“兩個(gè)最短”的聯(lián)系與區(qū)別

華昭琴

“兩點(diǎn)之間線段最短”是我們生活中能驗(yàn)證的基本事實(shí);“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”是我們通過度量、比較發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。在幾何學(xué)習(xí)中，不少同學(xué)容易混淆這兩個(gè)“最短”而出錯(cuò)。因此我們有必要搞清楚它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。

首先，二者之間聯(lián)系密切。我們來看“垂線段最短”，這里的“最短”是直線外一“點(diǎn)”與直線上各“點(diǎn)”連接的所有線段中最短的那條線段，換句話說，“垂線段”的本質(zhì)是直線外一點(diǎn)到垂足這個(gè)點(diǎn)之間的線段長，最終還是兩點(diǎn)間的線段。

其次，二者之間區(qū)別明顯?！皟牲c(diǎn)之間線段最短”指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系，而“垂線段最短”指的是點(diǎn)與線之間的關(guān)系。

下面結(jié)合實(shí)例來幫助同學(xué)們加深理解。

例1 如圖1，小華站在長方形操場的左側(cè)A處。（1）若要到操場的右側(cè)，怎樣走最近？請畫出路線并解釋。（2）若要到操場對面的B處。怎樣走最近？請畫出路線并解釋。

【解析】（1）實(shí)際上就是找A點(diǎn)到操場右側(cè)所在直線的最短距離AC，如圖2，理由：垂線段最短。（2）是找A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離AB，如圖3，理由：兩點(diǎn)之間線段最短。

【點(diǎn)評】實(shí)際問題中涉及路線最短問題時(shí)，首先要弄清楚是點(diǎn)與點(diǎn)之間的，還是點(diǎn)與線之間的最短距離，再從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”中去選擇。

例2如圖4，在三角形ABC中，∠BCA=90°，BC=3，AC=4，AB=5。點(diǎn)P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，求線段CP的最小值。

【解析】因?yàn)镻點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，所以首先得判斷出什么時(shí)候CP最短。C點(diǎn)與線段AB上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。所以當(dāng)CP垂直AB時(shí)，CP有最小值。然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可。因?yàn)锳_BCA=90°，所以S△_{ABC=1/2BC×AC=1/2AB×CP。因?yàn)锽C=3，AC=4，AB=5，所以CP=2.4。}

【點(diǎn)評】判斷出CP最短時(shí)的情況是解決本題的關(guān)鍵。