楊少鵬，拾 兵，楊立鵬

(1. 山東科技大學(xué) 海洋科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590; 2. 中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100; 3. 青島市董家口經(jīng)濟(jì)區(qū)管委，山東 青島 266400)

量變和質(zhì)變是自然界物體變化和發(fā)展的普遍規(guī)律，而連續(xù)性與不連續(xù)性變化又是物體變化的兩種狀態(tài)，對(duì)于連續(xù)變化現(xiàn)象，牛頓的微積分能給出有效的解釋?zhuān)欢鴮?duì)于物體的不連續(xù)變化狀態(tài)還沒(méi)有十分完善的理論。基于此，突變理論才逐漸開(kāi)始被研究。物體從一種狀態(tài)形式突然地跳躍到另一種完全不同形式的變化，稱(chēng)為突變。最早的突變理論誕生于文獻(xiàn)[1]中，該書(shū)用拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)和穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論研究了自然界中的非連續(xù)性突變，系統(tǒng)地闡述了突變的理論，為日后突變理論的豐富與發(fā)展打下了基礎(chǔ)。近年來(lái)，隨著非線(xiàn)性科學(xué)研究地深入，非線(xiàn)性科學(xué)被應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，并加深了對(duì)已有規(guī)律認(rèn)知和了解，同時(shí)又獲得新的成果。目前，較成熟的初等突變理論主要有7種類(lèi)型，在各學(xué)科中都有涉及[2]。Henley[3]將突變理論應(yīng)用到地殼斷層運(yùn)動(dòng)中，提出了一個(gè)定性的模型。Potiter-Ferry[4]用突變理論對(duì)彈性斷裂力學(xué)和塑性力學(xué)中的失穩(wěn)現(xiàn)象進(jìn)行了研究，得出保守系統(tǒng)只有幾種失穩(wěn)的結(jié)論。Cubitt和Shaw[5]運(yùn)用突變理論解釋了沉積過(guò)程。殷有泉和鄭顧團(tuán)[6]采用尖點(diǎn)突變模型對(duì)斷層帶地震的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究。許強(qiáng)和黃潤(rùn)秋[7]采用突變理論對(duì)動(dòng)力分析模型進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的模型能有效地解釋地震作用下土的震動(dòng)特性。郭火元[8]利用突變理論對(duì)大壩的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，建立了大壩的穩(wěn)定態(tài)模型。張業(yè)民和宋長(zhǎng)清[9]運(yùn)用尖頂突變理論建立了軟黏土流動(dòng)模型。崔鵬和關(guān)君蔚[10]將尖點(diǎn)突變模型應(yīng)用于泥石流的起動(dòng)研究中，已在泥石流的預(yù)防中取得了實(shí)效。Graf[11]采用尖點(diǎn)突變模型描述了順直、彎曲和分汊三種河型相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程。肖毅等[12]以尖點(diǎn)突變理論為基礎(chǔ)提出了定量判定河型穩(wěn)定性的方法。何文社等[13]根據(jù)突變理論，經(jīng)坐標(biāo)和拓?fù)渥兓?，建立了尖點(diǎn)突變模型，得到了泥沙起動(dòng)的臨界條件方程。楊具瑞等[14]利用突變理論得出了非均勻沙起動(dòng)時(shí)的尖點(diǎn)突變模式，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明尖點(diǎn)突變模式能夠反映非均勻沙的起動(dòng)規(guī)律。楊具瑞等[15]在尖點(diǎn)突變理論的基礎(chǔ)上采用坐標(biāo)變換和拓?fù)渥儞Q推導(dǎo)了推移質(zhì)輸沙強(qiáng)度和水流參數(shù)的關(guān)系式，并用資料進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在中等強(qiáng)度和高強(qiáng)度輸沙時(shí)，關(guān)系式能較好反應(yīng)輸沙規(guī)律，而在低強(qiáng)度輸沙時(shí)，關(guān)系式誤差較大，但總體上來(lái)說(shuō)采用尖點(diǎn)突變理論建立的推移質(zhì)輸沙率公式是合理的，基本能反映泥沙的起動(dòng)和輸移規(guī)律。王協(xié)康等[16]根據(jù)泥沙起動(dòng)的力學(xué)規(guī)律，導(dǎo)出了泥沙起動(dòng)條件方程，在此基礎(chǔ)上用尖點(diǎn)突變性質(zhì)對(duì)各種泥沙起動(dòng)現(xiàn)象與機(jī)理做了研究。拾兵等[17]利用尖點(diǎn)突變理論建立了波浪作用下泥沙的起動(dòng)模式，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)資料對(duì)比發(fā)現(xiàn)兩者基本吻合，說(shuō)明了該模式可用于波浪作用下泥沙運(yùn)動(dòng)的研究。劉勇[18]將突變理論運(yùn)用到泥沙起動(dòng)臨界條件中去，對(duì)波浪作用下的泥沙起動(dòng)進(jìn)行了初步探討。綜上可知，尖點(diǎn)突變理論在各領(lǐng)域已取得廣泛應(yīng)用。然而在與泥沙研究關(guān)系較密切的海底管線(xiàn)沖刷領(lǐng)域還未見(jiàn)相關(guān)的研究報(bào)道。通過(guò)前人的研究可知道海底管線(xiàn)沖刷涉及管線(xiàn)、海床、水流共同作用，當(dāng)管線(xiàn)鋪設(shè)在海床后，引起管線(xiàn)附近流場(chǎng)發(fā)生改變，流場(chǎng)的變化反過(guò)來(lái)會(huì)引起泥沙輸移的變化(通常是增強(qiáng))，引起管線(xiàn)局部發(fā)生沖刷，最終產(chǎn)生沖刷坑，日積月累造成懸空管線(xiàn)疲勞破壞；而泥沙輸移強(qiáng)度增強(qiáng)主要是因?yàn)楣芫€(xiàn)鋪設(shè)于沙床后引起管線(xiàn)前后產(chǎn)生壓力差，并且因?yàn)楣芫€(xiàn)的阻水作用，使管線(xiàn)附近的水流流速急劇增大，導(dǎo)致泥沙希爾茲數(shù)大于泥沙起動(dòng)的臨界希爾茲數(shù)，從而引起了泥沙的起動(dòng)。另外泥沙粒徑也是影響泥沙起動(dòng)與否的一個(gè)關(guān)鍵因素，泥沙顆粒越大，泥沙越難起動(dòng)。上述兩者共同作用，最終導(dǎo)致了沖刷坑的產(chǎn)生。因此選取海底管線(xiàn)沖刷達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后的沖刷坑深度與管線(xiàn)管徑的比值(h=y/D)作為狀態(tài)變量，希爾茲數(shù)(φ)和泥沙粒徑的無(wú)量綱參數(shù)(d*=mdm/d0，d0為泥沙起動(dòng)粒徑，dm為泥沙平均粒徑，m為泥沙顆粒之間的密實(shí)系數(shù)，m=0.75-0.65(2+α)，α=d60/d10為泥沙不均勻程度)作為控制變量，以泥沙突變理論為理論基礎(chǔ)，擬探討海底管線(xiàn)附近泥沙運(yùn)動(dòng)的突變關(guān)系。

1 海底管線(xiàn)附近泥沙突變模式的建立

根據(jù)泥沙突變的非線(xiàn)性理論[19]，泥沙起動(dòng)的尖點(diǎn)突變模型如圖1所示。

圖1 泥沙起動(dòng)尖點(diǎn)突變模型Fig. 1 The cusp catastrophe model of the sediment incipient motion

圖1中突變曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x3+xy-z=0

(1)

平面內(nèi)分支曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：

4y3+27z2=0

(2)

將標(biāo)準(zhǔn)式(1)從坐標(biāo)系Q(x,y,z)旋轉(zhuǎn)與平移至坐標(biāo)系O(h,d*,φ)中可得：

(3)

式中：a,b,c為點(diǎn)Q在O(h,d*,φ)坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)值；li,mi,ni(i=1, 2, 3)為原坐標(biāo)對(duì)新坐標(biāo)的方向余弦。

因圖1中h坐標(biāo)軸與x坐標(biāo)軸平行，故方向夾角為0，方向余弦：

l1=cos0°=1

(4)

綜上可得，曲面在坐標(biāo)系O(h,d*,φ)內(nèi)的方程：

f(h,d*,φ)=(h+l2d*+l3φ-a)3+(m1h+m2d*+m3φ-b)(h+l2d*+l3φ-a)-

(n1h+n2d*+n3φ-c)=0

(5)

坐標(biāo)變換附加條件：

(6)

及

(7)

同為右手坐標(biāo)系時(shí)需滿(mǎn)足：

(8)

因曲面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故

f(0,0,0)=0

(9)

將上述邊界條件及坐標(biāo)變化的附加條件代入式(5)，可得：

(10)

其中，

β=arctana

(11)

聯(lián)立式(9)～(11)可得：

a3-a·b-c=0

(12)

將式(10)代入式(5)，可得：

(h-a)3+(cosβ·d*+sinβ·φ-b)(h-a)-(-sinβ·d*+cosβ·φ-c)=0

(13)

將式(11)、(12)代入式(13)，可得：

(h-a)3+a3+h(d*-β′)cosβ-φ(secβ-φ·sinβ)=0

(14)

式中：a為研究區(qū)域h的最小值，當(dāng)泥沙靜止時(shí)，其起動(dòng)狀態(tài)為0，沖刷坑深度為0，故取極限值a=0，β′為泥沙mdm/d0的最小代表值，本文取0.6[20]。將a、β、β′=b/cosβ、β=arctana代入式(14)，可得：

h3+h(d*-0.6)-φ=0

(15)

式(15)即為用尖點(diǎn)突變理論得到的恒定流作用下海底管線(xiàn)沖刷坑深度的預(yù)測(cè)公式。

當(dāng)泥沙粒徑和水流流速確定時(shí)，d*與φ為已知量，式(15)即為一元三次方程。關(guān)于其解可根據(jù)判別式判斷。

令

(16)

當(dāng)Δ>0時(shí)，式(15)只有一個(gè)實(shí)根，且計(jì)算結(jié)果一般為正值，此實(shí)根即為沖刷坑深度值；當(dāng)Δ=0時(shí)，式(15)有三個(gè)實(shí)根，當(dāng)d*-0.6=φ=0時(shí)，式(15)有一個(gè)三零重根，當(dāng)d*-0.6≠φ時(shí)，式(15)至少有兩個(gè)根相等；當(dāng)Δ<0時(shí)，式(15)有三個(gè)不等的實(shí)根。當(dāng)式(15)有兩個(gè)或三個(gè)實(shí)根時(shí)，需根據(jù)實(shí)根的正負(fù)及實(shí)際工況中的條件選擇合適的根作為沖刷坑深度值。

2 模型驗(yàn)證

為了檢驗(yàn)預(yù)測(cè)式(15)的準(zhǔn)確性，采用Yang等[21]、韓艷[22]、趙恩金[23]、Mao[24]等的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。以上四位學(xué)者都通過(guò)物理試驗(yàn)對(duì)單根管線(xiàn)附近的沖刷坑深度進(jìn)行了研究。其中文獻(xiàn)[21-23]都選取了在長(zhǎng)25 m，寬5 m，深0.6 m的環(huán)形水槽中進(jìn)行了試驗(yàn)研究，試驗(yàn)選用了中值粒徑d50=0.3 mm，孔隙率n=0.4的非黏性沙，沙床高度為0.15 m， 長(zhǎng)度為5 m， 試驗(yàn)所用管徑為0.1 m左右，管線(xiàn)固定在沙床中央，選取管徑前方2 m，高0.5D處的流速作為試驗(yàn)所用的行近流速，水流流速在0.2～0.4 m/s范圍內(nèi)， 水溫維持在16°C， 水深為0.4 m。試驗(yàn)過(guò)程中每隔一定時(shí)間對(duì)沖刷坑深度進(jìn)行監(jiān)測(cè)，待沖刷達(dá)到平衡后用精度為0.1 mm的測(cè)針對(duì)沖刷坑深度進(jìn)行測(cè)量。而Mao[24]的試驗(yàn)參數(shù)為：水深H=0.35 m，管徑D=0.1 m，泥沙中值粒徑d50=0.36 mm，水流流速分別為v=0.3 m/s、0.35 m/s、0.4 m/s。根據(jù)以上試驗(yàn)參數(shù)，用式(15)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。計(jì)算過(guò)程中，希爾茲數(shù)φ可采用Chien等[25]的計(jì)算公式：

(17)

式中：τc為切應(yīng)力；ρs，ρ分別為泥沙和水的密度；ds為泥沙平均粒徑，可用d50代替。

切應(yīng)力τc計(jì)算公式：

(18)

式中：v*為摩阻流速，可用Einstein[26]對(duì)數(shù)流速分布公式計(jì)算得到：

(19)

式中：v為水流流速；Ks為床面粗糙度，對(duì)于非均勻沙，Ks常選用一種泥沙粒徑d65、d75或d90代替[25]。分別選取d65、d75、d90對(duì)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)用d65代替Ks時(shí)，結(jié)果誤差最小，因此選用泥沙粒徑d65代替床面粗糙度Ks。x為修正系數(shù)，x=f(Ks/δ)，δ為邊界層厚度，δ=11.6υ/ν*，υ為流速黏性系數(shù)，y為流速測(cè)量點(diǎn)的高度，在此可用0.5D代替。

根據(jù)上述計(jì)算方法，將四位學(xué)者測(cè)得的沖刷坑深度試驗(yàn)值與相同條件下式(15)的計(jì)算值分別列于表1中。對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)值與計(jì)算值較為接近。

為了更易于直觀觀察對(duì)比結(jié)果，將表1中數(shù)據(jù)全部繪于圖2中。圖2中y1，y2分別為由式(15)計(jì)算得到的沖刷坑深度值和四位學(xué)者的試驗(yàn)值。由圖2可知，圖中各點(diǎn)雖未能與對(duì)角線(xiàn)完全重合，但基本分布于對(duì)角線(xiàn)附近，這說(shuō)明理論推導(dǎo)公式式(15)基本能滿(mǎn)足于恒定流作用下海底管線(xiàn)局部沖刷坑深度的預(yù)測(cè)和判斷，進(jìn)而說(shuō)明將泥沙尖點(diǎn)突變理論應(yīng)用到海底管線(xiàn)沖刷中是可行的。

表1 沖刷坑深度試驗(yàn)值與計(jì)算值對(duì)比Tab. 1 Comparison between the experimental data and the calculated value of scour hole depth

圖2 沖刷坑深度計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比圖Fig. 2 Comparison between experimental data and calculated value of scour hole depth

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)尖點(diǎn)突變理論的研究，可將突變理論運(yùn)用到海底管線(xiàn)局部沖刷坑深度的預(yù)測(cè)中，經(jīng)分析得到了恒定流作用下海底管線(xiàn)沖刷坑深度的預(yù)測(cè)公式。將相同試驗(yàn)條件下用預(yù)測(cè)公式計(jì)算的結(jié)果與前人的試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，該預(yù)測(cè)公式基本能滿(mǎn)足恒定流作用下海底管線(xiàn)的沖刷坑深度預(yù)測(cè)與判斷，這為管線(xiàn)沖刷坑深度的預(yù)測(cè)探索了一種新的推算方法。