李政 楊龍才 周新 趙磊 金浩

（1.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；3.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081）

為降低城市軌道交通環(huán)境振動(dòng)給居民生活、古建筑和精密儀器等帶來的影響，往往采取使用減振扣件、減振軌道等措施［1］。調(diào)頻式鋼軌阻尼器是一種應(yīng)用于振源處的軌道減振降噪措施，能夠顯著增加鋼軌阻尼，達(dá)到減振降噪目的，目前被廣泛應(yīng)用。

Thompson［2］通 過 現(xiàn) 場(chǎng) 測(cè) 試 發(fā) 現(xiàn) ，鋼 軌 的 一 階Pinned?pinned（PP）共振是引起鋼軌輻射噪聲和鋼軌波磨的主要原因，可采用鋼軌阻尼器控制鋼軌的一階PP共振。Maes等［3］研究發(fā)現(xiàn)雙調(diào)諧軌道阻尼器能夠加強(qiáng)PP共振頻率范圍內(nèi)的衰減率。通過研究總結(jié)鋼軌振動(dòng)特性，Croft等［4］研發(fā)出調(diào)頻式鋼軌阻尼器（Tuned Rail Damper，TRD）。此后，各種TRD被應(yīng)用于軌道結(jié)構(gòu)的減振降噪中。

文獻(xiàn)［5］通過參數(shù)分析研究了TRD的質(zhì)量、調(diào)諧頻率、列車運(yùn)行速度等參數(shù)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)［6］通過有限元計(jì)算和理論推導(dǎo)分析TRD對(duì)鋼軌振動(dòng)的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)TRD相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)，其一階彎曲共振可能會(huì)影響軌道的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)［7］發(fā)現(xiàn)TRD的剛體運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致軌道振動(dòng)的能量耗散，因此彈簧質(zhì)量模型能夠滿足分析要求。文獻(xiàn)［8］基于傅里葉變換方法，研究了軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性受鋼軌阻尼器參數(shù)的影響。

文獻(xiàn)［9］通過試驗(yàn)對(duì)約束型阻尼鋼軌的振動(dòng)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)安裝約束型阻尼器后鋼軌高頻范圍內(nèi)的振動(dòng)衰減率明顯大于未安裝約束型阻尼器的振動(dòng)衰減率。文獻(xiàn)［10］利用室內(nèi)消聲測(cè)試方法對(duì)安裝有迷宮式約束阻尼鋼軌的振動(dòng)和噪聲特性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［11］對(duì)安裝TRD的鋼軌振動(dòng)衰減率進(jìn)行了測(cè)試，認(rèn)為TRD大大提高了鋼軌特定頻段內(nèi)的振動(dòng)衰減率。

既有TRD對(duì)振動(dòng)衰減率影響的研究主要集中在TRD參數(shù)選取方面，而關(guān)于TRD安裝位置對(duì)振動(dòng)衰減率影響的研究較少。本文基于譜元法，建立計(jì)算模型，結(jié)合譜傳遞矩陣得出鋼軌振動(dòng)衰減率，研究調(diào)頻式鋼軌阻尼器安裝位置對(duì)鋼軌振動(dòng)衰減率的影響。

1 計(jì)算方法

1.1 簡(jiǎn)化模型

鋼軌用Timoshenko梁模擬，扣件視為彈簧-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)［12］，TRD被簡(jiǎn)化為懸掛在鋼軌單元節(jié)點(diǎn)處的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，計(jì)算模型見圖1。其中：Ku，Kd分別為軌下墊板、減振器的剛度，kN/mm；Cu，Cd分別為軌下墊板、減振器的阻尼；ms為鐵墊板質(zhì)量，kg；K1，K2，K3為阻尼器剛度，kN/mm；m1，m2為阻尼器質(zhì)量，kg。

圖1 計(jì)算模型

1.2 譜傳遞矩陣

材料均勻一致的等截面自由振動(dòng)的Timoshenko梁運(yùn)動(dòng)方程為

式中：v為梁橫向位移，m；φ為梁截面轉(zhuǎn)角，rad；E為楊氏彈性模量，GPa；I為截面慣性矩，m4；G為剪切模量，GPa；A為梁橫截面面積，m2；ρ為梁密度，kg/m3；κ為剪切矯正因子，無量綱。

式（1）的解寫成譜分量形式為

式中：N為時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)；ωn為圓頻率；t為時(shí)間。

將式（2）代入式（1），得

式（3）的一般解為

式中：v0，φ0為系數(shù)；k(ωn)為波數(shù)。

為方便表達(dá)，用k指代k(ωn)，用ω指代ωn。

將式（4）代入式（3），可得Timoshenko梁自由振動(dòng)時(shí)的特征值問題，即

令式（5）中矩陣的行列式等于0，得頻散關(guān)系

解式（6）可得波數(shù)k的4個(gè)解

由式（5）可得v0和φ0幅值比

綜上，式（3）的解為

式中：B1，B2，B3，B4為待定系數(shù)項(xiàng)；kt=k1=-k2，含 kt的項(xiàng)表示往右傳播的波；ke=k3=-k4，含ke的項(xiàng)表示往左傳播的波。

根據(jù)譜元法，將相鄰軌枕間的鋼軌劃分為1個(gè)Timoshenko梁?jiǎn)卧?，梁?jiǎn)卧L(zhǎng)為P，鋼軌梁兩端軌枕節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于梁?jiǎn)卧倪吔纭ＷV節(jié)點(diǎn)位移向量和荷載向量分別為

對(duì)于自由振動(dòng)的Timoshenko梁?jiǎn)卧?，梁?nèi)部橫向剪切力V和彎矩M表達(dá)式分別為V= κGA(?v/?x- φ)，M=EI?φ/?x。

綜上，譜元法鋼軌單元的節(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力的關(guān)系為

式中：D（ω）為譜元法鋼軌單元的譜剛度矩陣；d為譜單元節(jié)點(diǎn)的廣義位移向量；f（ω）為廣義力向量。

為方便推導(dǎo)，將梁?jiǎn)卧乃泄?jié)點(diǎn)自由度分成3部分：左端（L）、內(nèi)部（Z）和右端（R）。下文中下標(biāo)中的L，R分別代表左端、右端。

譜剛度矩陣D（ω）可以表示為

由于梁?jiǎn)卧獌?nèi)部自由度不受外力，故f（Z）=0。

式中：Ti1為第i個(gè)元胞的譜傳遞矩陣；，分別為第i個(gè)元胞中鋼軌左、右兩邊的狀態(tài)向量。

綜上，可得鋼軌單元的譜傳遞矩陣為

利用上述關(guān)系，可以得到鋼軌元胞模型左右兩端狀態(tài)向量的傳遞矩陣為

考慮到TRD的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)特性可用附加動(dòng)剛度來描述，TRD單元對(duì)鋼軌梁的附加動(dòng)剛度Dr表達(dá)式為

考慮附加質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)僅與鋼軌單元的垂向位移自由度耦合，所以其譜單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

此時(shí)，鋼軌單元的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為

在譜元法中，軌下支承單元的譜傳遞矩陣的推導(dǎo)方法與鋼軌單元譜傳遞矩陣的推導(dǎo)方法類似。

1.3 振動(dòng)衰減率計(jì)算方法

作為鋼軌的動(dòng)態(tài)參數(shù)，振動(dòng)衰減率指鋼軌振動(dòng)沿鋼軌前進(jìn)方向能量（振幅）傳遞的變化率，單位為dB/m。如果在某一頻率范圍軌道衰減率較小，表示此頻率范圍內(nèi)軌道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)阻尼較低，鋼軌振動(dòng)不能得到有效抑制。

由BLOCH定理，把式（16）轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)矩陣特征值問題，即

式中：I為2階單位矩陣；kx為一維BLOCH波矢。

對(duì)于圖1所示的懸掛有TRD系統(tǒng)的軌道結(jié)構(gòu)，T的表達(dá)式為

式中：TF為軌下支承的譜傳遞矩陣；TR1，TR2分別為TRD安裝在右、左節(jié)點(diǎn)的鋼軌單元譜傳遞矩陣。

對(duì)復(fù)波數(shù)k=kr+iki（ki為負(fù)數(shù)）的一個(gè)單波，每傳播1 m，振幅減少exp（ki），衰減率可表示為Δ=-20lg[exp(ki)]=-8.686ki，即衰減率為波矢虛部的-8.686倍。因此求得波矢kx與頻率ω的關(guān)系后，可通過Δ=-8.686Im(kx)求得鋼軌振動(dòng)衰減率。

本模型中，BLOCH波矢的解總以±kx的形式成對(duì)出現(xiàn)，分別反映同一種波沿相反方向的傳播特性。

2 TRD對(duì)振動(dòng)衰減率的影響

計(jì)算模型中各部件振動(dòng)衰減率參數(shù)見表1。

表1 振動(dòng)衰減率參數(shù)

計(jì)算未安裝TRD時(shí)振動(dòng)衰減率，結(jié)果見圖2?？芍壍澜Y(jié)構(gòu)縱向存在2種形式的波。一種波在全頻段都有較高的衰減率，只有在83，450 Hz附近小范圍內(nèi)衰減率低于10 dB/m，說明這種波很難沿著軌道結(jié)構(gòu)縱向傳遞，稱之為衰減波；相反，另一種波只在某些頻段維持較高的衰減率，其余頻段軌道衰減率接近0，稱之為傳播波。鋼軌振動(dòng)特性主要由傳播波決定。在研究鋼軌振動(dòng)特性時(shí)，只需要考慮傳播波的衰減率。

圖2 未安裝TRD時(shí)的振動(dòng)衰減率

分別計(jì)算安裝TRD前后鋼軌的振動(dòng)衰減率，其對(duì)比結(jié)果見圖3。

圖3 安裝TRD前后鋼軌振動(dòng)衰減率對(duì)比

從圖3可知，TRD對(duì)振動(dòng)衰減率影響很大。未安裝TRD時(shí)，只有0～83 Hz及450 Hz附近衰減率較高。在1 000 Hz（鋼軌的一階PP共振頻率）附近衰減率雖然也出現(xiàn)峰值，但相對(duì)較小，對(duì)鋼軌振動(dòng)的抑制效果不大。彈性波在沿鋼軌縱向傳播的過程中會(huì)在特定頻段出現(xiàn)振動(dòng)衰減率突然增大現(xiàn)象，表示此頻率范圍內(nèi)軌道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)阻尼較高，鋼軌的振動(dòng)得到有效抑制，這些特定的頻率范圍稱為帶隙。

安裝TRD后，軌道結(jié)構(gòu)在保持原有帶隙基本不變的同時(shí)，在300，1 700 Hz附近均出現(xiàn)新的帶隙。在鋼軌一階PP共振頻率附近的帶隙被大大拓寬，相應(yīng)的衰減率峰值也得到提高，說明TRD能夠在自身工作頻率范圍內(nèi)有效抑制鋼軌振動(dòng)。

3 TRD安裝位置偏差對(duì)振動(dòng)衰減率的影響

工程中要求TRD對(duì)稱安裝于鋼軌軌腰兩側(cè)。事實(shí)上TRD的安裝位置會(huì)有一定偏差。為了研究TRD安裝偏差對(duì)振動(dòng)衰減率的影響，分別計(jì)算不同l取值下軌道的振動(dòng)衰減率，見圖4，其中l(wèi)為從鋼軌阻尼器中心到鋼軌跨中距離的2倍。無偏差時(shí)l=0。

圖4 不同l取值下軌道的振動(dòng)衰減率

從圖4（a）可以看出，l=0.001 mm時(shí)，曲線與l=0幾乎重合，說明當(dāng)l取值特別小時(shí)l的取值不會(huì)對(duì)振動(dòng)衰減率產(chǎn)生影響。增大l的取值，當(dāng)l=0.01 mm時(shí)，振動(dòng)衰減率在1 400 Hz附近出現(xiàn)新的帶隙，說明此時(shí)TRD的安裝位置開始對(duì)振動(dòng)衰減率產(chǎn)生影響。

繼續(xù)增大l的取值，從圖4（b）可以看出，隨著l從0.1 mm增大到0.3 mm，新出現(xiàn)的帶隙被不斷拓寬，同時(shí)衰減率峰值也有一定程度增加，但兩側(cè)帶隙變窄。l=0.3 mm時(shí)，新出現(xiàn)的帶隙達(dá)到最寬，而相應(yīng)的兩側(cè)帶隙幾乎消失。

從圖4（c）可以看出，增大l至0.4 mm時(shí)，軌道衰減率出現(xiàn)了與之前相反的變化趨勢(shì)，新出現(xiàn)的帶隙開始變窄，相應(yīng)的兩側(cè)帶隙變寬。l增大至0.4，0.5 mm，新出現(xiàn)的帶隙寬度持續(xù)減小。

從圖4還可以看出，TRD安裝位置發(fā)生變動(dòng)時(shí)，振動(dòng)衰減率僅在500 Hz以上有較大變動(dòng)。

綜上，可以認(rèn)為TRD的安裝位置偏差會(huì)對(duì)振動(dòng)衰減率產(chǎn)生影響，且只體現(xiàn)在500 Hz以上高頻部分，對(duì)于500 Hz以內(nèi)的振動(dòng)衰減率幾乎不會(huì)產(chǎn)生影響。

4 結(jié)論

本文基于譜元法，建立了鋼軌、扣件、調(diào)頻式鋼軌阻尼器（TRD）計(jì)算模型，結(jié)合譜傳遞矩陣，得出鋼軌振動(dòng)衰減率，并對(duì)TRD安裝位置對(duì)鋼軌振動(dòng)衰減率的影響進(jìn)行了分析，結(jié)論如下：

1）TRD能大幅度提高在自身工作頻率附近的振動(dòng)衰減率，合理選擇TRD的參數(shù)能有效控制軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

2）TRD的安裝偏差會(huì)對(duì)振動(dòng)衰減率產(chǎn)生影響，且主要體現(xiàn)在500 Hz以上的高頻部分，對(duì)500 Hz以內(nèi)的振動(dòng)衰減率幾乎不會(huì)產(chǎn)生影響。