水工混凝土邊切槽三點彎數(shù)值模擬研究

吳敏強

(三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002)

0 引 言

巖石的斷裂理論在巖土、水利工程、隧道工程、油田地礦開采等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]，對工程安全與資源開采方面作出了巨大的貢獻。對于巖石的斷裂理論研究，國內(nèi)外許多學者進行了很多研究。如趙子江[3]等利用NSCB試件對石灰?guī)r進行了斷裂韌度的尺度效應(yīng)的研究；何思明[4]等基于斷裂力學對地震下的危險巖體失穩(wěn)崩塌進行了理論研究；王漢軍[5]對巖石定向爆破過程中的裂紋起裂與裂紋擴展進行了試驗研究；彭軍[6]對深部極破碎軟巖巷道掘進后的圍巖斷裂機理進行了研究。從以上研究可以看出，巖石的斷裂并非僅僅是Ⅰ型斷裂，還承受著Ⅰ型與Ⅱ型復(fù)合荷載。因此，開展復(fù)合荷載的研究必然對于巖石斷裂力學理論有一個很大的推進作用。

對于巖石的Ⅰ型、Ⅱ型斷裂的研究，已有研究已經(jīng)取得了很多進展，也有很多新構(gòu)型試件被巖石力學學會推薦使用[7]。如SR(圓短棒試件)、CB(人字形切槽三點彎曲圓棒試件)、CCNBD(人字形切槽巴西圓盤試件)、SCB(穿透直切槽半圓盤彎曲試件)這4種進行Ⅰ型靜態(tài)斷裂韌度測試，但是對Ⅰ型、Ⅱ型復(fù)合型斷裂的理論試驗研究較少，也缺少較為簡單易操作的試件。但任利[8]、孫欣[9]利用水工混凝土邊切槽試件對巖石斷裂的Ⅰ型、Ⅱ型復(fù)合型斷裂進行了研究，可以實現(xiàn)Ⅰ型與Ⅱ型的轉(zhuǎn)變。

本文根據(jù)最大拉應(yīng)力準則(MTS)，利用最大拉應(yīng)力準則及M積分對水工混凝土邊切槽試件進行三維數(shù)值模擬，模擬不同角度預(yù)制裂紋的裂紋擴展方式，與室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比，驗證了數(shù)值模擬的正確性。同時，對裂紋前緣的應(yīng)力強度因子以及裂紋擴展長進行定量分析，為巖石的Ⅰ型與Ⅱ型復(fù)合斷裂的試驗與數(shù)值模擬提供一定的參考。

1 計算理論

1.1 M積分

M積分可以方便地計算裂紋尖端的應(yīng)力強度因子，M積分表達式為：

(1)

1.2 最大拉應(yīng)力準則(MTS)

利用最大拉應(yīng)力準則(MTS)對裂紋的擴展進行模擬，最大拉應(yīng)力準則以環(huán)向最大拉應(yīng)力方向作為裂紋的起裂方向，裂紋尖端的應(yīng)力分量在極坐標系下的表達為：

(2)

環(huán)向應(yīng)力可以表示為：

(3)

2 計算方案及計算參數(shù)

根據(jù)文獻[8]中的計算方案，模擬及網(wǎng)格圖見圖1。其中，跨高W=90 mm，S/W=0.5，a/W=0.4，裂紋長度a=36 mm，預(yù)制裂紋與豎直方向的夾角為α。本文按照文獻[8]中的工況進行計算，分別取α=0度(純Ⅰ型)、10度、20度、30度、45.9度(純Ⅱ型)進行分析計算。其中，材料的彈性模量E=5 GPa，泊松比μ=0.25。

圖1 計算模型及模型網(wǎng)格Fig.1 Computational model and model grid

3 計算結(jié)果

3.1 裂紋擴展過程

不同預(yù)制裂紋角度的裂紋擴展過程見圖2。圖3為本文數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗的對比圖。

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬呈現(xiàn)以下規(guī)律：

1) 當預(yù)制裂紋角度為0度時，預(yù)制裂紋呈現(xiàn)純Ⅰ型擴展，裂紋擴展為一個平面。

圖2 裂紋擴展過程數(shù)值模擬Fig.2 Numerical simulation of crack growth process

圖3 本文數(shù)值模擬結(jié)果與文獻[8]的對比Fig.3 Comparison of numerical simulation results in this paper with reference[8]

2) 預(yù)制裂紋的角度越大，Ⅱ型分量也就越大，翼裂紋與原預(yù)制裂紋的夾角也越大。由此可知，Ⅱ型分量與Ⅰ型分量的比值越大，裂紋擴展路徑越彎曲。

3) 將室內(nèi)試驗與本文的數(shù)值模擬進行對比發(fā)現(xiàn)，本文的數(shù)值模擬方法得出的結(jié)果與室內(nèi)試驗相似度極高，說明Franc3d在模擬Ⅰ型、Ⅱ型復(fù)合型斷裂以及裂紋擴展方面有著巨大的優(yōu)勢。

3.2 裂紋尖端的應(yīng)力強度因子分布

為定量化研究水工混凝土邊切槽試件裂紋尖端的應(yīng)力強度因子分布，以正確認識Ⅰ型、Ⅱ型復(fù)合型斷裂規(guī)律，定義在荷載P作用下的Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強度因子分別為：

(4)

(5)

式中YⅠ與YⅡ分別為Ⅰ型、Ⅱ型無量綱化應(yīng)力強度因子，與裂紋長度、跨高、預(yù)制裂紋角度有關(guān)，定義裂紋前緣一周的距離為1，繪制不同工況下的Ⅰ型、Ⅱ型無量綱化應(yīng)力強度因子隨相對距離的變化，見圖4。

圖4 無量綱化應(yīng)力強度因子Fig.4 Dimensionless stress intensity factor

由圖4可見，對于Ⅰ型應(yīng)力強度因子來說，裂紋中部的應(yīng)力強度因子大小大于靠近試件邊緣，這與Bazant 和 Estenssoro的研究一致[10-11]，預(yù)制裂紋角度越大，Ⅰ型應(yīng)力強度因子越小。值得注意的是，當預(yù)制裂紋角度為45.9度時，Ⅰ型應(yīng)力強度因子幾乎為0，而Ⅱ型應(yīng)力強度因子不為0，此時試件處于純Ⅱ型受載。

對于Ⅱ型應(yīng)力強度因子來說，預(yù)制裂紋角度越大，Ⅱ型應(yīng)力強度因子的絕對值先增大后減小。值得注意的是，當預(yù)制裂紋傾角為0度時，Ⅱ型應(yīng)力強度因子為0，而Ⅰ型應(yīng)力強度因子不為0，且為最大，此時為純Ⅰ型加載；而Ⅱ型應(yīng)力強度因子絕對值最大為傾角30度時，但是Ⅰ型應(yīng)力強度因子則不為0，可見純Ⅱ型應(yīng)力強度因子并不是Ⅱ型應(yīng)力強度因子絕對值最大的時候。

3.3 裂紋尖端的擴展長度

為探究裂紋尖端的擴展速度，即每步裂紋擴展長度的變化，取計算結(jié)果的前9步，每步擴展長度設(shè)置為1 mm，對不同預(yù)制裂紋角度的裂紋前緣中點的裂紋擴展長度進行了匯總，結(jié)果見圖5。

圖5 裂紋尖端擴展長度隨擴展步的變化Fig.5 Variation of crack tip propagation length with propagation step

由圖5可見，裂紋前緣的擴展長度隨擴展步呈現(xiàn)線性增大的趨勢，表明在前期擴展過程中呈現(xiàn)勻速擴展。對比不同角度的裂紋擴展規(guī)律，預(yù)制裂紋傾角越大，相同計算步內(nèi)裂紋的擴展長度越短，表明Ⅱ型分量越大，裂紋的擴展速率越慢，而純Ⅰ型的裂紋擴展的速率最快。

4 結(jié) 論

1) 利用Franc3d軟件，根據(jù)最大拉應(yīng)力準則(MTS)對不同預(yù)制裂紋傾角的水工混凝土邊切槽試件進行了數(shù)值模擬，將試件的裂紋擴展形態(tài)與室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比，驗證了數(shù)值模擬的準確性，表明Franc3d軟件在巖石裂紋擴展中的優(yōu)越性。

2) 預(yù)制裂紋的角度越大，Ⅱ型分量也就越大，翼裂紋與原預(yù)制裂紋的夾角也越大。

3) 應(yīng)力強度因子呈現(xiàn)預(yù)制裂紋中間數(shù)值較大而靠近試件表面較小的規(guī)律，預(yù)制裂紋傾角越大，Ⅰ型應(yīng)力強度因子越大，而Ⅱ型應(yīng)力強度因子呈現(xiàn)先增大后減小的規(guī)律。

4) 裂紋前緣的擴展長度隨擴展步呈現(xiàn)線性增大的趨勢，Ⅱ型分量越大，裂紋的擴展速率越慢，而純Ⅰ型的裂紋擴展的速率最快。