趙帥 陳前 姚冰

摘要： 對雙振子局域共振軸縱向振動的帶隙行為進行了研究，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)得到了雙振子局域共振軸縱振能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的解析表達式，對雙振子局域共振軸的帶隙進行了計算。結(jié)果表明在振子總質(zhì)量相同的情形下，雙振子局域共振軸相比于單振子而言能夠拓寬帶隙寬度。此外，針對振子間距比對雙振子局域共振帶隙特性的影響進行了分析。研究發(fā)現(xiàn)：盡管原胞的晶格常數(shù)保持不變，然而振子間距比會對各帶隙的寬度產(chǎn)生影響，帶隙極大寬度發(fā)生條件為振子間距比θ=0.5或θ=1（θ=0）時；在一些情形下，適當?shù)拈g距比可以使得局域共振帶隙之間產(chǎn)生帶隙融合現(xiàn)象，進而形成一個超寬帶隙；對于雙振子局域共振軸，布拉格帶隙邊界頻率不完全取決于晶格常數(shù)，而且還同振子間距比相關(guān)。關(guān)鍵詞： 減振； 聲子晶體； 局域共振； 雙振子； 帶隙

中圖分類號： TB532文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04057007

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.007

引言

聲子晶體作為一種人工合成的周期性復(fù)合材料，這一概念自提出以來就成為眾多研究者的關(guān)注對象[13]。聲子晶體中最引人注目的為其帶隙特性，即彈性波在一定頻段范圍內(nèi)不能傳播，該頻率范圍內(nèi)的頻段也稱為禁帶。這一特性的存在也使得聲子晶體在減振降噪領(lǐng)域受到極大關(guān)注。

長期以來，聲子晶體的研究都基于布拉格散射機理進行的，由于其帶隙頻率主要同晶格常數(shù)以及基體的波數(shù)有關(guān)，若要獲得低頻帶隙，則需要聲子晶體的結(jié)構(gòu)尺寸龐大，這就使得聲子晶體在低頻范圍內(nèi)的減振降噪受到一定限制。劉正猷等于2000年提出的局域共振帶隙機理[3]，則為聲子晶體在低頻的應(yīng)用打開新的方向。他們構(gòu)造了三維聲子晶體，其原胞是由包裹著鉛的橡膠球放入環(huán)氧樹脂基體中組成的，進而形成了局域共振帶隙。通過試驗表明該局域共振帶隙頻率能夠低于同樣尺寸下布拉格散射帶隙頻率兩個數(shù)量級，進而打破了布拉格散射的限制。

對于局域共振聲子晶體的構(gòu)造一般是通過在基體材料上布置一系列周期振子的方式，這一方法也已拓展到的工程結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域，例如桿、梁、板等工程結(jié)構(gòu)[412]。通過在這樣結(jié)構(gòu)上安置一系列局域振子能夠使得結(jié)構(gòu)獲得低頻局域共振帶隙。然而，一直以來，對于局域共振型聲子晶體研究基本上都是針對原胞中僅含單個振子的情形進行的，而對于晶格中存在雙振子的局域共振聲子晶體的帶隙現(xiàn)象則受到較少關(guān)注。軸類結(jié)構(gòu)作為工程中常用的功率傳動構(gòu)件，廣泛應(yīng)用于船舶、車輛、航空等領(lǐng)域，所以對于軸類構(gòu)件的減振降噪也成為眾多研究者的關(guān)注目標之一。其中軸系的縱向振動作為動力工程中常見現(xiàn)象廣泛地存在于旋轉(zhuǎn)軸系中，并對軸的壽命、穩(wěn)定性以及機器運轉(zhuǎn)的可靠性等產(chǎn)生不良的影響，因此軸系的縱向振動控制問題得到廣泛的重視，故雙振子局域共振聲子晶體在軸系縱振控制方面的應(yīng)用研究具有較大的工程價值和一定的理論意義。

本文結(jié)合傳遞矩陣法和Bloch定理推導(dǎo)了無限周期結(jié)構(gòu)下雙振子局域共振軸縱向振動能帶結(jié)構(gòu)的解析表達式，分析了雙振子局域共振軸的帶隙特性，并將其同單振子局域共振軸進行了比較。最后，針對振子間距比對雙振子局域共振軸的帶隙特性的影響進行了分析。

1雙振子局域共振軸建模方法〖2〗1.1無限周期結(jié)構(gòu)雙振子局域共振軸圖1（a）為具有無限周期結(jié)構(gòu)的雙振子局域共振軸，圖1（b）所示為雙振子局域共振軸的周期單元，稱作原胞。雙振子局域共振軸由無限長度的均勻質(zhì)量的等截面軸和并聯(lián)在上面的振子單元組成，其中軸的截面積為A，單個周期長度（晶格常數(shù)）為L。振子1位于原胞的最左端，其由質(zhì)量單元m1和剛度單元k1組成，振子2與振子1的間距為L1，其由質(zhì)量單元m2和剛度單元k2組成。對于一維雙振子局域共振型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)，可以先將包含雙振子的原胞結(jié)構(gòu)分離為2個單振子原胞結(jié)構(gòu)單獨考慮，再結(jié)合接觸界面的連續(xù)條件得到整個原胞的狀態(tài)矢量關(guān)系，并引入周期邊界條件，進而獲得雙振子的局域共振帶隙的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系。

圖1雙振子局域共振軸示意圖

Fig.1Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators

第4期趙帥，等： 間距比對雙振子局域共振軸縱振帶隙的影響振 動 工 程 學(xué) 報第30卷先考慮附加單個振子的軸單元，如圖2所示。軸的截面積為A，長度為L。振子由質(zhì)量單元m和剛度單元k組成。對于不含有振子的軸單元，一般可通過求解單元兩端狀態(tài)向量的關(guān)系得到軸單元的傳遞矩陣。而對于一端含有單個振子的軸單元，可以通過將振子對軸的影響效果等效為作用在軸上的外力，進而可以推導(dǎo)出并聯(lián)單振子軸單元的等效傳遞矩陣關(guān)系，從而可以簡化后續(xù)的局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的計算。

圖2附加單振子軸單元的狀態(tài)矢量

Fig.2State vectors of a LR shaft with single array of resonators

對于不含有局域振子的軸的縱向自由振動，設(shè)ux（x）為x處的縱向位移，其振動微分方程為E2ux（x，t）x2=ρ2ux（x，t）t2（1）式中ρ，E分別為軸的密度和楊氏模量。軸的縱向質(zhì)點振動位移可以表示為ux（x，t）=Ux（x）·e-iωt，其中ω為角頻率，Ux（x）為軸的縱波質(zhì)點縱向振動位移幅值。Ux（x）可以表示為Ux（x）=Psin（βx）+Qcos（βx）（2）式中β為軸的縱波波數(shù)，β=ω/c，c=E/ρ。

當軸單元中附加振子后，軸產(chǎn)生縱向振動時，振子質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力會傳遞給軸，該作用反力可以表示成f=DXA（3）式中D=-mω2kk-mω2為振子的動剛度，反映了單位基礎(chǔ)簡諧位移引起的對接力。m和k分別為振子的質(zhì)量和剛度；XA為對接點的縱向位移。

對于圖2所示的軸單元，定義[X，N]T為軸的狀態(tài)矢量，式中X，N分別為位移和力。則軸單元最右端（即x=L處）的狀態(tài)矢量可表示為

Xi，i+1=[Psin（βL）+Qcos（βL）]e-iωt（4a）

Ni，i+1=EAβ[Pcos（βL）-Qsin（βL）]e-iωt（4b）

同理，考慮到振子在對接點處的作用反力，軸單元最左端（即x=0處）的狀態(tài)矢量表達式可寫為Xi-1，i=Qe-iωt（5a）

Ni-1，i=EAβ·Pe-iωt-D·Xi-1，i（5b）經(jīng)過推導(dǎo)變換可以得到P=（Ni-1，i+D·Qe-iωt）/（EAβ·e-iωt）（6a）

Q=Xi-1，i/e-iωt（6b）將式（6）代入式（4）得到軸兩端的狀態(tài)向量的關(guān)系式

Xi，i+1=Ni-1，i+D·Xi-1，iEAβsin（βL）+

Xi-1，icos（βL）（7a）

Ni，i+1=Ni-1，icos（βL）+D·Xi-1，icos（βL）-

EAβXi-1，isin（βL）（7b）

將式（7）寫成矩陣形式，可得到

X

Ni，i+1=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβLX

Ni-1，i=

HX

Ni-1，i（8）

式中H即為含有單振子軸單元的等效傳遞矩陣，表示為

H=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβL（9）

至此，得到了單振子軸單元兩端的狀態(tài)矢量關(guān)系，所以對于雙振子局域共振軸的原胞而言，通過將周期單元分解成2個單振子軸單元，并根據(jù)接合面的連續(xù)關(guān)系，可得雙振子原胞單元的傳遞矩陣可以為

T=H2H1=cosβL2+D2sinβL2EAβsinβL2EAβ

-EAβsinβL2+D2cosβL2cosβL2·

cosβL1+D1sinβL1EAβsinβL1EAβ

-EAβsinβL1+D1cosβL1cosβL1=t11t12

t21t22（10）

式中D1=-m1ω2k1k1-m1ω2和D2=-m2ω2k2k2-m2ω2為振子1和振子2的動剛度。

t11=cos（β（L1+L2））+D1sin（β（L1+L2））EAβ+

D2cos（βL1）sin（βL2）EAβ+D1D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t12=sin（β（L1+L2））EAβ+D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t21=-EAβsin（β（L1+L2））+D1cos（β（L1+L2））+D2cos（βL1）cos（βL2）+D1D2EAβsin（βL1）cos（βL2）；

t22=cos（β（L1+L2））+D2sin（βL2）cos（βL2）EAβ；

t11·t22-t12·t21=1。

對于雙振子局域共振軸而言，其相鄰原胞的狀態(tài)矢量關(guān)系可以表示為X

Ni，i+1=TX

Ni-1，i（11）由于軸在x方向為無限周期結(jié)構(gòu)，根據(jù)Bloch定理，可以得到X

Ni，i+1=eμX

Ni-1，i（12）式中μ稱為波的傳播系數(shù)，μ的實部定義為衰減系數(shù)，衰減系數(shù)表征波的幅值衰減程度；μ的虛部定義為相位系數(shù)，相位系數(shù)表征波在相鄰周期單元運動的相位差。

結(jié)合式（11）和（12），得到（T-eμ·I）X

Ni-1，i=0（13）根據(jù)上式可知，eμ為矩陣T的特征值。故將矩陣T中的向量代入式（13）得到cosh（μ）=t11+t222（14）進而得到局域共振軸的能帶關(guān)系為

cosh（μ）=cosβL+D12·sinβLEAβ+D22·sinβLEAβ+

D1D22·sinβL1sinβL2〖〗（EAβ）2（15）

1.2有限周期結(jié)構(gòu)雙振子局域共振軸

由于具有無限周期的局域共振軸是一種理想模型，所以有必要研究在工程中可實際存在的有限周期結(jié)構(gòu)局域共振軸的振動特性。對于有限個周期的局域共振型軸，可以采用振動傳輸特性來分析軸的彈性波的傳播特性。

對于N個周期的雙振子局域共振軸而言，軸左右兩端的狀態(tài)矢量有如下關(guān)系XR

NR=TNXL

NL=T11T12

T21T22XL

NL（16）假定僅軸的左端受到一簡諧力作用，根據(jù)傳遞矩陣可以計算得到軸兩端的位移傳遞率為T=XR/XL=T11-T12T21/T22（17）2帶隙計算

采用上節(jié)理論方法對雙振子局域共振軸的帶隙進行計算，其中原胞晶格常數(shù)為L=0.2 m，雙振子間距L1=0.1 m。軸的截面積為A=5×10-5 m2，其彈性模量和密度分別為E=1.5×1010 Pa和ρ=1200 kg·m-3。振子1和振子2的質(zhì)量和剛度參數(shù)分別選取為：m1=0.047915 kg，k1=1×107 N/m，m2=0.0112765 kg，k2=1×107 N/m。根據(jù)式（15）可以計算得到雙振子局域共振軸的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系。

圖3表示雙振子局域共振軸的能帶結(jié)構(gòu)曲線圖，圖中呈現(xiàn)了衰減系數(shù)和相位系數(shù)，從圖中可以看到雙振子局域共振軸在1768～3025 Hz和3559～7176 Hz頻段范圍里存在2個帶隙，各帶隙的衰減系數(shù)最大值頻率對應(yīng)著振子1和振子2的固有頻率。同時，對于不同周期個數(shù)下有限長度的雙振子局域共振軸的振動傳輸特性也進行了計算，結(jié)果如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)，盡管周期數(shù)不相同，但衰減的頻段范圍均是一致的，而且與無限周期計算的帶隙范圍吻合較好。同時可以觀察到，隨著周期數(shù)的增加，帶隙頻率范圍內(nèi)的衰減程度也會增加。

圖3無限周期局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)圖

Fig.3Band structure of a LR shaft with double arrays of resonatorst

圖4不同周期個數(shù)下雙振子局域共振軸振動傳輸特性

Fig.4Vibration transmittances of finite LR shaft with different periods

對于實際工程中的雙振子局域共振型軸，可以結(jié)合前述的雙振子力學(xué)模型對局域共振軸的原胞結(jié)構(gòu)進行一定的簡化，進而可以根據(jù)理論計算得到局域共振型的傳輸特性。

為了驗證本文局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)的理論計算結(jié)果，本文設(shè)計了一種雙振子局域共振型軸，并且采用了有限元軟件對具有8個周期單元的雙振子局域共振軸進行仿真建模。其中振子由圓柱形金屬塊和柔軟的橡膠材料組成，如圖5所示，金屬塊提供振子所需的質(zhì)量，橡膠材料則提供剛度。振子1和振子2的徑向尺寸相同，即彈性層的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，金屬層的外半徑則為R3，而寬度分別為h1和h2。振子1和振子2的最外層金屬材料分別為鉛和鋁，振子材料的具體參數(shù)如表1所示，其中ρ，E和G分別表示密度、彈性模量和剪切模量。

當縱向波在軸內(nèi)傳播時，金屬塊會產(chǎn)生軸向位移，圓柱形橡膠層將產(chǎn)生剪切變形，此時振子可以簡化為一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，橡膠層的縱向剛度可以近似表示為[13]k=2πGh/（lnR2-lnR1）（18）結(jié)合式（18）和本節(jié)理論計算采用的振子參數(shù)，可以設(shè)計得到振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表2所示。采用上述結(jié)構(gòu)參數(shù)進行有限元建模，仿真結(jié)果如圖6所示，圖中可以發(fā)現(xiàn)理論計算結(jié)果同軟件有限元仿真結(jié)果吻合良好，從而驗證了上述理論方法的正確性。圖6中還對雙振子局域共振軸和單振子局域共振軸的傳輸特性進行了比較，其中雙振子的總質(zhì)量和單振子的質(zhì)量保持相同，從圖中可以看到雙振子局域共振軸相比單振子局域共振軸而言，擁有更寬的帶隙。

圖5雙振子局域共振軸結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.5Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators表1材料參數(shù)

Tab.1Parameters of materials

材料ρ/（kg·m-3）E/PaG/Pa有機玻璃12001.5×10105.68×109鉛116004.08×10101.49×1010鋁27307.76×10102.87×1010橡膠13006.0×1072.0×107

表2振子結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.2Structures parameters of resonators

R1/mR2/mR3/mh1/mh2/m0.0040.005140.00960.020.02

圖6不同振子個數(shù)下局域共振軸的振動傳輸特性

Fig.6Vibration transmittances of finite LR shaft with different arrays3帶隙特性研究

對于單振子局域共振型聲子晶體而言，當晶格常數(shù)固定時，振子在原胞中的位置對局域共振帶隙不會產(chǎn)生影響。而對于雙振子局域共振軸而言，通過式（15）可知，盡管晶格常數(shù)保持不變，然而其能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系函數(shù)變量中含有振子1和振子2的間距，所以有必要研究振子間的距離對帶隙特性的影響。研究時，可將式（15）變換為

cosh（μ）=cosβL+D12EAβsinβL+D22EAβsinβL+

D1D22（EAβ）2sinθβLsin（（1-θ）βL）（19）

式中θ=L1/L為振子間距比，0≤θ≤1。

圖7雙振子局域共振軸帶隙三維曲面圖（k1=2×107 N/m）

Fig.73D surface view of the bandgap behavior of a LR shaft （k1=2×107 N/m）

在研究振子間距比這一無量綱參數(shù)對帶隙特性的影響時，軸的幾何參數(shù)和材料參數(shù)同前述理論計算保持一致。圖7所示為根據(jù)式（19）所繪制的雙振子局域共振軸帶隙衰減系數(shù)的三維曲面圖，其中振子1的質(zhì)量和剛度參數(shù)分別為m1=0.096 kg，k1=2×107 N/m，而振子2的質(zhì)量和剛度參數(shù)為m2=0.024 kg，k2=2×107 N/m。為了更好地觀察帶隙特性，可以將三維曲面圖在fθ平面（0≤f≤20000 Hz，0≤θ≤1）進行投影，進而得到了二維平面投影圖，其中圖中的顏色區(qū)域是由該衰減的衰減系數(shù)所確定的。該二維圖中可以清楚地呈現(xiàn)振子間距比對帶隙特性行為的影響，包括帶隙位置、帶隙寬度以及衰減程度等。圖8表示的為不同的振子1剛度參數(shù)下振子位置對帶隙特性的影響，其中振子1和振子2的其他參數(shù)同圖7所用一致。

圖8振子間距比對局域共振軸帶隙特性的影響

Fig.8Effects of the spacing ration on the bandgap behavior of a LR shaft

從圖8（a），（b）中可以觀察到在所示的頻率區(qū)域內(nèi)存在兩種類型的帶隙，即局域共振型帶隙和布拉格散射型帶隙?？梢钥吹礁鲙兜膶挾染鶗S著振子間距的變化而改變，并且注意到：對于第一個帶隙而言，帶隙寬度隨著振子間距比的增加逐漸減??；而對于第二帶隙而言，帶隙寬度會隨著振子間距比增加逐漸變大；當振子的間距比為θ=0.5，即振子2位于原胞的中間位置時，此第一帶隙的寬度最小，而第二帶隙的寬度最大；對于第三帶隙，其現(xiàn)象與第一帶隙類似。上述現(xiàn)象表明，對于雙振子局域共振軸而言，盡管原胞晶格常數(shù)固定不變，但原胞中振子的分布會對帶隙的寬度產(chǎn)生影響，通過選擇適當?shù)拈g距比可以獲得更寬的帶隙。

通過圖8（a），（b）還可以看到，第一帶隙和第二帶隙之間存在著一個通帶，通帶的寬度也會隨著振子間距比的變化產(chǎn)生變化。值得關(guān)注的是，在圖8（b）中，如果振子間距比選擇適當，帶隙中會出現(xiàn)一個有趣現(xiàn)象。對于圖8（b），其振子1的剛度為k1=3.24×107 N/m，可以發(fā)現(xiàn)當振子間距比θ=0.5時，此時第一帶隙和第二帶隙之間的通帶寬度變?yōu)榱?，進而第一和第二帶隙融合在一起，形成了一個更寬的帶隙。通過進一步觀察還可以發(fā)現(xiàn)，在新形成的融合帶隙中，原本由振子1存在所形成的尖銳衰減峰消失，使得在新的帶隙范圍內(nèi)僅出現(xiàn)振子2的衰減峰值。為了更清晰地觀察該現(xiàn)象，對具有8個周期單元的有限局域共振軸的傳輸特性進行了計算，結(jié)果如圖9所示，其同無限周期結(jié)構(gòu)的帶隙計算結(jié)果保持一致。值得指出的是，此處觀察到帶隙融合現(xiàn)象不同于局域共振帶隙和布拉格散射帶隙之間的帶隙耦合現(xiàn)象，因為局域共振帶隙和布拉格帶隙之間的耦合現(xiàn)象是在振子固有頻率同布拉格散射帶隙邊界頻率相同的條件下產(chǎn)生的，而注意到該局域共振軸的布拉格散射帶隙的最低頻率帶隙邊界f=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz，高于振子1和振子2的固有頻率。

同時，值得關(guān)注的另一個特征為：對于圖8中的布拉格散射型帶隙而言，并沒有出現(xiàn)一條由布拉格邊界所確定的垂直邊界。換句話說，布拉格帶隙邊界不僅取決于晶格常數(shù)，而且同振子間距比有關(guān)。從圖中可以觀察到，僅在間距比為某些特殊值的情形下，帶隙中才出現(xiàn)布拉格帶隙邊界。如圖8中虛線箭頭所標示的，布拉格帶隙最低頻率的邊界fB1=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz僅存在于間距比為θ=0和θ=1的情形下，而另一布拉格帶隙邊界頻率fB2=c/L=17678 Hz則僅存在于θ=0，θ=0.5以及θ=1的情形下。

圖9有限周期局域共振軸的振動傳輸特性 （k1=

3.24×107 N/m）

Fig.9Vibration transmittances of finite LR shaft （k1=3.24×107 N/m）4結(jié)論

本文針對雙振子局域共振軸的縱向振動帶隙特性進行了研究，采用了傳遞矩陣法得到該聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的解析式，對振子間距比對帶隙特性的影響進行了研究，主要結(jié)論歸納如下：

（1）對于附加多個振子的局域共振型聲子晶體，可以將原胞結(jié)構(gòu)進行分解，通過獲得包含單個振子單元的等效傳遞矩陣，進而再根據(jù)接合面的連續(xù)關(guān)系獲得周期單元的整體傳遞矩陣，從而可以簡化能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)。

（2）理論計算結(jié)果表明雙振子局域共振軸能夠獲得良好的帶隙特性，而且相比較于單振子而言，在振子總質(zhì)量相同的前提下能夠拓寬帶隙的寬度，可應(yīng)用于軸系寬頻減振中。

（3）在晶格常數(shù)固定的情況下，振子間距會對雙振子局域共振軸的各個帶隙的寬度產(chǎn)生影響，通過合理設(shè)計振子間距能夠獲得更寬的帶隙寬度。而且，在一些條件下，局域共振軸能帶結(jié)構(gòu)中存在帶隙融合現(xiàn)象，進而可形成一個寬頻帶的整體帶隙。此外，對于雙振子局域共振軸，盡管晶格常數(shù)保持不變，其布拉格帶隙邊界頻率會隨著振子間距比的改變而變化。這些特點同常見的單振子局域共振聲子晶體有很大的不同，可為聲子晶體的減振應(yīng)用提供更寬廣的空間。

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Effects of spacing ratio on the elastic wave band gaps in longitudinal

vibration of locally resonant shaft with double resonators

ZHAO Shuai， CHEN Qian， YAO Bing

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics

and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The longitudinal vibration band gap property of locally resonant （LR） shaft with double resonators is studied using the transfer matrix method. The band structure of the LR shaft is calculated. It is found that a LR shaft with double resonators can have a broader band gaps than that with single resonator. Furthermore， the effect of the spacing ration on the band gaps is studied. It is shown that the spacing ratio can have an influence on the width of band gap and the width of band gap turns to the maximum only as or θ=0.5 or θ=1（θ=0）. Furthermore， for some LR shafts， a phenomenon of band gap mergence can be observed as the spacing ratio is properly set， giving rise to a superwide gap. In addition， it is found that Bragg scattering gap edge frequencies of LR shaft with double arrays of resonators may not only depend on the lattice constant， but also the spacing ration.Key words： vibration attenuation； phononic crystals； locally resonant； double resonators； band gap作者簡介： 趙帥（1990—），男，博士研究生。電話： 15850513289； Email： szhaodetec@nuaa.edu.cn