分區(qū)最大化色域邊界描述器的空區(qū)插值算法

朱 明，趙興運(yùn)

河南工程學(xué)院，鄭州450007

1 引言

在跨媒體圖像復(fù)制中，需要把圖像顏色從源設(shè)備色域映射到目標(biāo)設(shè)備色域內(nèi)。能否精確地描述圖像和設(shè)備的色域邊界直接影響著色域映射精度的高低[1-3]。在圖像復(fù)制領(lǐng)域中，當(dāng)前有兩種應(yīng)用較為廣泛的色域邊界描述器。第一種是基于凸殼“充放氣”的色域邊界描述算法[4-6]。該方法首先對(duì)顏色樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性變換，使得變換后的數(shù)據(jù)更接近凸集，然后進(jìn)行凸殼計(jì)算，獲得色域邊界。凸殼算法需要將顏色樣本點(diǎn)進(jìn)行包扎，計(jì)算量較大，而且需要提前對(duì)色域形狀作出假設(shè)。對(duì)于設(shè)備色域的計(jì)算來(lái)說(shuō)，作出此假設(shè)非常有效。但對(duì)于圖像色域來(lái)說(shuō)，由于凸殼性并非圖像色域的屬性，因此該算法不能很好地描述非凸色域邊界，可能會(huì)影響某些圖像的色域邊界計(jì)算精度。

針對(duì)凸殼算法存在的問(wèn)題，Morovi? J 和Luo M R又設(shè)計(jì)了分區(qū)最大化色域邊界描述器（Segment Maxima Gamut Boundary Descriptor，SMGBD）[7-8]。該方法先根據(jù)明度軸和色調(diào)角將CIELAB 顏色空間按照球坐標(biāo)進(jìn)行區(qū)域等分，并將分割后的子區(qū)域內(nèi)具有最大球坐標(biāo)半徑的顏色樣本點(diǎn)進(jìn)行存儲(chǔ)，最后根據(jù)子區(qū)域的鄰接關(guān)系把各分區(qū)的顏色樣本點(diǎn)進(jìn)行連接，以獲得色域邊界。SMGBD無(wú)需對(duì)色域形狀作出預(yù)先假設(shè)，因此該方法對(duì)于設(shè)備和圖像色域均有較好的描述效果。更重要的是，區(qū)域分割法還提供了線色域邊界（Line Gamut Boundary，LGB）的計(jì)算方法，可以方便地應(yīng)用于色域映射。

憑借上述優(yōu)點(diǎn)，SMGBD 成為目前應(yīng)用較為廣泛的色域邊界描述器。但該方法在提出時(shí)仍存在一些問(wèn)題：（1）由于不同圖像的顏色分布特征不同，因此在計(jì)算圖像色域邊界時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)許多分區(qū)缺失邊界點(diǎn)的情況。這就需要對(duì)缺失邊界點(diǎn)的分區(qū)進(jìn)行插值，否則會(huì)嚴(yán)重影響圖像色域邊界的描述精度。（2）在空區(qū)插值后，針對(duì)相鄰分區(qū)邊界點(diǎn)連線與等色相面的重合所導(dǎo)致的線色域邊界計(jì)算問(wèn)題，也需要設(shè)計(jì)出合理的解決方案。本文在深入分析SMGBD的基礎(chǔ)上，提出了一種基于相鄰分區(qū)加權(quán)平均的空缺分區(qū)插值算法，并在此基礎(chǔ)上研究了線色域邊界的計(jì)算以及對(duì)異常問(wèn)題的處理。借助色域映射的方式，本文設(shè)計(jì)了心理物理學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)評(píng)價(jià)色域空區(qū)插值算法的效果，同時(shí)還測(cè)試了算法的計(jì)算效率。

2 基于相鄰分區(qū)加權(quán)平均的色域空區(qū)插值算法

2.1 插值算法的設(shè)計(jì)原理

圖1顯示了SMGBD對(duì)CIELAB球體顏色空間的6×6區(qū)域分割情況，圖中標(biāo)識(shí)的分區(qū)即為一個(gè)邊界點(diǎn)空缺分區(qū)。先將空缺分區(qū)的邊界點(diǎn)位置確定在該分區(qū)的中心，在已知分區(qū)數(shù)量的情況下，可以很容易地求出該空缺分區(qū)邊界點(diǎn)的球坐標(biāo)角度α 和θ；然后再利用鄰域加權(quán)平均法插值計(jì)算出該分區(qū)邊界點(diǎn)的球坐標(biāo)半徑r ：即以空缺分區(qū)為中心，分別沿圖2 所示的搜索路徑（向上，下，順時(shí)針，逆時(shí)針?lè)较颍┎檎蚁噜彿謪^(qū)的邊界點(diǎn)?？梢悦黠@看出：該插值搜索算法的基本原理是對(duì)各方向的鄰域由近及遠(yuǎn)逐一搜索（若當(dāng)前分區(qū)為空，則按箭頭所指路徑搜索下一分區(qū)，直到在這一方向上找到非空分區(qū)為止），這樣才能確保最終得到的插值鄰域?yàn)樵摲较蚓嚯x中心最近的非空分區(qū)。搜索完成后，將各鄰域分區(qū)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)半徑r 進(jìn)行加權(quán)平均，各相鄰分區(qū)對(duì)應(yīng)的權(quán)重值與其和中心空區(qū)的距離成反比。需要注意：插值計(jì)算完成后，需要根據(jù)插值邊界點(diǎn)的球坐標(biāo)半徑r 再計(jì)算出邊界點(diǎn)的明度值，并判斷該值是否超出明度L*軸的范圍[0，100]，若超出范圍，則需要進(jìn)行數(shù)據(jù)規(guī)范化處理。

圖1 CIELAB球體顏色空間的區(qū)域分割情況（6×6分區(qū)）

圖2 插值算法的搜索路徑（從空缺分區(qū)向四個(gè)方向的相鄰分區(qū)）

2.2 線色域邊界的計(jì)算及異常問(wèn)題的處理

空區(qū)插值完成后，針對(duì)色域映射的具體應(yīng)用，還需要計(jì)算每個(gè)待映射顏色在等色相面內(nèi)的線色域邊界（LGB）。圖3 顯示了線色域邊界的計(jì)算原理：首先在CIELAB球坐標(biāo)系的水平方向上，逐行判斷待映射顏色所處的等色相角平面的左右相鄰分區(qū)，然后依次連接左右相鄰兩個(gè)分區(qū)的邊界點(diǎn)，這些連線與等色相面的交點(diǎn)為線色域邊界的節(jié)點(diǎn)（LGB Points），最后從上到下將這些節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)形成線色域邊界。求解LGB點(diǎn)的本質(zhì)是求解左右兩分區(qū)連線方程與等色相角平面方程所構(gòu)成的線性方程組。

假定該等色相角平面在某行左右兩個(gè)相鄰分區(qū)的邊界點(diǎn)為J(j1,j2,j3)和K(k1,k2,k3)，那么連接兩點(diǎn)的直線方程可表示為式（1），其中P(p1,p2,p3)為該直線上任意一點(diǎn)，矢量u(k1-j1,k2-j2,k3-j3)固定不變，t 為可變參數(shù)。由于色相角已知，假定該等色相角平面過(guò)明度軸上已知兩點(diǎn)M(m1,m2,m3),N(n1,n2,n3)和已知的待映射顏色點(diǎn)L(l1,l2,l3)，因此該平面方程可表示為式（2），其中Q(q1,q2,q3)為該平面上任意一點(diǎn)，矢量v,w 固定不變，r 和s 為可變參數(shù)。

圖3 線色域邊界的計(jì)算原理

為了得到相鄰分區(qū)邊界點(diǎn)連線與等色相面的交點(diǎn)，可將式（1）和（2）構(gòu)成線性非齊次方程組（3），其中r,s,t為待求解變量。當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，且都為3時(shí)，該方程組有唯一解，即為連線與平面的交點(diǎn)，此為大多數(shù)情況；但還需要注意另外兩種特殊情況：（1）當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，但小于3 時(shí)，該方程組有無(wú)窮解，此時(shí)說(shuō)明該連線可能位于等色相面內(nèi)；（2）當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等，該方程組無(wú)解，此時(shí)說(shuō)明該連線可能與等色相面平行，因此無(wú)交點(diǎn)。注意：在實(shí)際應(yīng)用中，第二種情況是不會(huì)發(fā)生的。當(dāng)?shù)谝环N情況發(fā)生時(shí)，本文采用了一種簡(jiǎn)單而又合理的處理方式：令t=0，此時(shí)由式（1）可知，p1=j1,p2=j2,p3=j3，這意味著相鄰分區(qū)連線與等色相面的交點(diǎn)被設(shè)定成其中一個(gè)分區(qū)的色域邊界點(diǎn)，這樣可以避免線色域邊界和色域映射計(jì)算中出現(xiàn)的色域邊界缺失問(wèn)題。

2.3 方法分析

當(dāng)使用SMGBD 和空區(qū)插值算法（6×6 分區(qū)）計(jì)算圖4所示測(cè)試圖像的色域邊界時(shí)，所得的各分區(qū)色域邊界點(diǎn)構(gòu)成了色域邊界描述矩陣（GBD_Matrix，GRD 矩陣），矩陣中各元素的CIELAB 值如表1 所示，表中的6行6列數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)6×6的SMBGD分區(qū)。對(duì)于CIELAB值為（70.196，0，14.000）的某個(gè)圖像像素來(lái)說(shuō)，它處在色相角α 為90°的等色相面內(nèi)。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，該等色相面第1行（頂部）左右相鄰分區(qū)邊界點(diǎn)的CIELAB值分別為（100，0，0）和（99.2，-5，27），兩點(diǎn)的色相角分別為0°和100°，因此其連線與90°等色相面的交點(diǎn)只有一個(gè)，即其中一個(gè)邊界點(diǎn)本身。這時(shí)，從表2可以看出：前兩個(gè)LGB點(diǎn)具有相同的CIELAB色度值，因此是互為重合的一個(gè)點(diǎn)。注意：在該案例中共有8 個(gè)LGB 點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)垂直方向上6 個(gè)分區(qū)的LGB 點(diǎn)和明度軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)。

圖4 原始圖像及映射像素

另外，該等色相面第6行（底部）左右相鄰分區(qū)邊界點(diǎn)的CIELAB 值分別為（0，0，0）和（1.2，0，2），其對(duì)應(yīng)的色相角分別是0°和90°，此時(shí)可以明顯看出：這兩個(gè)分區(qū)邊界點(diǎn)連線與90°等色相面完全重合，即與上述第一種特殊情況對(duì)應(yīng)。通過(guò)求解方程組（3）可知，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，但都等于2（小于3），即有無(wú)窮解。這時(shí)利用本文的解決方案，令t 值為0，此時(shí)交點(diǎn)計(jì)算結(jié)果為其中一個(gè)邊界點(diǎn)本身（CIELAB：0，0，0）。從表2可以看出：后兩個(gè)LGB 點(diǎn)互相重合成了一個(gè)點(diǎn)。與計(jì)算設(shè)備色域所用的均勻采樣色標(biāo)不同，彩色圖像的顏色分布較不規(guī)則，因此上述情況經(jīng)常在計(jì)算圖像色域時(shí)發(fā)生，且通常發(fā)生在LGB線色域邊界的頂部或底部。

表1 原始圖像對(duì)應(yīng)的色域邊界描述矩陣中各元素的CIELAB值（6×6分區(qū)）

表2 像素所在等色相面內(nèi)的LGB點(diǎn)及其CIELAB值

3 算法的性能評(píng)價(jià)

3.1 評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)

準(zhǔn)確地描述色域邊界，其目的是為了在不同媒體之間準(zhǔn)確地進(jìn)行色域映射。如果對(duì)圖像或設(shè)備的色域邊界描述不準(zhǔn)確，就會(huì)直接影響到色域映射精度。因此，通過(guò)色域映射手段來(lái)評(píng)價(jià)和驗(yàn)證色域邊界描述器的性能是合理而且可行的。色域映射方法按原理可以劃分為色域裁剪和色域壓縮，前者是將色域外顏色裁剪到目標(biāo)色域邊界，而色域內(nèi)顏色保持不變，因此它與圖像色域邊界描述并無(wú)關(guān)系，主要用于實(shí)現(xiàn)專色或圖表顏色的精確復(fù)制；后者是根據(jù)源色域和目標(biāo)色域的關(guān)系，將色域外顏色朝映射中心的方向等比例映射到目標(biāo)色域內(nèi)。為了更好地保持映射圖像的階調(diào)層次，色域內(nèi)顏色也可能需要映射，因此該方法主要用于彩色圖像復(fù)制。本文研究的SMGBD 空區(qū)插值算法主要針對(duì)圖像色域邊界的不規(guī)則性而提出，因此適宜選用色域壓縮的方式來(lái)評(píng)價(jià)色域邊界描述器的性能。

本文設(shè)計(jì)了基于圖像成對(duì)比較的心理物理學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)評(píng)價(jià)色域壓縮算法的性能，實(shí)驗(yàn)在觀察條件和實(shí)驗(yàn)方法等方面遵循了CIE TC 8-03 色域映射算法評(píng)價(jià)指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)[9]。評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)包括準(zhǔn)確性測(cè)試和偏好性測(cè)試。前者將每種測(cè)試算法得到的圖像分別與原始圖像兩兩顯示在顯示屏上，觀察者經(jīng)過(guò)評(píng)判從中選出一幅最接近原始圖像的圖像；而后者分別將每種算法得到的圖像兩兩顯示在顯示屏上，觀察者經(jīng)過(guò)評(píng)判從每對(duì)圖像中選出一幅圖像質(zhì)量（顏色保真度、清晰度、彩度、局部細(xì)節(jié)等）最佳的圖像。評(píng)價(jià)用測(cè)試圖像從圖像數(shù)據(jù)庫(kù)TID2008[10]和CSIQ[11]中選取，如圖5 所示，這12 幅測(cè)試圖像涉及不同的顏色和階調(diào)特征。不同于簡(jiǎn)單的色域裁剪，色域壓縮既要考慮目標(biāo)色域范圍又要考慮源色域，因此為增強(qiáng)評(píng)價(jià)說(shuō)服力，實(shí)驗(yàn)采用的源色域和目標(biāo)色域不是完全的包含和被包含關(guān)系，而是在不同的區(qū)域范圍有各自獨(dú)立的部分。源色域和目標(biāo)色域分別從Samsung C27F591FD顯示器和HP z3200 噴墨打印機(jī)的ICC 特性文件中提取[12]，使用Gretag Macbeth 的Profile Editor 軟件顯示的源色域和目標(biāo)色域如圖6 所示，實(shí)驗(yàn)采用10×10 分區(qū)的SMGBD。實(shí)驗(yàn)所用的5 種色域映射測(cè)試算法[12-15]的詳細(xì)信息如表3。

圖5 測(cè)試圖像的縮略圖

圖6 Samsung C27F591FD顯示器色域和HP z3200打印機(jī)色域范圍的比較

3.2 評(píng)價(jià)結(jié)果及分析

圖7 顯示的是根據(jù)準(zhǔn)確性和偏好性評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算的每種測(cè)試算法的Z分?jǐn)?shù)[15]，以及使用瑟斯頓配對(duì)定律制作的95%置信區(qū)間的等距量表。實(shí)驗(yàn)觀察者由10 名圖像處理相關(guān)專業(yè)人員和10 名非專業(yè)人員組成。從圖中可以看出：偏好性Z分?jǐn)?shù)與準(zhǔn)確性Z分?jǐn)?shù)的分布較為相似。在所有測(cè)試算法中，不進(jìn)行色域空區(qū)插值的色域映射算法C1和S1表現(xiàn)較差，帶有空區(qū)插值的算法C2 和S2 表現(xiàn)較好，其中，算法S2 的性能甚至好于商業(yè)軟件中的對(duì)應(yīng)算法S3。

表3 評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)所用的5種色域映射測(cè)試算法的詳細(xì)信息

圖7 5種測(cè)試算法的偏好性Z分?jǐn)?shù)和準(zhǔn)確性Z分?jǐn)?shù)

圖8顯示了無(wú)空區(qū)插值的映射算法C1對(duì)測(cè)試圖像I19 的映射效果，可以觀察到圖像中紅色方框內(nèi)的區(qū)域在映射后出現(xiàn)了明顯的失真，如圖8（a）和（b）。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)：對(duì)于該區(qū)域內(nèi)位置鄰近且顏色值非常接近的兩點(diǎn)Color1和Color2，其等色相面內(nèi)的目標(biāo)色域邊界外形非常相似，且比較規(guī)則；而圖像色域邊界相差很大，且很不規(guī)則。根據(jù)CUSP 色域壓縮原理，在圖8（c）中，在映射線OD 方向上的線段OD 大于OR（D 和R 分別是映射線與目標(biāo)色域邊界和源色域邊界的交點(diǎn)），因此Color1無(wú)需映射。而在圖8（d）中，線段OD 卻小于OR，雖然Color2仍在目標(biāo)色域內(nèi)，但會(huì)按照壓縮比例映射到P 點(diǎn)，這就造成圖像色域內(nèi)兩個(gè)顏色接近的點(diǎn)，因?yàn)樯蜻吔绲拿枋稣`差在映射后變成了兩個(gè)色差較大的像素點(diǎn)，從而造成了圖像失真。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：基于空區(qū)插值的圖像色域邊界描述更加精確，形狀更加規(guī)則，類似問(wèn)題可以得到明顯改善，這也是測(cè)試算法C2 的性能明顯高于C1的原因。

圖8 映射算法C1對(duì)圖像I19的效果分析

圖9 映射算法C2對(duì)圖像I23的效果分析

通過(guò)對(duì)圖9案例的分析可以發(fā)現(xiàn)算法C2也存在著問(wèn)題，圖9（a）中紅色方框區(qū)域的鸚鵡羽毛部位發(fā)生了明顯的映射失真，如圖9（b）。以該區(qū)域中位置鄰近且顏色值相似的兩個(gè)像素點(diǎn)Color1和Color2為例，在圖9（c）和（d）中，顏色點(diǎn)Color1位于目標(biāo)色域邊界外，需要朝著映射中心O1 映射到目標(biāo)色域內(nèi)的P 點(diǎn)，導(dǎo)致映射后的彩度大幅度降低；Color2 位于目標(biāo)色域內(nèi)而不發(fā)生映射，彩度保持不變。這就造成了黃色羽毛部位在映射后出現(xiàn)了兩種顏色分界的失真。由于SGCK 算法并不對(duì)所有色域內(nèi)顏色進(jìn)行映射，而是只針對(duì)目標(biāo)色域的固定比例范圍（默認(rèn)比例范圍是90%）進(jìn)行壓縮，因此不僅可以避免該問(wèn)題，還能有效地保持部分圖像細(xì)節(jié)。從圖7還可以看出：算法S2 的性能明顯好于S3（ICC 3D 軟件中的SGCK），因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)ICC 3D軟件中的SGCK算法對(duì)某些測(cè)試圖像會(huì)產(chǎn)生一些失真，如圖10，圖中的紅色區(qū)域即為映射后出現(xiàn)的失真區(qū)域，這也在某種程度上驗(yàn)證了空區(qū)插值算法對(duì)SMGBD改進(jìn)的有效性。

圖10 測(cè)試圖像I23和sunsetcolor的映射失真

3.3 色域邊界描述器計(jì)算效率

通過(guò)測(cè)試發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是否進(jìn)行空區(qū)插值，SMGBD對(duì)所有測(cè)試圖像的色域邊界計(jì)算效率都很高，且改進(jìn)前后的計(jì)算時(shí)間不變（都在1 s 以內(nèi)），這說(shuō)明空區(qū)插值算法并不影響色域邊界的計(jì)算效率。本文還將具有相同色相角的顏色分別收集在一起進(jìn)行映射，避免了同色相顏色的線色域邊界的重復(fù)計(jì)算，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)此舉能夠大幅提升色域映射速度。本文使用色域映射算子HPMinDE[16-17]對(duì)部分測(cè)試圖像進(jìn)行映射，計(jì)算時(shí)間如表4所示?？梢钥闯觯和ㄟ^(guò)對(duì)圖像中相同色相角的像素進(jìn)行同批映射可以大幅提高映射效率。本文算法效率的測(cè)試環(huán)境為MATLAB平臺(tái)（DELL OptiPlex，Inter?CoreTMi7-4770M CPU@3.40 GHz），源色域和目標(biāo)色域的選擇與3.1節(jié)相同。

表4 不同圖像的色域映射時(shí)間 s

4 結(jié)論

本文研究了SMGBD 色域邊界描述器的空區(qū)插值和線色域邊界的計(jì)算方法，提出了基于相鄰分區(qū)加權(quán)平均的色域空區(qū)插值算法，從而可以更加準(zhǔn)確地計(jì)算出各分區(qū)的色域邊界點(diǎn)。針對(duì)相鄰分區(qū)邊界點(diǎn)連線與等色相面重合所導(dǎo)致的色域邊界計(jì)算和色域映射問(wèn)題，本文給出了合理的解決方案，并通過(guò)案例分析驗(yàn)證了方案的可行性；在評(píng)價(jià)部分，本文借助色域映射的方式，利用心理物理學(xué)實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)了空區(qū)插值算法的效果，同時(shí)還測(cè)試了算法的計(jì)算效率。評(píng)價(jià)結(jié)果顯示：本文提出的色域空區(qū)插值算法能夠有效提升色域邊界描述器的精度，改善色域映射效果，而且并不影響色域邊界的計(jì)算效率。