等式，即設(shè)x、y、a均為正數(shù)，且a≠1，若logax=logay，則x=y.在化簡(jiǎn)、計(jì)算、求值、證明中，若能巧妙地運(yùn)用取對(duì)數(shù)與去對(duì)數(shù)符號(hào)的方法，則使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.現(xiàn)舉例說(shuō)明.

一、取對(duì)數(shù)

例2 解方程6x+2=2x+3·33x.

二、去對(duì)數(shù)符號(hào)

例3 解方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1.

檢驗(yàn)：x=-2時(shí)，x+1<0，負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)無(wú)意義，所以x=-2不是原方程的根；x=1時(shí)，原方程左邊=lg20-lg2=lg10=1=右邊.

所以x=1是原方程的根.

例4 已知a、b、c是△ABC的三條邊，且方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根，求證：△ABC是直角三角形.

證明因?yàn)榉匠蘹2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有等根，所以△=4-4lg(c2-b2)+8lga-4=0，即lg(c2-b2)=lga2.

所以c2-b2=a2，即a2+b2=c2.

所以△ABC是直角三角形.

三、取對(duì)數(shù)與去對(duì)數(shù)符號(hào)同時(shí)應(yīng)用

例5 設(shè)ax=by=cz，且x-1+y-1=z-1，求證：ab=c.

分析應(yīng)該把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，將x、y、z分離出來(lái).

解根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，原等式可化為

loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)]，所以(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).

整理，得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0.

配方得(xy-3)2+(x-2y)2=0.