白雪寧，楊向宇，趙世偉

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣東 廣州 510641)

0 引言

近兩年，永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor，PMSM)被廣泛應(yīng)用于各類位置控制系統(tǒng)。傳統(tǒng)的系統(tǒng)廣泛采用PID控制器，但在日益復(fù)雜的工況下難以保證系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[1]在傳統(tǒng)PID三閉環(huán)串級(jí)控制結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，引入負(fù)載觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)位置無差跟蹤。文獻(xiàn)[2]將反步控制與非奇異終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合，并使用終端滑模負(fù)載觀測(cè)器，有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)位置的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[3]研究了變切換增益的滑模控制器與降階負(fù)載觀測(cè)器，使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能以及魯棒性。文獻(xiàn)[4]采用無源性控制算法，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)使系統(tǒng)具有良好的跟蹤性及抗擾性。文獻(xiàn)[5]研究了基于細(xì)菌覓食優(yōu)化算法的模糊控制，有效提高了系統(tǒng)的快速性和準(zhǔn)確性。

針對(duì)PMSM位置控制系統(tǒng)，本文采用分?jǐn)?shù)階微積分，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模控制算法(fractional order SMC，F(xiàn)OSMC)。針對(duì)電機(jī)運(yùn)行時(shí)的負(fù)載擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了降階Luenberger負(fù)載觀測(cè)器。最后使用Matlab/Simulink對(duì)本文設(shè)計(jì)的控制器與傳統(tǒng)PID控制器以及整數(shù)階滑?？刂破?SMC)進(jìn)行了仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了分析和比較。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

本文研究PMSM轉(zhuǎn)子永磁體為表貼結(jié)構(gòu)，定子繞組為Y型聯(lián)接。因此d、q軸繞組電感相等，即Ld=Lq；忽略定子電樞反應(yīng)、磁路飽和及鐵耗，通過恒幅值dq0變換，得到PMSM在dq坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型。

定子電壓方程如下所示：

(1)

本文采用id=0的控制策略，電磁轉(zhuǎn)矩方程如下：

Te=1.5ktiq

(2)

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程如下所示：

(3)

式中：id、ud，iq、uq分別為定子繞組d軸與q軸的電流和電壓；Rs為定子繞組電阻；ψf為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈；np為電機(jī)極對(duì)數(shù)；ωe為電機(jī)電角速度；kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；J為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為電機(jī)黏滯系數(shù)；θe為轉(zhuǎn)子電角度。

2 分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分

根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)隨時(shí)間平緩衰減的特性[6-8]，在SMC的基礎(chǔ)上引入分?jǐn)?shù)階微積分，構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模面。

首先對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)作簡要闡述。由于Caputo定義下的分?jǐn)?shù)階微分方程與整數(shù)階微分方程有相同的初始條件，具有明確的物理意義，在工程領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛，故采用Caputo定義。設(shè)函數(shù)g(t)為定義在區(qū)間[a,b]上的m階導(dǎo)數(shù)可積的函數(shù)，則Caputo分?jǐn)?shù)階微積分統(tǒng)一定義如式(4)所示。

(4)

將上式做拉氏變換如式(5)所示。

(5)

式中g(shù)(k)(0)為系統(tǒng)初始狀態(tài)k階導(dǎo)數(shù)。

為便于本節(jié)的分?jǐn)?shù)與整數(shù)階微分運(yùn)算，定義微分算子如下 ：

(6)

式中：C表示被微(積)分函數(shù)定義域，λ∈Q。

實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分有多種算法，本文采用Oustaloup有理逼近算法[6]，通過窄帶寬濾波器級(jí)聯(lián)而成。假定選擇擬合頻率段為[ωl,ωh]，則可以構(gòu)造出連續(xù)窄帶寬濾波器傳遞函數(shù)如下式：

(7)

分?jǐn)?shù)階微積分比整數(shù)階微積分具有更多的自由度[6-11]，通過合理選擇分?jǐn)?shù)階次α，可獲得更好的控制效果。

2.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

(8)

令s=0，所得方程表示分?jǐn)?shù)階線性定常系統(tǒng)。根據(jù)分?jǐn)?shù)階線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件[10-12]：當(dāng)c1>0時(shí)，若式(9)成立，則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

(9)

式中arg(·)為輻角主值。

為了削弱系統(tǒng)抖振，常用的方法是采用邊界層引入飽和函數(shù)，一定程度會(huì)上降低系統(tǒng)的魯棒性。因此為兼顧系統(tǒng)的魯棒性，確保系統(tǒng)相軌跡接近平衡點(diǎn)時(shí)不會(huì)產(chǎn)生較大抖動(dòng)，遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)增大等速趨近的權(quán)重，使系統(tǒng)能夠更快地到達(dá)平衡點(diǎn)，本文改進(jìn)趨近律如下：

(10)

式中：M>0；sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

對(duì)式(8)求一階導(dǎo)，得

(11)

對(duì)式(11)求(1-α)階導(dǎo)，并將式(2)、式(3)代入，得

(12)

式中Kt=1.5kt。

聯(lián)立式(10)、式(12)，求得滑?？刂坡嗜缦拢?/p>

(13)

選取李亞普諾夫函數(shù)如下：

(14)

(15)

分析可知：

(16)

故本文設(shè)計(jì)的FOSMC是穩(wěn)定的。

3 負(fù)載觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)電機(jī)運(yùn)行時(shí)負(fù)載擾動(dòng)不確定，為使系統(tǒng)能夠無差跟蹤位置指令，本文設(shè)計(jì)了降階Luenberger負(fù)載觀測(cè)器，將觀測(cè)值補(bǔ)償給控制器。由于控制器采樣周期較短，將負(fù)載擾動(dòng)視為常量。選取狀態(tài)變量x=[ωeTL]T，輸入變量u=iq，輸出變量為y=ωe。狀態(tài)方程與輸出方程如下：

(17)

(18)

式中G=[g1g2]T，為觀測(cè)器狀態(tài)反饋矩陣。

(19)

對(duì)式(19)作拉氏變換，可得觀測(cè)誤差方程的特征方程如下：

(20)

通過合理設(shè)計(jì)g1、g2，使特征方程具有負(fù)實(shí)部的根，則可保證觀測(cè)器穩(wěn)定收斂。

4 系統(tǒng)仿真與分析

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)算法的有效性，利用Matlab/Simulink搭建系統(tǒng)仿真模型。圖1為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)采用id=0的矢量控制，采用電流、位置雙閉環(huán)控制方法。電流內(nèi)環(huán)使用比例控制器，位置外環(huán)采用FOSMC。采用Luenberger負(fù)載觀測(cè)器來觀測(cè)外界負(fù)載擾動(dòng)，將觀測(cè)值作為補(bǔ)償輸入FOSMC。仿真使用的電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 PMSM部分參數(shù)

為對(duì)比各控制器性能，僅改變位置環(huán)控制器(SMC的趨近律與FOSMC保持一致)，系統(tǒng)其余結(jié)構(gòu)保持不變。

仿真時(shí)位置指令采用方波指令，周期1.5s，幅值90°，仿真時(shí)長6s。電機(jī)首先空載運(yùn)行，在1.2s時(shí)突加0.5N·m負(fù)載作為外界負(fù)載擾動(dòng)。為了更接近實(shí)際系統(tǒng)，電流控制器輸出限幅。

圖2 位置響應(yīng)波形

圖3 控制器電流指令與實(shí)際電流波形

如圖2(b)，當(dāng)電機(jī)空載運(yùn)行時(shí)，F(xiàn)OSMC系統(tǒng)與SMC與PID系統(tǒng)相比，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，且?guī)缀鯚o超調(diào)；系統(tǒng)在指令位置穩(wěn)定時(shí)，無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 負(fù)載觀測(cè)器觀測(cè)波形

如圖2(c)，當(dāng)給電機(jī)突加負(fù)載時(shí)，位置均會(huì)受到擾動(dòng)，F(xiàn)OSMC系統(tǒng)受擾動(dòng)影響最小且最快恢復(fù)無差跟蹤，動(dòng)態(tài)性能略優(yōu)于SMC系統(tǒng)以及PID系統(tǒng)。

對(duì)比圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)的局部放大部分，可以看出，F(xiàn)OSMC系統(tǒng)的控制指令較SMC系統(tǒng)與PID系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程更加平緩，有利于轉(zhuǎn)矩輸出更加平緩。

從仿真結(jié)果中可看出，在負(fù)載轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生擾動(dòng)后，F(xiàn)OSMC系統(tǒng)相比較于SMC系統(tǒng)與PID系統(tǒng)表現(xiàn)出更好的魯棒性，同時(shí)其動(dòng)態(tài)性能也優(yōu)于SMC系統(tǒng)與PID系統(tǒng)。

5 結(jié)語

綜上所述，本文針對(duì)PMSM位置控制系統(tǒng)構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞑⑨槍?duì)外部負(fù)載擾動(dòng)的不確定性，設(shè)計(jì)了降階Luenberger負(fù)載觀測(cè)器。最后使用Matlab/Simulink搭建系統(tǒng)仿真模型，進(jìn)行了算法驗(yàn)證。將仿真結(jié)果分別與采用整數(shù)階滑模控制器與傳統(tǒng)PID控制器的系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比可知，本文設(shè)計(jì)的基于負(fù)載觀測(cè)器的PMSM分?jǐn)?shù)階滑模位置控制系統(tǒng)具有調(diào)節(jié)時(shí)間短、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)外部負(fù)載擾動(dòng)具有較強(qiáng)魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，在位置伺服控制領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景。