Hellmann-改良Kratzer勢Schr?dinger方程的散射態(tài)解

陳文利，邢瑞芳，胡 艷

(西安培華學院智能科學與信息工程學院，陜西 西安 710125)

0 引言

在量子力學中，散射態(tài)主要研究散射離子的角分布以及散射過程中離子的各種性質(zhì)的變化，是尋求理解物理系統(tǒng)量子信息的有效手段.在散射態(tài)理論的研究中，為獲得系統(tǒng)的散射態(tài)解及散射相移，首要的是量子系統(tǒng)的解析求解，然而在解析求解過程中，徑向方程中離心項的存在使得求解較為困難. 因此，基于不同的近似手段便成為解決散射問題的有效手段.例如，指數(shù)形式近似[1-2]，Pekeris型近似[3-4], 通過近似表達離心項使得徑向方程轉化為可解的微分方程，獲得波函數(shù)的解析解.通過研究波函數(shù)在r→∞的漸進行為，獲得系統(tǒng)的散射相移公式. 由于組合勢場能提供更為廣泛的應用[5-6]，在基于改良Kratzer勢場的基礎上加上屏蔽庫侖勢場構造出了更為復雜的組合勢場[7].

(1)

其中，V1,V2分別為Yukawa和庫侖勢的勢場強度，α為是勢屏參數(shù)，De為離解能，re為平衡鍵長.當勢參數(shù)取不同值時，勢場可退化為改良Kratzer勢場、Hellmann勢場和屏蔽庫侖勢場. 在文獻[7]中,Berkdemir C 等作者求解了束縛態(tài)改良Kratzer勢場薛定諤方程的束縛態(tài)解,同時,KOCAK G等和Hamzavi M等分別求解Hellmann勢場薛定諤方程的束縛態(tài)解[8-9]，得到對應本征值滿足的方程,然而，Hellmann-改良Kratzer勢的散射態(tài)問題卻較少涉及.本文擬求解其散射態(tài)解析解，得到相應的的散射態(tài)相移公式，數(shù)值求解本征值方程并和利用程序包所得本征值數(shù)據(jù)對比，最后討論了特例的情況.

1 散射態(tài)的近似解析解

(2)

其中，E為系統(tǒng)能量本征值.取勢函數(shù)為Hellmann-改良Kratzer勢，設波函數(shù)ψ(r,θ,φ)=r-1unl(r)Ylm(θ,φ)并代入方程式(2)中，得薛定諤方程的徑向方程滿足方程

(3)

由于徑向方程中離心項的存在，使得方程(3)很難解析求解，本文采用指數(shù)型的近似公式[10-11]

(4)

近似表示離心項，并引入無剛量變量z=1-e-αr代入方程式(3)，可得如下方程

(5)

考慮波函數(shù)的邊界條件z→1(r→0),z→0(r→∞)[12]，設徑向波函數(shù)為

(6)

其中參數(shù)

(7)

將方程(6)代入方程(5)，化簡得

(8)

方程(8)的解恰可表示為超幾何函數(shù)的表達形式

(9)

其中，符號(x)p=Γ(x+p)/Γ(x)，對應的參數(shù)a,b,c為

(10)

結合方程(6)和(9)，波函數(shù)可解析表示為

u(r)=Neikr(1-e-αr)η2F1(a,b,c,1-e-αr).

(11)

其中，N為歸一化常數(shù).

為了求解歸一化常數(shù)和相移公式，方程(10)中參數(shù)滿足以下關系：

綜上所述，紫云英苷是一種具有潛在抗人卵巢癌作用的活性成分，可通過抑制HIF-1α誘導的糖酵解等通路來抑制卵巢癌細胞的增殖、促進卵巢癌細胞的凋亡，為抗卵巢癌新藥的研發(fā)提供重要依據(jù)和參考。

(12)

利用超幾何函數(shù)的迭代公式[13]

(13)

波函數(shù)的漸進行為可表示為

(14)

把關系式(15)代入式(14)，可得

(16)

比較式(16)和波函數(shù)的漸進行為u(r)→2sin(kr-lπ/2+δl)(r→∞)[14]，相移和歸一化參數(shù)可表示為

(17)

(18)

進一步討論散射振幅及其解析性，散射振幅可表示為

(19)

上式中每一項代表l分波的散射振幅，散射振幅作為能量的函數(shù)，解析延拓到整個復平面上[15]，并研究其解析性，考慮伽馬函數(shù)在整個復z平面上不為零，利用伽馬函數(shù)變換公式

(20)

其中，z=0,-1,-2,-3…是Γ(z)的極點，因此，表示為超幾何函數(shù)的波函數(shù)漸近行為也取到極點0,-1,-2,-3，…，即

(21)

結合方程(9)、(14)，解析求解方程(21)，得到本征值滿足的方程：

(22)

2 討論

當參數(shù)De=0,V1=-1,V2=0,時，Hellmann-改良Kratzer勢場退化為屏蔽庫侖勢場[16]，取勢參數(shù)α=0.000 1數(shù)值計算本征值方程(22)和先前文獻[16]所得數(shù)據(jù)進行對比,見表1，本文所得數(shù)據(jù)也較好的逼近真實值.

表1 屏蔽庫侖勢場對應的特征值數(shù)值解Tab.1 Numerical results of eigenvalues of screened Coulomb potential

表2 改良Kratzer勢場對應的特征值數(shù)值解Tab.2 Numerical results of eigenvalues of modified Kratzer potential

當參數(shù)V1=0,V2=0，勢函數(shù)退化為改良的Kratzer勢場，數(shù)值求解本征值方程(22)時，可得到本征值E關于α的函數(shù)關系E(α)，計算時只需取α→0時E(α)的極限即可得到本文計算所得的改良Kratze勢場本征值數(shù)值解.同時，數(shù)值求解文獻[7]中方程(14)及利用程序包計算改良的Kratzer勢場的本征值數(shù)據(jù)，見表2. 本文所得數(shù)據(jù)和先前結果相同，并能有效近似精確值.

對于任意l態(tài)，給定參數(shù)De=5,re=1.6，數(shù)值求解本征值方程(22)，獲得的本征值數(shù)據(jù)和MATHEMATICA程序包所獲結果進行對比，數(shù)據(jù)見表3. 從數(shù)據(jù)對比結果分析，本文所取得近似公式(4)能有效的近似表達離心項，當α→0,本征值所得數(shù)據(jù)較好的逼近了真實值.

表3 特征值數(shù)值解Tab.3 Numerical results of eigenvalues

3 結論

對于本文新構造的Hellmann-改良Kratzer勢，利用近似公式近似表達徑向方程的離心項，把含有復雜Hellmann-改良Kratzer勢薛定諤方程轉化為可用超幾何函數(shù)表示解的微分方程，獲得了徑向波函數(shù)的解析解，推導出了散射態(tài)相移的公式. 利用束縛態(tài)能級在散射振幅的極點處取到的性質(zhì)，得到了本征值滿足的方程. 為了說明推導正確性，取定不同的參數(shù)，Hellmann-改良Kratzer勢退化為改良的Kratzer勢場和屏蔽庫侖勢場，利用本文所得數(shù)據(jù)和先前所得數(shù)據(jù)進行對比. 同時，屏蔽參數(shù)取不同值，數(shù)值計算了不同態(tài)本征值數(shù)據(jù)并和程序包所得數(shù)值對比，都驗證本文本征值數(shù)據(jù)較好的逼近了真實值.