一道賽題引出的一個(gè)有趣結(jié)論

楊云奎

我們知道，過(guò)中心對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)中心有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)將其面積等分，如圓是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都將其面積等分，對(duì)于非中心對(duì)稱(chēng)圖形，是否也存在過(guò)某個(gè)點(diǎn)也有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)將其面積等分呢？本文以一道全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題為例進(jìn)行探究，并給出了肯定的回答。

1 試題及參考解答

題目（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2010全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖l，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（O，O），A（O，6），B（4.6），C（4.4），D（6.4），E（6.0），若直線(xiàn)J經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2.3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線(xiàn)J的函數(shù)表達(dá)式是____，

解如圖2.延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F：連接OB，AF，連接CE，DF，且相交于點(diǎn)N

由已知得：點(diǎn)M（2.3）是OB，AF的交點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心。所以直線(xiàn)l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分，又因?yàn)辄c(diǎn)N（5.2）是矩形CDEF的中心，所以，過(guò)點(diǎn)N（5.2）的直線(xiàn)把矩形CDEF分成面積相等的兩部分，

于是，直線(xiàn)MN即為所求的直線(xiàn)l，

參考解答是基于對(duì)圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)了多邊形OABCDE的邊BC延長(zhǎng)后，可以把原多邊形分成兩個(gè)矩形，即矩形CDEF和矩形ABFO，

我們知道，矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)其對(duì)稱(chēng)中心的任一直線(xiàn)把它的面積平分，而題中要求的直線(xiàn)J經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)M恰是矩形ABFO的對(duì)稱(chēng)中心，因此只要寫(xiě)出另一矩形CDEF的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)，便能求得直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式，參考解答，確是按照這一思路求出了直線(xiàn)l函數(shù)表達(dá)式的，

2賽題的一般性解法

解設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2.3）直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，所以有3：2k+b，即b=-2k+3.此時(shí)直線(xiàn)l可表示為r=kx-2k+3.

5 結(jié)論

我們知道，過(guò)中心對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)中心的任一條直線(xiàn)都將其面積等分，對(duì)于非中心對(duì)稱(chēng)圖形，通過(guò)上述討論可以得出以下論斷：對(duì)于某些非中心對(duì)稱(chēng)圖形，存在兩個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)每一個(gè)點(diǎn)都有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)等分其面積。