崔海軍

（揚州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚州225127）

0 引言

受壓桿件的穩(wěn)定性計算是工程結(jié)構(gòu)中常見的分析問題［1］，如橋梁結(jié)構(gòu)中的桁架和高橋墩、鋼結(jié)構(gòu)工程中的斜梁、立柱［2］和支撐體系［3］、巖土工程中的鉆桿［4］以及工程建設(shè)中的腳手架桿件［5］。材料力學(xué)臨界力歐拉公式是在中心受壓直桿理想壓桿模型［6-7］、剪切變形忽略假定下推導(dǎo)的［8］。但由于桿件的初始曲率、豎向作用的初始偏心以及水平作用，必然導(dǎo)致壓桿的剪切變形［8］。

在以往文獻中，壓桿的臨界力按不同的約束條件，從壓桿的撓曲線近似微分方程求解，方法繁瑣，也不能全部推導(dǎo)證明［9］。文獻［10-11］利用彎矩微分方程和力的邊界條件推導(dǎo)了理想壓桿臨界力的歐拉公式，形成統(tǒng)一公式，簡化了推導(dǎo)過程［10-11］，但壓桿的穩(wěn)定問題的實質(zhì)是整體變形效應(yīng)問題，用力的邊界條件求解容易出現(xiàn)不確定和解的不一致問題［12］。文獻［9］以一端固定，一端鉸支的細長壓桿撓曲線微分方程推導(dǎo)了理想壓桿臨界力的歐拉公式，體現(xiàn)了桿的整體變形效應(yīng)［9］，但壓桿的撓曲位移僅為彎曲位移，沒有考慮剪切變形引起的位移，且壓桿失穩(wěn)模型上端鉸支，與不同約束條件下壓桿實際屈曲狀態(tài)不完全吻合。與文獻［9-11］不同，本文以細長壓桿在彎曲變形和剪切變形下平衡條件建立其撓曲線微分方程，推導(dǎo)不同約束邊界條件下考慮剪切變形影響下壓桿臨界力公式。

1 基本算式

如圖1所示，一發(fā)生剪切變形的細長受壓桿，下端固定，上端在平面內(nèi)自由。細長桿件受壓力F，同時在自由端附加一水平作用力FR，代替實際桿件在桿件上端可能受到的水平支反力，以及附加一外力偶MR，代替實際桿件在桿件上端可能受到的約束外力偶。壓桿彈性模量為E，橫截面慣性矩為I，剪切模量為G，橫截面積為A，自由端在平面內(nèi)微彎形態(tài)下平衡時最大水平位移為δ，建立圖示坐標系，則細長壓桿在垂直于軸線的總位移W（x）可表示為：

式中，wf（x）為彎曲變形引起的位移，ws（x）為剪切變形引起的位移。取距離細長壓桿下端x的截面，該截面的轉(zhuǎn)角為 φ（x），則 φ（x）為：

由材料力學(xué)知：

對于剪力Q（x），在文獻［12］按下式方法一選?。?/p>

在文獻［13-14］按下式方法二選?。?/p>

但是，在撓度變形問題中，sin［φ（x）］＝φ（x）偏差較大，一般不再成立。所以，方法二剪力取值既不適用于小撓度變形問題，也不適用于大撓度變形問題，僅適用于文獻［13-14］中所闡述的橡膠材料的臨界力計算。本文按照方法一進行考慮剪切變形狀態(tài)下的壓桿臨界力分析。

對于方法一：

式中，V為截面形狀系數(shù)，矩形截面取6/5，圓形截面取10/9。對于V的取值，文獻［16］尚有異議，因此，也有文獻取V為1，即忽略截面形狀系數(shù)。

對式（1）兩邊進行求導(dǎo)，并將式（2）和式（8）代入得：

由式（9）得：

對式（10）兩邊進行求導(dǎo)得：

將式（3）和式（4）代入式（11）得：

解此微分方程，通解為：

則w（x）的一階導(dǎo)數(shù)為

由式（9）及式（15）得：

圖1 壓桿計算模型

圖2 兩端鉸支壓桿失穩(wěn)模型

2 幾種桿端約束形式下考慮剪切變形的細長壓桿的臨界力

2.1 兩端鉸支的壓桿

如圖2所示，對于兩端鉸支的壓桿，δ＝0，MR＝0；由于壓桿上端水平支反力FR與下端水平支反力要平衡，構(gòu)成力偶，但桿件不受外力偶作用，因此FR＝0。位移邊界條件為：x＝0，w＝0；x＝l，w＝0。將邊界條件 x＝0，w＝0代入式（14）得：

B＝0

將邊界條件 x＝l，w＝0代入式（14）得：

A sin kl＝0

因為B＝0，A與B不可能同時為0，即A不等于0，則

sin kl＝0

由此求得 kl＝nπ，n＝0，1，2…

根據(jù)工程實際問題，取n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（17）中，當剪切剛度＝∞時

即為不考慮剪切變形時的歐拉公式。

2.2 一端固定，一端自由的壓桿

如圖3所示，對于一端固定，一端自由的細長壓桿，自由端不能提供水平支反力及約束力偶，因此FR＝0，MR＝0。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝δ。將邊界條件 x＝0，φ＝0代入式（16）得：

故A＝0

將FR＝0及位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

B＝-δ

將 x＝l，w＝δ代入式（14）得：

δ（1-cos kl）＝δ

則能使細長壓桿撓曲線成立的條件是：

cos kl＝0

從而得到

kl＝nπ/2，n＝1，3，5…

其最小解為n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（20）中，當剪切剛度＝∞時

即為不考慮剪切變形時的歐拉公式。

2.3 兩端固定的壓桿

如圖4所示，對于兩端固定的壓桿，δ＝0；由于兩端固定壓桿邊界約束、所受外力、變形對壓桿中點上下對稱，壓桿兩端所受約束外力偶相互平衡，而壓桿上端水平支反力FR與下端水平支反力要平衡，構(gòu)成力偶，但桿件除固定端約束外力偶作用，不受其它外力偶作用，因此FR＝0（也可以根據(jù)對稱條件，水平支反力對壓桿中點反對稱，直接判斷水平支反力 FR＝0）。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝0，φ＝0。

圖3 一端固定、一端自由壓桿失穩(wěn)模型

圖4 兩端固定壓桿失穩(wěn)模型

將位移邊界條件x＝0，φ＝0代入式（16）得

故A＝0

將位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

將位移邊界條件 x＝l，w＝0，φ＝0代入式（14）、式（16）得：

由此求得 kl＝2nπ，n＝0，1，2…

根據(jù)工程實際問題，取n＝1，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（20）中，當剪切剛度＝∞時

即為不考慮剪切變形時的歐拉公式。

2.4 一端固定、一端鉸支的壓桿

如圖5所示，對于一端固定、另一端鉸支的壓桿，δ＝0；上端鉸支座端不能提供約束力偶，因此MR＝0；下端固定端有約束外力偶，這就要求壓桿上端鉸支座提供水平支反力FR，以平衡固定端約束外力偶。位移邊界條件為：x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝0。

將位移邊界條件x＝0，w＝0代入式（14）得：

由壓桿受力特征分析知，壓桿下端剪力為-FR，則由式（5）、式（15）可得：

將位移邊界條件x＝l，w＝0代入式（14）得：

A sin kl+B cos kl＝0

將A、B代入上式得

tan kl＝kl

上式為超越方程，利用三角函數(shù)表或采用圖解法求解，求得最小正數(shù)值解

kl＝4.49

將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（26）中，當剪切剛度＝∞時

即為不考慮剪切變形時的歐拉公式。

圖5 一端固定、一端鉸支壓桿失穩(wěn)模型

圖6 一端固定、一端定向支撐壓桿失穩(wěn)模型

2.5 一端固定、一端定向支撐的壓桿

如圖6所示，一端固定、一端定向支撐的壓桿，即為兩端固定但可沿桿件橫向相對移動，因此FR＝0。根據(jù)桿件受力及變形的對稱性，對稱截面w（x/2）＝δ/2，M（x/2）＝0，則由式（4）得：

對于一端固定、一端定向支撐的壓桿，位移邊界條件為 x＝0，w＝0，φ＝0；x＝l，w＝δ，φ＝0。

將位移邊界條件 x＝0，w＝0及式（29）代入式（14）得

將位移邊界條件x＝0，φ＝0及式（28）代入式（16）得 A＝0

將位移邊界條件x＝l，w＝δ代入式（14）得

coskl＝-1

從而得到

其最小解為n＝0，將k代入式（13）得壓桿臨界壓力

式中

在式（30）中，當剪切剛度＝∞時

即為不考慮剪切變形時的歐拉公式。

3 考慮剪切變形狀態(tài)下壓桿臨界力統(tǒng)一公式

由2.1～2.5五種不同約束條件下考慮桿件剪切變形狀態(tài)下壓桿臨界力分析，其壓桿臨界力公式可以統(tǒng)一寫成

Fcr表達式與材料力學(xué)歐拉公式一致，為長度因素，兩端鉸支，μ＝1，一端固定、另一端自由μ＝2，兩端固定μ＝0.5，一端固定、另一端鉸支μ＝0.7，一端固定、另一端定向支撐μ＝1

4 結(jié)論

（1）提出了一端固定、另一端平面內(nèi)自由的細長壓桿考慮剪切變形下壓桿失穩(wěn)計算模型。

（2）對計算模型在剪切變形和彎曲變形平衡條件下推導(dǎo)細長壓桿統(tǒng)一的撓曲線方程w（x）和轉(zhuǎn)角方程φ（x），w（x）由彎曲位移和剪切位移兩部分組成，φ（x）為彎曲位移方程的一階導(dǎo)數(shù)。

（3）針對五種約束條件下的壓桿，利用統(tǒng)一的撓曲線方程w（x）和轉(zhuǎn)角方程φ（x）推導(dǎo)了考慮剪切變形狀態(tài)下壓桿穩(wěn)定的臨界力公式及統(tǒng)一公式。