運(yùn)載火箭姿態(tài)控制穩(wěn)定性多速率陀螺組合策略

王建民，張冬梅，洪良友，李 寧

(1. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076；2. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076；3. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

運(yùn)載火箭飛行姿態(tài)需要進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，為解決彈性振動(dòng)和控制耦合問題，大型運(yùn)載火箭一子級(jí)等需要采用速率陀螺組合方式進(jìn)行飛行姿態(tài)控制，以平臺(tái)和速率陀螺組合為例，其原理圖如圖1所示[1-2]，其中平臺(tái)感應(yīng)姿態(tài)角，速率陀螺感應(yīng)角速率。這種作法是為了兼顧剛體姿態(tài)穩(wěn)定性和彈性振動(dòng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)要求[3-7]。目前國(guó)內(nèi)的運(yùn)載火箭多采用每個(gè)姿態(tài)方向(俯仰、偏航、滾動(dòng))安裝一個(gè)速率陀螺作為敏感元件，通過選擇速率陀螺的合適安裝位置，采取幅值穩(wěn)定和相位穩(wěn)定相結(jié)合的控制策略，達(dá)到彈性振動(dòng)穩(wěn)定的目的。選擇速率陀螺的位置依賴彈性振動(dòng)穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法，一般的原則是在模態(tài)頻率離剛體增益交界頻率比較遠(yuǎn)時(shí)，采用幅值穩(wěn)定，通過在控制網(wǎng)絡(luò)中加入陷波濾波器達(dá)到穩(wěn)定，此時(shí)需要將速率陀螺盡量安放在對(duì)應(yīng)模態(tài)振型斜率較小的位置(盡量靠近振型波幅的位置)；在模態(tài)頻率離剛體增益交界頻率比較近時(shí)，仍然用幅值穩(wěn)定會(huì)降低剛體穩(wěn)定裕度，此時(shí)可采用相位穩(wěn)定，需要將速率陀螺安放在斜率符號(hào)比較明確的位置。滿足上述速率陀螺安裝位置要求并不容易，其原因?yàn)椋?1)速率陀螺的安裝位置受到許多實(shí)際安裝條件的限制，如燃料儲(chǔ)箱無法安裝速率陀螺等；(2)火箭的飛行過程是時(shí)變的，模態(tài)參數(shù)不是一程不變的，振型波幅的位置是變化的，一個(gè)陀螺不容易滿足飛行全程要求；(3)一個(gè)陀螺同時(shí)滿足多個(gè)模態(tài)振型斜率要求比較困難，往往顧此失彼。在選擇了速率陀螺安裝位置后，還需要給出精度較高或不確定度較低的振型斜率。鑒于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)對(duì)速率陀螺安裝位置及振型斜率不確定度的苛刻要求，目前火箭研制均采用實(shí)際尺寸的模態(tài)試驗(yàn)，試驗(yàn)最主要的目的是進(jìn)行陀螺位置選擇和振型斜率測(cè)量，實(shí)際工程中耗時(shí)耗力，代價(jià)巨大。未來重型運(yùn)載火箭尺寸大大超過現(xiàn)有振動(dòng)塔尺寸，開展全箭試驗(yàn)需要建立新的振動(dòng)塔，耗費(fèi)巨大。如果不建立振動(dòng)塔，只能采用計(jì)算或子結(jié)構(gòu)綜合替代[8-9]，必然會(huì)增加振型斜率的不確定度，控制系統(tǒng)難以接受。為降低單速率陀螺位置選擇的困難和斜率測(cè)量精度的要求，國(guó)外火箭有用多個(gè)速率陀螺代替單個(gè)陀螺的做法，但并未見到多個(gè)速率陀螺替代單個(gè)陀螺的詳細(xì)使用方法。國(guó)內(nèi)見到使用多個(gè)速率陀螺的報(bào)導(dǎo)均以提高控制系統(tǒng)冗余設(shè)計(jì)為目的[10-11]，而非彈性振動(dòng)穩(wěn)定性為目的。文獻(xiàn)[3]提及了用多個(gè)速率陀螺組合替代單個(gè)速率陀螺用于彈性振動(dòng)穩(wěn)定性，但使用的陀螺數(shù)量應(yīng)等于彈性振動(dòng)穩(wěn)定性所考慮的模態(tài)數(shù)量加1,且所有模態(tài)的彈性振動(dòng)穩(wěn)定性均采用幅值穩(wěn)定方式。但工程應(yīng)用中很難布置足夠多的速率陀螺滿足文獻(xiàn)[3]的數(shù)量，另外大型火箭一階模態(tài)頻率較低，多采用相位穩(wěn)定控制方式，二階以上采用幅值穩(wěn)定方式。鑒于此，本文給出了任意數(shù)量的速率陀螺組合代替單速率陀螺的斜率計(jì)算方法，計(jì)算方法能夠兼顧控制系統(tǒng)相位穩(wěn)定和幅值穩(wěn)定要求，同時(shí)還推導(dǎo)了組合斜率不確定度的計(jì)算公式，并將不確定度納入組合系數(shù)矩陣的計(jì)算當(dāng)中。最后用一個(gè)型號(hào)實(shí)例說明了多個(gè)速率陀螺組合的方法，結(jié)果表明用多個(gè)速率陀螺組合更容易滿足姿態(tài)控制系統(tǒng)彈性穩(wěn)定性要求。組合陀螺的應(yīng)用可以降低了對(duì)陀螺選位和斜率測(cè)量的精度要求，從而為利用計(jì)算或子結(jié)構(gòu)綜合替代全箭模態(tài)試驗(yàn)提供了可行途徑。

圖1 火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)原理圖Fig.1 Illustration of attitude control system for launch vehicle

1 多速率陀螺組合方法

為了說明問題，現(xiàn)僅在火箭的一個(gè)姿態(tài)方向上(如俯仰方向)進(jìn)行闡述。設(shè)火箭俯仰方向上取n個(gè)陀螺安裝位置，分布n個(gè)速率陀螺感應(yīng)該方向的角速率。俯仰方向上的全箭第i階彈性模態(tài)對(duì)應(yīng)的斜率矩陣為：

(1)

式中:w′ij表示第i階模態(tài)在第j(j=1，2，…，n)個(gè)點(diǎn)上的振型斜率值。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)的振型斜率矩陣為：

(2)

試圖用多個(gè)速率陀螺輸出的組合代替單個(gè)陀螺，可采用線性疊加法，設(shè)第i階組合斜率為：

(3)

這里[α]為1×n組合系數(shù)矩陣。因?yàn)閯傮w模態(tài)組合斜率必須為1，因此需要滿足

[α]{w′0}=1

(4)

(5)

或?qū)懗删仃囆问綖椋?/p>

[α][w′0,w′1, …,w′n-1]=[1, 0, …, 0]

(6)

式中:[w′0,w′1, …,w′n-1]為方陣，假定{w′i}(i=0,1,2,…,n-1)之間互不相關(guān)(當(dāng)多個(gè)安裝位置選擇合適時(shí)，這一假定可以滿足)，[w′0,w′1, …,w′n-1]為非奇異矩陣，可以得到

[α]=[w′0]T[C]

(7)

其中

[C]=([w′0,w′1, …,w′n-1]·

[w′0,w′1, …,w′n-1]T)-1

(8)

按照式(7)獲得的組合系數(shù)矩陣對(duì)多個(gè)陀螺感應(yīng)到的信號(hào)進(jìn)行組合，已經(jīng)將1至n-1階彈性響應(yīng)降低或消除，幅值穩(wěn)定自動(dòng)滿足。這一方法與文獻(xiàn)[3]的方法基本一致。但在實(shí)際的工程應(yīng)用中，很難做到安裝足夠多的速率陀螺，使得陀螺數(shù)等于控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定需要考慮的彈性模態(tài)階數(shù)加1，因?yàn)榘惭b過多的速率陀螺會(huì)增加系統(tǒng)的復(fù)雜性、降低系統(tǒng)的可靠性，另外當(dāng)速率陀螺過多時(shí)，很難有合適的安裝位置使[w′0,w′1, …,w′n-1]非奇異。當(dāng)使用的陀螺數(shù)少于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)所需考慮的彈性模態(tài)階數(shù)加1時(shí)，式(5)為超定方程，無法精確滿足，此時(shí)組合系數(shù)矩陣的計(jì)算式(7)不再適用。這種情況下，可以結(jié)合控制系統(tǒng)對(duì)每階彈性模態(tài)穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)策略，采用優(yōu)化的方法計(jì)算組合陀螺系數(shù)矩陣。如控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)仍然采用1～N階彈性模態(tài)幅值穩(wěn)定策略，此時(shí)N>n-1，則可以采用如下優(yōu)化方程計(jì)算組合陀螺系數(shù)矩陣：

(9)

這里0≤ri≤1(i=1,2,…,N)是第i階組合斜率權(quán)重系數(shù)，可以按照控制系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)每階組合斜率的幅值要求選取。當(dāng)控制系統(tǒng)采用一階相位穩(wěn)定、2～N階幅值穩(wěn)定策略，則要求一階組合斜率有明確的符號(hào)(不失一般性，這里取負(fù)號(hào))，此時(shí)計(jì)算組合陀螺系數(shù)矩陣的優(yōu)化方程為：

(10)

式中:δ為保證組合斜率符號(hào)確定的最小正數(shù)，一般可以取比組合斜率不確定度稍大一點(diǎn)。關(guān)于不確定度的計(jì)算方法將在第2節(jié)敘述。

(11)

火箭飛行過程隨著燃料的消耗質(zhì)量變化，其斜率[w′1],[w′2],…,[w′N]也隨著飛行變化，但利用變化的斜率通過式(7)～(11)獲得變化的組合斜率系數(shù)矩陣[α]，組合斜率可以使控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定性在飛行全程有利，而單個(gè)陀螺則不容易兼顧飛行全程。

2 組合斜率的不確定度分析

單個(gè)速率陀螺的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)不僅需要給出斜率值而且要求給出斜率的不確定度，對(duì)于幅值穩(wěn)定的模態(tài)，要求其不確定度較小，對(duì)于相位穩(wěn)定的模態(tài)，要求有明確的正負(fù)號(hào)，或者說斜率的絕對(duì)值應(yīng)大于其不確定度。由多個(gè)速率陀螺的組合斜率也應(yīng)滿足這一要求，因此需要分析組合斜率的不確定度。

采用多個(gè)陀螺的組合斜率，其不確定度來源于參與組合的每個(gè)陀螺安裝位置的斜率不確定度。用均方差表示不確定度，利用式(3)可以給出組合斜率不確定度表達(dá)式：

(12)

(13)

當(dāng)控制系統(tǒng)采用一階模態(tài)相位穩(wěn)定方式時(shí)，要求一階斜率有明確的符號(hào)，用組合斜率時(shí)，要求其一階組合斜率的絕對(duì)值要大于其不確定度，以保證其符號(hào)明確，此時(shí)計(jì)算組合斜率系數(shù)矩陣的優(yōu)化方程(11)變?yōu)椋?/p>

(14)

3 火箭實(shí)例分析

以某運(yùn)載火箭為例說明多個(gè)速率陀螺組合的方法和較單個(gè)陀螺帶來的好處。某運(yùn)載火箭開展了地面全箭動(dòng)力學(xué)特性試驗(yàn)，試驗(yàn)在一二級(jí)級(jí)間段處選擇了一個(gè)速率陀螺作為一級(jí)俯仰方向的控制敏感元件，記為速率陀螺1，同時(shí)在儀器艙慣組上布置了一個(gè)速率陀螺測(cè)點(diǎn)，記為速率陀螺2，在尾段上布置了一個(gè)速率陀螺測(cè)點(diǎn)，記為速率陀螺3。試驗(yàn)時(shí)對(duì)上述三個(gè)陀螺位置測(cè)量了前三階俯仰方向模態(tài)的斜率。全箭動(dòng)特性試驗(yàn)針對(duì)6個(gè)秒狀態(tài)分別開展了模態(tài)試驗(yàn)，測(cè)量獲得每個(gè)秒狀態(tài)的斜率值如表1所示。二階和三階采用幅值穩(wěn)定，組合系數(shù)矩陣計(jì)算采用式(14)，利用Matlab中的優(yōu)化函數(shù)fminimax。圖2給出6個(gè)秒狀態(tài)，單個(gè)陀螺、兩個(gè)陀螺組合、三個(gè)陀螺組合的一階、二階、三階斜率對(duì)比，以及不確定度放大系數(shù)。因二階、三階只關(guān)心斜率絕對(duì)值，不關(guān)心符號(hào)，因此圖中給出的是斜率的絕對(duì)值。表2給出了不同秒狀態(tài)、不同組合以及不同階次的斜率值。從圖中的二階斜率、三階斜率對(duì)比可以看出，2組合斜率值和3組合斜率值較單陀螺斜率值總體上有所降低，但降低幅度在不同秒狀態(tài)下有所不同。2組合斜率在100 s時(shí)效果最好，二階斜率降低了83%，三階斜率降低了94%，但在121 s和140 s時(shí)組合斜率與單陀螺斜率基本相同，組合后效果不明顯。3組合斜率無論是二階還是三階較單個(gè)陀螺斜率效果明顯改善，尤其是前4個(gè)秒狀態(tài)組合斜率值幾乎接近0，只有140 s狀態(tài)組合斜率與單個(gè)陀螺斜率基本相同，組合效果不明顯。從控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)彈性振動(dòng)穩(wěn)定要求看，一階斜率因滿足斜率值與不確定度的約束條件而能夠保證符號(hào)的確定性，二階、三階組合斜率值較單個(gè)陀螺的斜率值普遍降低，尤其是100 s狀態(tài)單個(gè)陀螺的斜率值過大，而組合后斜率變得很小，非常有利于控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定性。從不確定度放大系數(shù)可以看出，組合后不確定度放大系數(shù)除了58 s 的3組合外其余均小于等于1，即使58 s的3組合不確定度放大系數(shù)大于1，但也接近1，所以組合斜率不確定度整體上比單個(gè)陀螺不確定度是減小的。

表1 試驗(yàn)測(cè)量的三個(gè)陀螺位置斜率值Table 1 The mode shape slope in three rate gyroscopes under test

圖2 單陀螺與組合陀螺斜率對(duì)比Fig.2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

表2 單陀螺與組合陀螺斜率對(duì)比Table 2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

多個(gè)陀螺組合的另一個(gè)意義是可以降低對(duì)斜率測(cè)量不確定度的要求。姿態(tài)控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定性設(shè)計(jì)時(shí)不僅要考慮斜率值，還要考慮斜率值的不確定度，當(dāng)組合方式能夠得到更好的斜率值時(shí)，對(duì)斜率值的不確定度就可以降低要求，從而降低對(duì)試驗(yàn)的要求，如果斜率不確定度要求降低，則對(duì)大型運(yùn)載火箭可以用子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)替代全箭試驗(yàn)，甚至未來用計(jì)算替代全箭試驗(yàn)也存在可能性。

4 結(jié) 論

1) 本文給出了多速率陀螺組合時(shí)組合系數(shù)矩陣優(yōu)化算法，對(duì)組合所用速率陀螺數(shù)量、控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定性需要考慮的模態(tài)數(shù)量均沒有限制，更適用于工程應(yīng)用。

2) 利用多速率陀螺組合，可以獲得比單個(gè)速率陀螺更有利于姿態(tài)控制系統(tǒng)彈性振動(dòng)穩(wěn)定性的斜率，一方面可以降低姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度，另一方面也降低了陀螺選位和振型斜率不確定度的要求，可為未來重型運(yùn)載火箭不開展全尺寸模態(tài)試驗(yàn)提供支撐。