親歷概念形成走向數(shù)學(xué)本質(zhì)

李志 何昌斌

解讀教材：

“負(fù)數(shù)”概念對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》要求學(xué)生“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活的一些量”。負(fù)數(shù)在生活中應(yīng)用廣泛，教材例1通過(guò)中央電視臺(tái)發(fā)布的6個(gè)城市某一天的氣溫預(yù)報(bào)，讓學(xué)生先認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，知道負(fù)數(shù)的讀法和寫(xiě)法，并借助某一時(shí)刻具體的溫度，初步理解負(fù)數(shù)所表示的含義。例2通過(guò)存折明細(xì)中存入和支出的對(duì)比，進(jìn)一步體會(huì)正數(shù)、負(fù)數(shù)可以表示兩種相反意義的量。例3安排一個(gè)活動(dòng)情境，在一條直線上，從一點(diǎn)向兩個(gè)相反方向行走，可以用正數(shù)、0和負(fù)數(shù)表示行走的距離和方向，從而完善數(shù)軸的基本模型。知道每一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，滲透數(shù)軸的概念，形成數(shù)的比較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感受數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想。

研究歷程：

第一次教學(xué)活動(dòng)：

教者在研究了人教版教材，查閱大量文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，獨(dú)立設(shè)計(jì)，完成第一次教學(xué)。她的總體思路是學(xué)生在天氣預(yù)報(bào)視頻播放的過(guò)程中找到負(fù)數(shù)和正數(shù)（-5℃和+5℃），在溫度表中表示;接下來(lái)在6個(gè)城市的天氣預(yù)報(bào)中找到比5攝氏度高的溫度，比負(fù)5攝氏度低的溫度，初步感知理解負(fù)數(shù)，理解0攝氏度是零上溫度和零下溫度的分界點(diǎn)，通過(guò)溫度對(duì)比讓學(xué)生初步理解相反意義的量;然后從生活中的正、負(fù)數(shù)中選擇有代表性的四組，讓學(xué)生自己探究，再通過(guò)研究過(guò)程中出現(xiàn)的相反意義的詞語(yǔ)歸納概括正、負(fù)數(shù)的意義，最后介紹負(fù)數(shù)歷史、知識(shí)應(yīng)用和總結(jié)。

在溫度中初步認(rèn)識(shí)和感知正、負(fù)數(shù)：

師：這是中央電視臺(tái)的天氣預(yù)報(bào)，老師摘出視屏資料里的幾個(gè)城市的天氣情況。觀察這幾個(gè)城市的天氣預(yù)報(bào)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（學(xué)生有些懵。）

生1：有的數(shù)字前面有個(gè)減號(hào)，表示零下溫度。

生2：?？诘淖罡邭鉁厥?8攝氏度。

生3：南京的氣溫是-2 度 到6度。

師：像剛才同學(xué)們用來(lái)表示零下溫度的-3是負(fù)數(shù)。（板書(shū)：負(fù)數(shù)。）這個(gè)“-”表示負(fù)號(hào)，-3讀作負(fù)三。如：-3攝氏度表示零下3攝氏度，讀作負(fù)三攝氏度;比0攝氏度高的溫度叫零上溫度，在數(shù)字前面加“+”（正號(hào)），一般情況下可省略不寫(xiě)。如：18攝氏度，23攝氏度。（板書(shū)兩個(gè)正數(shù)。）18攝氏度表示零上18攝氏度，讀作正十八攝氏度，也可以寫(xiě)作18攝氏度，讀作18攝氏度。

師：你能在溫度計(jì)上找到-5和5嗎？（課件上出示沒(méi)有刻度的溫度計(jì)。）

生：老師，我覺(jué)得在這里不能找到這兩個(gè)溫度。

師：為什么？

生：因?yàn)闆](méi)有0攝氏度。

師：（課件出示刻度表中刻度數(shù)字。）現(xiàn)在呢？

生：（學(xué)生指）5攝氏度是比0攝氏度高的溫度;-5攝氏度是表示比0攝氏度低的溫度。（學(xué)生指溫度，課件顯示。）

師：0在這里是什么作用呢？

生：0把零上溫度和零下溫度分開(kāi)。

師（補(bǔ)充）：也就是高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度，對(duì)嗎？

生：對(duì)。

師：是的，0攝氏度就是淡水開(kāi)始結(jié)冰的溫度。剛才同學(xué)們找的5攝氏度和-5攝氏度，哪個(gè)溫度更低一些，為什么？

生：-5攝氏度更低一些，-5攝氏度比0攝氏度溫度還低，5攝氏度是比0攝氏度更暖和的溫度，所以-5攝氏度的溫度更低一些。

師：在這一時(shí)期內(nèi)，有比負(fù)5攝氏度還低的溫度嗎？

生：有銀川、哈爾濱，這一時(shí)間內(nèi)，最低氣溫最低的是哪個(gè)城市呢？

師：是多少？（-27攝氏度。）他們?cè)摯┦裁?？（課件出示穿厚衣服和薄衣服進(jìn)行對(duì)比。）

師：這一時(shí)間內(nèi)，最高氣溫最高的是哪個(gè)城市呢？是多少？

生：臺(tái)北。

師：這里的學(xué)生穿什么？

生：23攝氏度，穿短袖。（課件出示溫度計(jì)和衣服。）

接下來(lái)就是找生活中的負(fù)數(shù)，表示生活中的四組負(fù)數(shù)。和今天是一樣的，就是在四組負(fù)數(shù)之后多了一個(gè)辨析環(huán)節(jié)，即練習(xí)題的第四題。

…………

第一次課后研討

課后研討中，大家認(rèn)為從目標(biāo)達(dá)成來(lái)看，基本實(shí)現(xiàn)了預(yù)設(shè)的目標(biāo);從學(xué)習(xí)活動(dòng)上來(lái)看，學(xué)生的主體地位得到了體現(xiàn)。學(xué)生在自主探究生活中四個(gè)負(fù)數(shù)意義活動(dòng)中非常投入，通過(guò)畫(huà)圖、語(yǔ)言、等方式充分理解了負(fù)數(shù);從教學(xué)活動(dòng)上看，重點(diǎn)突出，學(xué)生在研究溫度、表示四組負(fù)數(shù)的含義和概念辨析中逐漸理解了負(fù)數(shù)的意義。學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，也理解并發(fā)現(xiàn)了正數(shù)和負(fù)數(shù)是兩種表示相反意義的量。

但是，研修團(tuán)隊(duì)討論認(rèn)為：本節(jié)課把教學(xué)重點(diǎn)放在了學(xué)生的探究活動(dòng)，理解正、負(fù)數(shù)意義內(nèi)涵中，忽略了正數(shù)、負(fù)數(shù)的形成過(guò)程。課堂從導(dǎo)入的生活素材中找到負(fù)數(shù)，再在溫度表中表示負(fù)數(shù)、理解負(fù)數(shù)這一環(huán)節(jié)也就是第一個(gè)活動(dòng)（教學(xué)例1）完全遵從了教材的安排，學(xué)生從生活中找到負(fù)數(shù)——在溫度表上指出負(fù)數(shù)——說(shuō)負(fù)數(shù)的含義，沒(méi)有讓學(xué)生經(jīng)歷負(fù)數(shù)的產(chǎn)生形成過(guò)程，沒(méi)有為學(xué)生建構(gòu)負(fù)數(shù)的概念的過(guò)程。他們對(duì)負(fù)數(shù)概念的理解是在第二個(gè)活動(dòng)中才逐漸深刻的，所以學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)理解在第一個(gè)活動(dòng)中只停留在表象，天氣預(yù)報(bào)導(dǎo)入的這個(gè)素材沒(méi)有發(fā)揮到它應(yīng)有的作用。

針對(duì)這一問(wèn)題，團(tuán)隊(duì)給出的建議：我們?cè)谪?fù)數(shù)教學(xué)時(shí)一定讓學(xué)生感受到需要用負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)才產(chǎn)生，一定要經(jīng)歷負(fù)數(shù)的抽象、形成、概括的形成過(guò)程，學(xué)生才能對(duì)負(fù)數(shù)有深刻理解。應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從語(yǔ)言表示正、負(fù)溫度到用簡(jiǎn)潔明了的形式表示用正、負(fù)溫度數(shù)。讓學(xué)生感受負(fù)數(shù)是因?yàn)槲覀冃枰女a(chǎn)生的，教師帶著學(xué)生經(jīng)歷負(fù)數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程，才能讓學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)有深刻的理解。

大家的研討帶給筆者很深的觸動(dòng)和思考。對(duì)教材有了質(zhì)疑以后，筆者查閱北師大版、蘇教版教材，對(duì)三個(gè)版本的教材進(jìn)行了橫向梳理。發(fā)現(xiàn)三個(gè)版本的教材都以溫度為主要情境引入正負(fù)數(shù)，但在處理上是不同的。

人教版是直接出示溫度（正、負(fù)數(shù)寫(xiě)法），讓學(xué)生在溫度計(jì)上找溫度并理解正、負(fù)數(shù)的含義。

北師大版（四年級(jí)上冊(cè)）是出示溫度的文字?jǐn)⑹龇绞?，讓學(xué)生想辦法表示兩個(gè)溫度，學(xué)生在溫度計(jì)上表示——用箭頭等符號(hào)——再到正數(shù)和負(fù)數(shù)，也是經(jīng)歷了一個(gè)概念的形成過(guò)程，從而認(rèn)識(shí)正數(shù)和負(fù)數(shù)。（類似以上教學(xué)片段。）

蘇教版（五年級(jí)上冊(cè)）是出示三個(gè)城市的圖片，并一個(gè)圖片配一個(gè)溫度計(jì)，讓學(xué)生自己觀察，并說(shuō)出發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生先從溫度計(jì)上認(rèn)識(shí)零上溫度和零下溫度，再揭示零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負(fù)數(shù)表示，從而認(rèn)識(shí)正數(shù)、負(fù)數(shù)。

從教材梳理中，筆者有以下思考：人教版安排在六年級(jí)下冊(cè)，編者是不是認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)有了科學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和以往的生活經(jīng)驗(yàn)，以為對(duì)溫度中的負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)就簡(jiǎn)單容易，所以才看到溫度（用正、負(fù)數(shù)表示的溫度）來(lái)解釋正、負(fù)數(shù)的含義，但實(shí)際上這樣教學(xué)學(xué)生并沒(méi)有理解。是地域的差異？還是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)的差異？概念教學(xué)不讓學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生形成過(guò)程，只讓學(xué)生在活動(dòng)中理解概念的含義是符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律嗎？

再者：數(shù)軸是本節(jié)課的后續(xù)學(xué)習(xí)，怎么恰當(dāng)把握本節(jié)課的教學(xué)要求，給后續(xù)學(xué)習(xí)做好思維鋪墊呢？

帶著這樣的思考，筆者進(jìn)行了二次備課，將原有的思路調(diào)整為：讓學(xué)生在聽(tīng)溫度、找溫度、表示溫度、對(duì)比優(yōu)化表示方法中感受負(fù)數(shù)的形成過(guò)程，讓學(xué)生在思考、操作、對(duì)比、觀察、優(yōu)化的過(guò)程中，深刻認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)在溫度中的應(yīng)用，從而在第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中對(duì)負(fù)數(shù)有清晰深刻的認(rèn)識(shí)。從教學(xué)實(shí)際情況來(lái)看，二次課堂實(shí)踐發(fā)生了如下變化：

第二次教學(xué)活動(dòng)：

在溫度中初步認(rèn)識(shí)和感知正、負(fù)數(shù)：

師：這是中央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)中的一段視頻。請(qǐng)大家仔細(xì)聽(tīng)，看看你能得到哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：北京是零下9度到2度。

生2：天津的最高氣溫和最低氣溫是零下5攝氏度和5攝氏度。（出示卡片。）

師：你能在這里找到零下5攝氏度和5攝氏度嗎？（出示黑板右邊沒(méi)有刻度的溫度計(jì)。）

生：不能。

師：為什么？

生：因?yàn)闆](méi)有0攝氏度。

師：也就是說(shuō)找5攝氏度和零下5攝氏度首先要確定哪個(gè)溫度？

生：在這中間找一個(gè)刻度當(dāng)成0攝氏度。

師：（標(biāo)上0）可以嗎？（師再標(biāo)上刻度）現(xiàn)在能來(lái)指一指這兩個(gè)溫度嗎？

生：（邊指邊說(shuō)）5攝氏度比0攝氏度高5度，在0攝氏度的上面找出5攝氏度;零下5攝氏度是比0攝氏度低5度，在0攝氏度的下面找出5攝氏度。（卡片貼在這里。板書(shū)：高于、低于。）

師：（把5攝氏度換成零下5攝氏度的卡片。）也就是說(shuō)5攝氏度是零上5攝氏度，是嗎？

師：零上5攝氏度可以在這里嗎？（指著零下5攝氏度的地方。）為什么？

生：因?yàn)?攝氏度是比0攝氏度高的溫度，應(yīng)該在比0攝氏度高5度的地方。

師：零下5攝氏度可以在這里嗎？（指著零上5攝氏度度的地方。）為什么？

生：因?yàn)榱阆?攝氏度是比0攝氏度低5度的地方，應(yīng)該在比0攝氏度低5度的地方。

師：0在這里是什么作用呢？

生：0有分界的作用，高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度。

師：是的，0攝氏度就是淡水開(kāi)始結(jié)冰的溫度。我們以0攝氏度為分界點(diǎn)，比0攝氏度高5度的溫度是零上5攝氏度，比0攝氏度低5度的溫度是零下5攝氏度。

師：那么，除了用文字?jǐn)⑹霰硎具@兩個(gè)溫度，你能用更簡(jiǎn)潔的方式記錄這兩個(gè)溫度嗎？（拿兩張卡片貼在黑板中間。）

（學(xué)生試著寫(xiě)一寫(xiě)，找人寫(xiě)在黑板上。）

生1：三角符號(hào)。

生2：箭頭。

生3：+5攝氏度? ?-5攝氏度。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

師：看這三種，你更喜歡哪一種？為什么？

生：加號(hào)、減號(hào)表示更清楚，而且是以0攝氏度為標(biāo)準(zhǔn)，更形象。

師：是呀，這樣表示確實(shí)簡(jiǎn)潔形象。我覺(jué)得大家真的是有當(dāng)數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)。同學(xué)們，（指-5 ）這樣的數(shù)是負(fù)數(shù)，前面的小短橫是符號(hào)，讀作負(fù)5（教讀）;比0攝氏度高的溫度是零上溫度，在數(shù)字前面加“+”，讀作正號(hào)，一般也可以不寫(xiě)。讀作5攝氏度。

進(jìn)一步感受正數(shù)和負(fù)數(shù)。

師：這個(gè)溫度你能用剛才創(chuàng)造的形式表示出來(lái)嗎？（師出示卡片：-19℃? ?+20℃，學(xué)生說(shuō)老師寫(xiě)。）

師：-19℃和-5℃相比，誰(shuí)更低呢？能說(shuō)說(shuō)嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰(shuí)的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度。所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學(xué)生穿什么？

生：棉襖。（課件出示。）

師：+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起。

二次研討中，大家充分肯定了筆者的設(shè)計(jì)思路，認(rèn)為本次課堂教學(xué)目標(biāo)明確，思路清晰，重點(diǎn)突出，負(fù)數(shù)經(jīng)歷了從產(chǎn)生到形成的過(guò)程。概念經(jīng)過(guò)直觀感知——建立表象——揭示本質(zhì)的過(guò)程，學(xué)生深刻理解了正數(shù)、負(fù)數(shù)概念的含義，尤其是學(xué)生的思維，積極活躍，主動(dòng)性更強(qiáng)。同時(shí)，也提出了一個(gè)新問(wèn)題：溫度示意圖中左邊是以0為分界點(diǎn)，上面和下面的數(shù)字一樣，而右邊是+5℃和-5℃，是不是有些不妥，而這個(gè)圖不是真正意義上的溫度計(jì)，是不是能把溫度示意圖變成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)軸的一個(gè)思維啟發(fā)點(diǎn)呢？

再者總結(jié)正、負(fù)數(shù)是表示相反的兩個(gè)量之后，再來(lái)概念辨析顯得有些零碎，應(yīng)把這一環(huán)節(jié)調(diào)整到練習(xí)環(huán)節(jié)，一氣呵成，準(zhǔn)確把握概念的生長(zhǎng)點(diǎn)、連接點(diǎn)，形成概念體系。

第三次教學(xué)活動(dòng)：

根據(jù)大家的建議，第三版的教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者調(diào)整為：在學(xué)生第一個(gè)互動(dòng)的第二個(gè)片段匯報(bào)中，教師適時(shí)加上正號(hào)和負(fù)號(hào)。在課結(jié)束的時(shí)候讓學(xué)生想象假如把這個(gè)溫度計(jì) 倒過(guò)來(lái)，變成了什么，接著動(dòng)畫(huà)演示，旨在學(xué)生的心目中做一個(gè)知識(shí)的延伸點(diǎn)，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，并把概念辨析環(huán)節(jié)調(diào)整到練習(xí)應(yīng)用環(huán)節(jié)，增強(qiáng)教學(xué)的有效性，使學(xué)生在不斷擴(kuò)展的認(rèn)識(shí)中逐步形成概念網(wǎng)絡(luò)。

從課堂實(shí)踐情況來(lái)看，第三版的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了概念的產(chǎn)生、形成、內(nèi)化、應(yīng)用的過(guò)程，層層深入，更重要的是讓本節(jié)課的知識(shí)也得到延伸，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做了鋪墊。以下是課堂教學(xué)中的片段：

感知正、負(fù)數(shù)：

在指明了兩個(gè)簡(jiǎn)潔的方式是正數(shù)和負(fù)數(shù)后：

師：那這個(gè)溫度你能用剛才創(chuàng)造的形式表示出來(lái)嗎？（師出示卡片。）

-19℃? ?+20℃

師：-19℃和-5℃相比，誰(shuí)更低呢？能說(shuō)說(shuō)嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：這個(gè)地方就應(yīng)該是-10℃、-20℃、+5℃ +10℃ 。（師在刻度上補(bǔ)充負(fù)數(shù)和正數(shù)。）

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰(shuí)的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度，所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學(xué)生穿什么？

生：棉襖。

師：（課件出示。）+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起，我要為大家的思考探究能力點(diǎn)贊。

從三次課堂實(shí)踐、三次研討中看出，第三次的教學(xué)設(shè)計(jì)真正讓學(xué)生體驗(yàn)了概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了概念是因?yàn)樾枰a(chǎn)生，教學(xué)目標(biāo)的定位更加準(zhǔn)確，重點(diǎn)更加突出，更注重了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，更突出了學(xué)生的主體地位;更加關(guān)注了概念的產(chǎn)生、需要、形成、內(nèi)化、應(yīng)用的發(fā)展過(guò)程;幫學(xué)生建構(gòu)了完整的知識(shí)體系，加深學(xué)生對(duì)數(shù)概念的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)系擴(kuò)充的必要性，抓住了概念教學(xué)的本質(zhì)屬性。

反思成果：

人們常說(shuō)：“教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法。”確實(shí)，教學(xué)方法可以不同，但教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)必須把握住。我們一致認(rèn)為：概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)把握，應(yīng)落腳在概念內(nèi)涵意義上。

1.經(jīng)歷概念的形成過(guò)程。核心環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)的組織，不管是設(shè)計(jì)怎樣的活動(dòng)，都要讓學(xué)生在自主參與中經(jīng)歷概念的形成過(guò)程。

2.深化概念的本質(zhì)內(nèi)涵。對(duì)負(fù)數(shù)意義的把握要注重整體結(jié)構(gòu)的把握，要在探究素材的選擇、知識(shí)靈活應(yīng)用環(huán)節(jié)巧妙設(shè)計(jì)，抓住概念的內(nèi)涵和外延，注重豐富學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。

3.體驗(yàn)概念的價(jià)值意蘊(yùn)。負(fù)數(shù)概念的建構(gòu)具有特殊性，從熟悉的生活情境中來(lái)，進(jìn)一步理解內(nèi)涵，抽象至數(shù)學(xué)模型后，又回歸于生活情境中的應(yīng)用。這樣動(dòng)態(tài)推進(jìn)的概念學(xué)習(xí)核心環(huán)節(jié)與層層遞進(jìn)的后續(xù)練習(xí)，后續(xù)活動(dòng)也是對(duì)概念實(shí)質(zhì)把握的漸進(jìn)與深化過(guò)程。且時(shí)時(shí)刻刻都在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生體驗(yàn)著負(fù)數(shù)概念的價(jià)值意蘊(yùn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。

編輯/魏繼軍