廖宇嬌 董光炯

摘要：最近的研究表明，玻色一愛因斯坦凝聚體（ Bose-Einstein Condensate，BEC）可作為量子電介質(zhì)材料對(duì)光場(chǎng)產(chǎn)生反作用，實(shí)現(xiàn)光場(chǎng)一物質(zhì)波的協(xié)同操控.然而BEC的色散性質(zhì)還沒有被研究.為此，解析得到了BEC對(duì)大失諧光的一階色散和二階色散的計(jì)算公式.數(shù)值計(jì)算表明，BEC的折射率以及二階色散系數(shù)與紅、藍(lán)失諧的性質(zhì)有關(guān)：在紅失諧時(shí)，折射率大于1，且二階色散是正常色散;在藍(lán)失諧時(shí)，折射率小于1，二階色散為反常色散.二階色散系數(shù)會(huì)隨著失諧量的改變而劇烈變化，當(dāng)失諧量在GHz數(shù)量級(jí)時(shí)，表現(xiàn)為強(qiáng)色散介質(zhì).一階色散和紅、藍(lán)失諧的性質(zhì)關(guān)系不大，隨著失諧量的增加，一階色散減小，相應(yīng)的群速度增加.因此，對(duì)于超短脈沖光，BEC是一種新型的色散介質(zhì).

關(guān)鍵詞：玻色一愛因斯坦凝聚;色散;群速度色散

中圖分類號(hào)：0436.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.201922013

0 引 言

超冷原子氣體在量子仿真[1-4]、精密測(cè)量[5-6]及量子信息[7-8]等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.在這些研究中，激光是對(duì)其進(jìn)行操控的主要手段[9-14].由于超冷氣體的密度通常很低，所以超冷氣體作為一種電介質(zhì)對(duì)大失諧激光的反作用常?？梢院雎?然而，近年來(lái)關(guān)于光與原子玻色一愛因斯坦凝聚相互作用研的究表明，在某些情況下，玻色一愛因斯坦凝聚體的反作用（又稱局域場(chǎng)效應(yīng)）可以產(chǎn)生可觀察的效應(yīng)[15-17].2008年，中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所觀察到大失諧駐波對(duì)玻色一愛因斯坦凝聚體的非對(duì)稱衍射現(xiàn)象，且這個(gè)現(xiàn)象不能被以前的理論所解釋[18]，2011年，Zhu等利用局域場(chǎng)效應(yīng)成功解釋了該非對(duì)稱衍射現(xiàn)象[19]，2013年，他們又進(jìn)一步預(yù)言了該效應(yīng)引起的玻色一愛因斯坦凝聚體在光晶格中的極化孤子現(xiàn)象[20].2016年，Bons等直接在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量到了玻色一愛因斯坦凝聚體的折射率[21]，進(jìn)一步證實(shí)了局域場(chǎng)效應(yīng)的存在.局域場(chǎng)效應(yīng)的強(qiáng)度和原子數(shù)目成正比[22-23].通常的玻色一愛因斯坦凝聚體數(shù)目少于或等于106，然而隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，在一些實(shí)驗(yàn)室，玻色一愛因斯坦凝聚體的原子數(shù)目已經(jīng)可以達(dá)到108量級(jí)[24-26]，而且原子氣體的尺度達(dá)到毫米量級(jí).由此展望，隨著制備大數(shù)目玻色一愛因斯坦凝聚體實(shí)驗(yàn)技術(shù)的日漸成熟，局域場(chǎng)效應(yīng)在激光操控超冷氣體實(shí)驗(yàn)中的作用將越來(lái)越重要.

色散性質(zhì)是所有電介質(zhì)材料的重要光學(xué)性質(zhì).迄今為止，玻色一愛因斯坦凝聚體的色散性質(zhì)還無(wú)人研究.為此，本文推導(dǎo)出了計(jì)算玻色一愛因斯坦凝聚體對(duì)大失諧光的一階和二階色散系數(shù)的公式，利用典型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，數(shù)值計(jì)算了這些系數(shù).與通常的經(jīng)典光學(xué)材料的色散性質(zhì)不同，玻色一愛因斯坦凝聚體的一階和二階色散系數(shù)是空間變化的，而且在某些條件下色散非常巨大.

1 玻色一愛因斯坦凝聚體的色散關(guān)系

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

在數(shù)值計(jì)算中，本文考慮鋰原子玻色一愛因斯坦凝聚體D2線躍遷[28]來(lái)研究色散.再假設(shè)入射光場(chǎng)是脈沖光，持續(xù)時(shí)間小于1 ns，所以近似認(rèn)為物質(zhì)波波函數(shù)在脈沖持續(xù)時(shí)間內(nèi)不隨時(shí)間變化.假設(shè)一個(gè)如圖1所示的雪茄型玻色一愛因斯坦凝聚體，這個(gè)凝聚體在橫向和縱向都被諧振子勢(shì)阱所束縛，其波函數(shù)難以直接解析給出，這里采用變分波函數(shù)[29-31]（紅失諧）和△=2 GHz（藍(lán)失諧）時(shí)，折射率n的空間分布.圖3給出了失諧量△= -2 THz（紅失諧）和△=2 THz（藍(lán)失諧）時(shí)，折射率n的空間分布.可見在原子密度越高的地方折射率越偏離.紅失諧時(shí)，折射率n>1;藍(lán)失諧時(shí)，折射率n <1.折射率的大小和失諧量有關(guān)，隨著失諧量的增加，偏離真空折射率越小.在本文的計(jì)算中，玻色一愛因斯坦凝聚體的折射率偏離真空折射率很小.如要進(jìn)一步提高折射率，可以通過增加原子數(shù)目，或者減小凝聚體的空間分布寬度以提高密度.

在本文的數(shù)值計(jì)算條件下，折射率偏離真空條件很小，但并不意味著色散效應(yīng)很小.通過式（8）、式（9），進(jìn)一步計(jì)算了鋰原子愛因斯坦凝聚體的一階色散β1、群速度色散p的空間分布關(guān)系.失諧量△= 土2 GHz，以及△=土2 THz時(shí)，一階色散β1的分布分別如圖4和圖5所示.從圖4、圖5上看，由于原子密度分布不均，一階色散在空間中的分布也不均勻，并且和紅失諧或者藍(lán)失諧無(wú)關(guān).當(dāng)失諧量的大小增加，一階色散值減小.由于一階色散和群速度成反比，所以增加失諧量，可以提高群速度.一階色散和失諧量的符號(hào)關(guān)系不大，β1（△）≈β1（-△），與式（11）一致.

失諧量△= 土2 GHz，以及失諧量△=土2 THz時(shí)，二階色散β2的分布分別如圖6和圖7所示.從圖6和圖7上看，紅失諧時(shí)，二階色散是正常色散，而在藍(lán)失諧時(shí)是反常色散.隨著失諧量的減小，二階色散系數(shù)急劇地改變.失諧量△= 土2 THz，二階色散和光纖中二階色散相當(dāng).而在失諧量△=土2 GHz時(shí)，二階色散卻高出約9個(gè)數(shù)量級(jí)左右（與式（12）一致），這時(shí)凝聚體表現(xiàn)為強(qiáng)群速度色散.

3 結(jié)論

本文解析得到了玻色一愛因斯坦凝聚體對(duì)大失諧光的一階色散和二階色散關(guān)系.本文的研究表明，在紅失諧的情況下，折射率n>1;在藍(lán)失諧的情況下，折射率n

[參考文獻(xiàn)]

[1]

GEORGESCU I M，ASHHAB S， NORI F Quantum simulation EJl. Review of Modern Physics， 2014， 86（1）： 153-185DOI： 10.1103/RevModPhys.86.153

[2]

BIOCH I. Ultracold quantum gases in optical lattices EJl. Nature Physics， 2005（1）： 23-30. DOI： 10.1038/nphys138

[3]

BIOCH I， DALIBARD J， NASCIMBENE S Quantum simulations with ultracold quantum gases[J]Nature Physics， 2012， 8（4）： 267-276. DOI： 10.1038/nphys2259

[4]

BIOCH I， DALIBARD J，ZWERGER W Many-body physics with ultracold gases [J]. Review of Modern Physics， 2008， 80（3）： 885-964. DOI： 10.1103/RevRlodPhys.80.885

[5]

DUNNINGHAM J，BURNETT K，PHILLIPS W D Bose-Einstein condensates and precision measurements [J]. PhilosophicalTransactions of the Royal Society A，2006， 363（1834）： 2165-2175. DOI： 10.1098/rsta.2005.1636

[6]

BOIXO S， DATTA A，DAVIS M J，et al Quantum metrology with Bose-Einstein condensates[J]AIP Conference Proceedings， 2009，1110（1）： 423-426. DOI： 10.1063/1.3131366

[7]

GINSBERG N S，GARNER S R，HAU L V.Coherent control of optical information with matter wave dynamics [J]. Nature， 2007，445： 623-626. DOI： 10.1038/nature05493

[8] HANSEN A，LESLIE L S，BHATTACHARYA M，et al.Transfer and storage of optical information ina spinor Bose-Einsteincondensate [J]. OSA/FiO/LS， 2010： LTujI

[9]

CHU S Cold atoms and quantum control [J]. Nature. 2002， 416： 206-210. DOI： 10.1038/416206a.

[10]

HOHENESTER U， REKDAL P K，BORZ A，et al.Optimal quantum control of Bose-Einstein condensates in ruagnetic microtraps[J]Physical Review A，2007，75：023602. DOI： 10.1103/PhysRevA.75.023602

[11]

HAROUTYUNYAN H L Coherent control of single atoms and Bose-Einstein condensates by light [D] Netherlands： Leiden University，2004.

[12]

ZHAO L，JIANG J，TANG T，et al Dynamics in spinor condensates tuned by a microwave dressing field [J]. Physical Review A，2014， 89（2）： 023608. DOI： 10.1103/PhysRevA.89.023608

[13]

CHANG M S，QIN Q，ZHANG W，et al Coherent spinor dynamics in a spin-l Bose condensate[J]. Nature Physics， 2005， 1（2）： 111-116. DOI： 10.1038/nphys153.

[14]

BOHI P，RIEDEL M F，HOFFROGGE J， et al Coherent manipulation of Bose-Einstein condensates with state-dependent microwavepotentials on an atom chip [J]. Nature Physics， 2009， 5（8）： 592-597. DOI： 10.1038/nphys1329.

[15]

ROBB G R，TESIO E，OPPO G L，et al Quantum threshold for optomechanical self-structuring in a Bose-Einstein condensate[J]Physical Review Letters， 2015， 114（17）： 173903. DOI： 10.1103/PhysRevLett.114.173903.

[16]

OSTERMANN S， PIAZZA F， RITSCH H. Spontaneous crystallization of light and ultracold atoms [J] . Physical Review X， 2016， 6（2）：021026. D01：10.1103/PhysRevX.6.021026.

[17] RODRIGUES J D， RODRIGUES J A， FERREIRA A V. et al. Photon bubble turbulence in cold atomic gases[J]. arXiv， 2016：1604.08114vl.

[18]

11 K， DENG L. HAGLEY E W， et al. Matter-wave self-imaging by atomic center-of-mass motion induced interference [J]. PhysicalReview Letters， 2008， 101（25）： 250401. DOI： 10.1103/PhysRevLett.101.250401.

[19] ZHU J， DONG G， SHNEIDER M N， et al. Strong local-field effect on the dynamics of a dilute atomic gas irradiated by twocounterpropagating optical fields： Beyond standard optical lattices [J]. Physical Review Letters， 2011， 106（21）： 210403. DOI：10.1103/PhysRevLett.106.210403.

[20]

DONG G， ZHU J， ZHANG W， et al. Polaritonic solitons in a Bose-Einstein condensate trapped in a soft optical lattice [J]. PhysicalReview Letters， 2013， 110（25）： 250401. DOI： 10.1103/PhysRevLett.110.250401.

[21]

BONS P C. DE HAAS R， DE JONG D， et al. Quantum enhancement of the index of refraction in a Bose-Einstein condensate [J].Physical Review Letters， 2016， 116（17）： 173602. DOI： 10.1103/PhysRevLett.116.173602.

[22] 秦杰利.旋量玻色-愛因斯坦凝聚體與微波相互.作用中的磁局域應(yīng)

[D] .上海 ：華東師范大學(xué)， 2016.

[23] 朱江.光與超冷原相互作用中的局域場(chǎng)效應(yīng) [D].上海：華東師范大學(xué)， 2014.

[24]

COMPARAT D， FIORETTI A， STERN G， et al . Optimized production of large Bose-Einstein condensates [J] . Physical Review A，006， 73： 043410. DOI： 10.1103/PhysRevA.73.043410.

[25]

STREED E W， CHIKKATUR A P， GUSTAVSON T L， et al. Large atom number Bose-Einstein condensate machines [J] . Review ofScientific Instruments， 2006， 77（2）： 023106. DOI： 10.1063/1.2163977.

[26]

VAN DER STAM K M， VAN OOIJEN E D， MEPPELINK R， et al. Large atom number Bose-Einstein condensate of sodium [J]. Review of Scientific Instruments， 2007， 78（1）： 013102. DOI： 10.1063/1.2424439.

[27]

AGRAWAL G P. Nonlinear Fiber Optics [M] . 5th ed. New York： Academic Press， 2013.

[28]

GEHM M E. Preparation of an optically-trapped degenerate fermi gas of 6Li： Finding the route to degeneracy[D]. Durham： Duke University， 2003.

[29]

ZHAI Y Y. ZHANG P. CHEN X Z. et al. Bragg diffraction of a matter wave driven by a pulsed nonuniform magnetic field [J].Physical Review A， 2013， 88： 053629. DOI： 10.1103/PhysRevA.88.053629.

[30]

PITAEVSKII L. STRINGARI S . Bose-Einstein Condensation [M] . Oxford： Clarendon Press， 2003.

[31]

PETHICK C J， SMITH H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases [M] . 2nd ed. Cambridge： Cambridge University Press， 2008.