何育民，郝安幫

(西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055)

齒輪是機械裝置中的重要零部件，廣泛應用于汽車、航空等領域.嚙合剛度是齒輪系統(tǒng)振動的內(nèi)部激勵源之一，正確地求解嚙合剛度以及齒輪嚙合動力學研究對工程實際具有重要意義.

王旭等[1]用材料力學的方法計算了正常和含裂紋齒輪的嚙合剛度，并且對有、無裂紋齒輪副進行了動力學特性分析；萬志國等[2]考慮了齒輪基體變形與齒根圓、基圓不重合的情況，進一步修正了勢能法求解嚙合剛度的公式；Zhan等[3]利用有限元軟件workbench用準靜態(tài)方法求解了嚙合剛度，并研究了齒頂圓角及主從動輪軸不平行時對嚙合剛度的影響；畢鳳榮等[4]在MSC-ADMAS平臺上對漸開線齒輪副動態(tài)嚙合力進行了計算機仿真，并研究了轉速對動態(tài)嚙合力的影響；陳占鋒等[5]在Pro/Engineer軟件中建立了兩級行星齒輪三維模型，并導入ADMAS軟件中進行動力學仿真，驗證了行星齒輪系統(tǒng)的傳動規(guī)律，為其強度、剛度和疲勞分析提供了依據(jù)；吳勇軍等[6]提出了一種可綜合考慮齒輪副連續(xù)彈性嚙合過程中多種影響因素的接觸有限元分析方法.

嚙合剛度是齒輪動力學分析中的重要參數(shù)，而齒輪副在不同的工況下，實際重合度是不相同的，齒輪動力學數(shù)值仿真時需要嚙合剛度有明確的數(shù)學表達式，因此多數(shù)學者對嚙合剛度進行了曲線擬合.引用最多的是文獻[7]的方法，這些公式中都包含重合度的因素，若將理論重合度下的嚙合剛度公式代入齒輪動力學方程，將會因為理論重合度與實際重合度不同，導致動力學分析出現(xiàn)偏差.

本文在三維建模軟件Solidworks中利用漸開線參數(shù)方程作為曲線驅動方程，建立了直齒圓柱齒輪副裝配體模型，然后導入ANSYS workbench瞬態(tài)動力學模塊，用準靜態(tài)方法求出嚙合剛度，并與ISO6336-1-2006嚙合剛度計算值比較，驗證了模型建立的精確性以及有限元設置的合理性，同時也驗證了實際工況下因為重合度的改變，理論重合度計算的嚙合剛度與實際工況下嚙合剛度不同步的現(xiàn)象.

1 齒輪副模型的建立及有限元設置

1.1 齒輪副模型建立與網(wǎng)格劃分

本文所建立的直齒圓柱齒輪相關參數(shù)如表1所示，根據(jù)表1信息在Solidworks里建立直齒圓柱齒輪副三維模型.圖1為建立的單個齒輪模型圖，其中，Rb、Rf、r、p分別為齒輪基圓半徑、齒根圓半徑、過渡圓弧半徑及分度圓齒距.過渡圓角半徑r=0.38m，m為模數(shù).齒輪嚙合部分為輪齒，為了減少網(wǎng)格數(shù)量，齒輪軸孔半徑取20 mm.

表1 直齒圓柱齒輪參數(shù)Tab.1 Spur gear parameters

圖1 齒輪嚙合三維模型Fig.1 3D model for gear meshing

齒廓曲線選擇方程式驅動的曲線命令進行創(chuàng)建，輸入漸開線參數(shù)方程式，剪去多余的線條，對單個齒廓進行圓周陣列，然后軸向拉伸就得到單個齒輪，最后按照齒輪副中心距進行裝配.

將齒輪副裝配體模型通過Solidworks與ANSYS workbench的接口直接導入ANSYS workbench的瞬態(tài)動力學模塊，由于每對輪齒嚙合有相同的規(guī)律，為了縮短有限元求解時間，故只保留8對輪齒.圖2是主從動輪施加邊界條件的過程，左邊是主動輪，右邊為從動輪，主從動輪軸孔處添加旋轉副約束.主動輪旋轉副施加10 r/min恒定轉速，從動輪旋轉副施加200 N·m轉矩.由于參與嚙合的主要是輪齒，所以輪齒網(wǎng)格加密，齒輪基體網(wǎng)格可以稍微稀疏一些，圖3是齒輪副整體網(wǎng)格.旋轉副使用MPC184單元，接觸區(qū)使用CONTA174和TARGE170單元，因為二次單元會導致等效節(jié)點接觸力在角節(jié)點和邊節(jié)點之間震蕩，所以齒輪副主體使用solid185單元，共得到178 220個單元，197 243個節(jié)點.

1.2 輪齒接觸設置

圖2 約束設置與載荷施加Fig.2 Constraint setting and load implementation

圖3 整體網(wǎng)格Fig.3 Whole meshing

圖4 接觸與分析設置Fig.4 Settings for contact and analysis

1.3 分析設置

圖4b是分析設置界面.將Time Integration設置為off，則workbench瞬態(tài)動力學求解中不包括慣性效應和熱容，不計算速度結果，因此由速度產(chǎn)生的彈簧阻尼力將為0，這是一個準靜態(tài)過程.阻尼控制有兩種，這里選擇瑞利阻尼，其表達式為

C=αM+βK

(1)

式中：C為阻尼矩陣；M為質量矩陣；K為剛度矩陣；α、β為阻尼常數(shù)，分別對應圖4b中的MassCoefficient和StiffnessCoefficient.在大多數(shù)實際的結構問題中，α阻尼可以被忽略，即α=0，此時β值由式(2)確定，即

β=2εi/ωi

(2)

式中：εi為阻尼比，根據(jù)實驗值一般為0.03～0.17，這里取0.03；ωi為第i階固有頻率，通過有限元模態(tài)分析得到ω1=646.33Hz.圖5是齒輪嚙合的前六階模態(tài)陣型圖.從圖5中可看出一階模態(tài)陣型是兩齒輪相對反向旋轉，二階模態(tài)陣型是兩齒輪相對同向旋轉，其他階數(shù)模態(tài)陣型則不是齒輪副的軸向轉動.而實際齒輪嚙合過程中，主從動輪是相對反向旋轉的，且主要是此模態(tài)下的振動，故取一階模態(tài)頻率，所以β=4.64×10-5.NumericalDamping這個選項控制著一個結構較高頻率所引起的數(shù)值噪聲，通常這些高頻模態(tài)的貢獻是不精確的，為了避免這種現(xiàn)象，給定一些數(shù)值阻尼是可取的，對于瞬態(tài)結構分析，數(shù)值阻尼設為0.1.

2 嚙合剛度計算

圖6是不計輪齒摩擦力的齒輪副動力學模型圖.圖6中主動輪受到驅動力矩與嚙合力而逆時針方向旋轉；從動輪在嚙合力與負載轉矩共同作用下順時針旋轉.動力學方程為

(3)

(4)

(5)

式中：φp、φg為主、從動輪的轉角；Ip、Ig為主、從動輪的軸向轉動慣量；rpb、rgb為主、從動輪的基圓半徑；cm(t)為嚙合阻尼；km(t)為齒輪時變嚙合剛度；x為動態(tài)傳遞誤差；e(t)為靜態(tài)傳遞誤差；Tp、Tg分別為外界對主從動輪的驅動力矩.

瞬態(tài)動力學模塊在準靜態(tài)環(huán)境下，不包括齒輪副慣性力以及阻尼力，由漸開線建立的齒輪副模型標準安裝，可認為靜態(tài)傳遞誤差e(t)=0，由式(3)～(5)可得嚙合剛度表達式為

(6)

圖5 前六階模態(tài)振形Fig.5 Vibration shapes of first six order modals

通過仿真求出主從動輪轉角φp和φg，代入式(6)就可求出綜合嚙合剛度.

圖6 齒輪嚙合動力學模型Fig.6 Dynamics model for gear meshing

仿真完成后，提取主從動輪的轉角，得到動態(tài)傳遞誤差，計算出嚙合剛度.圖7是有限元計算的嚙合剛度與文獻[7]計算的嚙合剛度對比圖.從圖7中可以看出，理論重合度計算的綜合嚙合剛度與實際載荷有限元計算的嚙合剛度出現(xiàn)了不同步的現(xiàn)象，而大多數(shù)齒輪動態(tài)響應是在理論重合度計算的綜合嚙合剛度上進行的.輪齒嚙合具有周期性，為了直觀地體現(xiàn)這種規(guī)律，引入無量綱嚙合時間t/tc，t為絕對時間，tc為輪齒延嚙合線移動一個分度圓法向齒距的時間.

圖7 嚙合剛度對比圖Fig.7 Meshing stiffness contrast diagram

ISO 6336-1-2006標準中規(guī)定，對于重合度ε≥1.2，螺旋角β≤30°的斜齒輪，其單齒嚙合剛度最大值為

B′=B′thBMBRBBcosβ

(7)

式中：B′th為理論單齒剛度；BM為理論修正系數(shù)；BR為輪胚結構系數(shù)；BB為基本齒廓系數(shù).

ISO6336-1-2006方法求得的單齒最大嚙合剛度和平均嚙合剛度分別為130 931.5和195 104.3 N/mm，本文計算的單齒最大嚙合剛度和平均嚙合剛度分別為137 314.4和205 054.6 N/mm，相對誤差分別是4.9%和5.1%，這驗證了所建立的齒輪副模型的精確性以及有限元設置的合理性.

3 輪齒嚙合動力學仿真

在前面建立的有限元模型基礎上，考慮齒輪副的慣性效應和阻尼效應，將圖4b中time integration調(diào)整為on，完成直齒圓柱齒輪副動力學仿真.圖8、9分別是從動輪角速度、角加速度仿真圖；圖10、11分別是主動輪旋轉副處的水平與豎直約束力仿真圖.根據(jù)嚙合輪齒接觸面壓力的出現(xiàn)與消失可以劃分單雙齒嚙合區(qū)，結合圖8～11可以看出，齒輪開始進入和退出雙齒嚙合時振動加劇，輪齒的交替嚙合產(chǎn)生沖擊力，單齒嚙合比雙齒嚙合振動強烈.

圖8 從動輪角速度Fig.8 Angular velocity of driven wheel

圖9 從動輪角加速度Fig.9 Angular acceleration of driven wheel

圖10 主動輪水平約束力Fig.10 Horizontal constraint force of driving wheel

輪齒摩擦系數(shù)不僅影響齒形的相對拉尖程度[9]，而且也影響著齒輪的嚙合.在前面模型的基礎上，進一步考慮嚙合輪齒之間的摩擦力，分別將摩擦系數(shù)設為0.02、0.03進行動力學仿真，得到從動輪的加速度以及主動輪旋轉副處的約束力數(shù)據(jù).為了直觀地看出變化規(guī)律，分別提取嚙合穩(wěn)定后的100組數(shù)據(jù)在MATLAB中進行快速傅里葉變換，得到不同輪齒摩擦系數(shù)下從動輪的角加速度頻域圖(如圖12所示)及主動輪旋轉副處的水平、豎直以及軸向約束力頻域圖(如圖13～15所示).

圖11 主動輪豎直約束力Fig.11 Vertical constraint force of driving wheel

圖12 加速度幅值頻域信號Fig.12 Acceleration amplitude signal in frequency domain

圖13 水平約束力幅值頻域信號Fig.13 Horizontal constraint force amplitude signal in frequency domain

圖14 豎直約束力幅值頻域信號Fig.14 Vertical constraint force amplitude signal in frequency domain

圖15 軸向約束力幅值頻域信號Fig.15 Axial constraint force amplitude signal in frequency domain

仿真中主動輪施加的轉速為10 r/min，轉頻約為0.17 Hz，嚙合頻率為5 Hz.由圖12可知，不同摩擦系數(shù)的從動輪角加速度最大幅值均出現(xiàn)在50 Hz的頻率處(是嚙合頻率的10倍)，且隨著摩擦系數(shù)的增大而增大；由圖13、14可知，約束力最大幅值出現(xiàn)在1 Hz的頻率處，是轉頻的6倍頻，且最大幅值隨輪齒摩擦系數(shù)的增大而增大；由圖15可知，雖然直齒輪副嚙合時軸向約束力很小，但是輪齒摩擦系數(shù)對直齒圓柱齒輪副軸向約束力的影響比較明顯.

4 結 論

通過上述分析可以得出以下結論：

1) 在三維建模軟件Solidworks中利用漸開線參數(shù)方程建立了直齒圓柱齒輪副裝配體模型，并導入ANSYS workbench的瞬態(tài)動力學模塊中，用準靜態(tài)的方法求出嚙合剛度，與ISO6336-1-2006計算的嚙合剛度比較吻合.實際工況下綜合嚙合剛度與理論重合度計算的綜合嚙合剛度產(chǎn)生了不同步的現(xiàn)象.

2) 通過直齒圓柱齒輪動力學仿真可以發(fā)現(xiàn)，輪齒在開始進入和退出雙齒嚙合時振動加劇，輪齒的交替嚙合會產(chǎn)生沖擊力，單齒嚙合比雙齒嚙合振動強烈.

3) 對不同輪齒摩擦系數(shù)的直齒圓柱齒輪進行動力學仿真，發(fā)現(xiàn)輪齒摩擦系數(shù)的增大會導致齒輪角加速度和齒輪旋轉副豎直與水平約束力的最大幅值增大，輪齒摩擦系數(shù)對齒輪副的軸向約束力的影響比較顯著.