馮衛(wèi)衛(wèi)

摘? 要：分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是整數(shù)階系統(tǒng)的進(jìn)一步發(fā)展，更適合于描述控制系統(tǒng)。提出了一種分步響應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)辨識的方法。該方法利用小波函數(shù)積分運算矩陣將分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，用包含小波積分運算矩陣的方程表示待辨識系統(tǒng)的輸出和輸入。通過尋找最小值之間的區(qū)別實際的輸出部分系統(tǒng)和識別系統(tǒng)的輸出，獲得最優(yōu)解，分?jǐn)?shù)微分方程系統(tǒng)的參數(shù)識別問題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)解的問題。該方法可以同時識別分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的系數(shù)和階數(shù)。此外，該方法避免了直接對輸入和輸出數(shù)據(jù)微分的復(fù)雜計算，簡化了輸入和輸出信號。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階系統(tǒng);參數(shù)辨識;運算矩陣;分?jǐn)?shù)階微積分

中圖分類號：N945.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）10-0005-04

Abstract： Fractional order system is the further development of integer order system， which is more suitable for describing control system. A method for parameter identification of step-by-step response system is proposed. In this method， the fractional differential system equation is transformed into an algebraic equation by using the wavelet function integral operation matrix， and the output and input of the system to be identified are represented by the equation including the wavelet integral operation matrix. By finding the difference between the minimum value， the actual output part of the system and the output of the identification system， the optimal solution is obtained， and the parameter identification problem of the fractional differential equation system is transformed into the problem of finding the optimal solution. This method can identify the coefficients and orders of fractional order systems at the same time. In addition， this method avoids the complex calculation of the differential of input and output data directly， and simplifies the input and output signals.

Keywords： fractional order system; parameter identification; operation matrix; fractional calculus

1 概述

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是基于分?jǐn)?shù)微積分理論建立的數(shù)學(xué)模型。分?jǐn)?shù)階微積分以加權(quán)的形式考慮了函數(shù)的全局信息，因此在很多方面分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可以更準(zhǔn)確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。特別是對于一些實際的復(fù)雜系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階微積分方程建模的應(yīng)用比整數(shù)階系統(tǒng)模型更精確。例如，在軍事、物理、通信、電子、計算機(jī)等復(fù)雜的比例系統(tǒng)中，分?jǐn)?shù)系統(tǒng)可以提供更完善的數(shù)學(xué)模型，以考慮系統(tǒng)中不可忽視的分形現(xiàn)象。然而，分?jǐn)?shù)系統(tǒng)的辨識和求解方法一直是數(shù)學(xué)家們努力研究的主要課題。分?jǐn)?shù)階微積分的早期階段出現(xiàn)的發(fā)展和計算工具的落后分?jǐn)?shù)微積分，雖然計算機(jī)技術(shù)發(fā)展迅速，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分的場景也更加復(fù)雜，導(dǎo)致部分系統(tǒng)的解決方案，識別的復(fù)雜性，以及分?jǐn)?shù)微分算子是外地算子，計算過程相對復(fù)雜。這些因素增加了求解和識別分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的難度。因此，有必要尋找一種有效的、簡化的解決方案，辨識過程方法是促進(jìn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)發(fā)展的必要手段。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究主要包括兩個方面：分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的求解和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的辨識。分?jǐn)?shù)階微分方程的解及其數(shù)值解是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)。對于分?jǐn)?shù)階微積分方程的解析解不僅難以獲得，而且在實際應(yīng)用中意義也不大，因此數(shù)學(xué)家們給出了自己求解數(shù)值解的方法。首先，研究了具體分式微積分方程的解。例如，Wyss W[1]給出了布萊克-斯科爾斯方程的一個完整解。Liu F、Anh v[2]等獲得了求解分?jǐn)?shù)階佛克-普朗克方程的方法。對于Diethelm K[3]等人的Adams類分?jǐn)?shù)階微分方程，采用預(yù)測修正法得到分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值解。對于分式擴(kuò)散方程，即物理領(lǐng)域中的Wyss W，研究了特定條件下的分式擴(kuò)散波動方程及其相關(guān)屬性。Mainardi F等給出了復(fù)平面上格林函數(shù)的一般表達(dá)式，在卡普托分?jǐn)?shù)階微積分定義的基礎(chǔ)上，求出分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波動方程的解。此外，Benson D A等給出了分?jǐn)?shù)階水平散射方程基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定誤差函數(shù)的解析解。

近年來，利用運算矩陣求解分?jǐn)?shù)階微積分方程的方法受到許多研究者的關(guān)注，如塊脈沖函數(shù)運算矩陣、小波變換運算矩陣、帽函數(shù)運算矩陣等。

雖然在過去的幾十年里，線性或非線性的分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)出現(xiàn)在許多領(lǐng)域，但是由于分?jǐn)?shù)階微積分的歷史悠久，幾乎不可能對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行建模。因此，基于系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)的參數(shù)辨識方法是建立分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型的有效方法。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的參數(shù)辨識方法分為時域辨識和頻域辨識兩類。為了識別分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時域，可以將其分為單輸入單輸出分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)識別和多輸入多輸出分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)識別兩類。在SISO分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)時域辨識的研究中，Rachid等[4]給出了基于方程誤差和分?jǐn)?shù)階泊松濾波器輸出誤差的時域辨識方法。Malti等人[5]利用最優(yōu)輔助變量法將簡化修正時間系統(tǒng)方法推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。Hartley等研究了時域連續(xù)有序分布系統(tǒng)的辨識方法。此外，正交基理論在控制系統(tǒng)建模和控制中的應(yīng)用越來越受到重視。該方法的主要思想是通過一系列正交基函數(shù)的線性組合來表示傳遞函數(shù)，即用一組正交基函數(shù)來表示系統(tǒng)，該思想也被用來識別分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。Malti等將kautz型正交基擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)階模式，利用分?jǐn)?shù)階Kauthz函數(shù)正交基表示分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，得到基于輸出誤差的時域辨識方法。Aoun等人使用分?jǐn)?shù)階正交基函數(shù)Laguerre描述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，給出了時域辨識方法。由于分?jǐn)?shù)階的非本地特點micro-integral運營商和長記憶特性，時域計算需要大量的歷史數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的大型和復(fù)雜的時域識別帶來了很大的不便，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時域識別，以及頻域識別可以避免困難，因此分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的頻域識別也備受關(guān)注。

2 Haar小波與分?jǐn)?shù)階積分運算矩陣

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

RL分?jǐn)?shù)階微積分定義：

（2-1）

其中？酌為階次，？酌>0。

與Riemann-Liouville定義相比，Caputo定義更加方便描述分?jǐn)?shù)階微分方程的初值問題，Caputo定義：

（2-2）

其中，？酌>0，n-1<？酌

Caputo定義的積分定義有一個重要性質(zhì)：

（2-3）

其中，t>0，n-1<？酌

2.2 Haar小波分?jǐn)?shù)階積分運算矩陣

Haar小波為正交函數(shù)，定義：

（2-4）

其中，n=2j+k，0？燮k？燮2j，j？叟0，k，j∈Z。

此外，

（2-5）

任意屬于區(qū)間L2[0，b]的函數(shù)f（t）都可以用Haar小波展開為：

其中Haar系數(shù)ri，i=0，1，2可以由下面的公式推導(dǎo)出：

對于式（2-6）的無限項和，在實際計算中，我們可以用有限項和來近似表示：

其中，N=2j，T代表矩陣的轉(zhuǎn)置，RN=[r0，r1，...，rN-1]T為系數(shù)向量，HN（t）=[h0（t），h1（t），...，hN-1（t）]T為Haar函數(shù)向量。我們需要N個方程來求得系數(shù)向量。

定義N階Haar矩陣為：

根據(jù)現(xiàn)有知識，我們可以根據(jù)塊脈沖函數(shù)積分運算矩陣，自行推導(dǎo)出Haar小波積分運算矩陣，記P為？琢階Haar小波積分運算矩陣，塊脈沖？琢階積分運算矩陣為F？琢，得到：

[6]? ?（2-10）

至此我們就得到了Haar小波運算矩陣。

3 小波分析的多分辨率分析

多分辨率分析是指將函數(shù)表示為具有時間分辨率和頻率分辨率的分量組合。也就是說，一個函數(shù)被映射到一系列嵌套的近似空間。一個空間通過兩次連續(xù)的分解，可以逐步形成一組包含子空間的集合?？臻g分解符號如下：

（3-1）

上式中Wn-1可以看作是低分辨率函數(shù)Vn-1去近似高分辨率函數(shù)Vn時，所丟失的細(xì)節(jié)部分，？茌為正交和的形式。每個空間都可以這樣去分解，尺度函數(shù)構(gòu)成近似V空間的基，小波函數(shù)構(gòu)成細(xì)節(jié)W空間的基，對任意空間分解得：

（3-2）

將之運用到空間L2（R）上，則空間中的任意函數(shù)f可以分解為：

其中，f0∈V0，wl∈Wl且0？燮l<0。

由前面的式（2-8）小波變換近似得出，信號可以近似分解為：

（3-4）

小波變換后，將信號f（t）的系數(shù)分為低頻部分和高頻部分。通常，低頻部分被認(rèn)為是原信號的近似值，特別是在原信號有噪聲的情況下，低頻部分具有降噪效果。因此，在每一層中，低頻系數(shù)只是這一層系數(shù)的一半。通過小波變換對輸入和輸出信號進(jìn)行分解重構(gòu)，將系統(tǒng)辨識的過程轉(zhuǎn)化為小波系數(shù)的辨識。我們逐層拋棄高頻分量的系數(shù)。即按比例減少N的值，系統(tǒng)辨識所涉及的數(shù)據(jù)量將減少2n倍，其中N為分解層數(shù)。這種思想既可以對信號進(jìn)行降噪處理還可以加速分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的辨識。

為了在對小波系數(shù)重新采樣時保證信號不失真，不能對信號進(jìn)行分層。也就是說，N的值不能連續(xù)下降。根據(jù)對原始信號的頻譜分析，在拋棄信號高頻成分的小波系數(shù)時，需要保證新信號滿足采樣定理。如果N值太小，新信號就不能準(zhǔn)確地表示原信號，識別結(jié)果也就沒有意義。最終的層數(shù)由近似分量和原始信號的相關(guān)系數(shù)決定，一般不能小于98%。

4 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識

對于一般初始狀態(tài)為零的分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)：

（4-1）

其中f（t）和y（t）為系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，b1，b2，b3為任意正數(shù)，且b1>b2>b3。

利用小波變換分解系統(tǒng)輸入輸出：

（4-2）

（4-3）

對等式（4-1）兩邊做b3次積分運算，并將式（4-2）、式（4-3）代入，得到：

（4-4）

即：

（4-5）

對于上式中的系數(shù)a3，a2，a1和階次b3，b2，b1都是需要求解的，但是直接求解必然會碰到非線性優(yōu)化問題，所以在這里先是假定分?jǐn)?shù)階微積分的階次是已知的，再在這樣的情況下去求解系數(shù)參數(shù)。

上式（4-5）經(jīng)過整理的得到：

（4-6）

假設(shè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ?，

，那么式（4-6）可以簡化為：

（4-7）

利用最小二乘法可以求得系數(shù)矩陣x的值，從而獲得系數(shù)參數(shù)：

（4-8）

上面都是在假定階次已知的情況下的，但是階次并非一定是我們剛剛假定的，所以，我們需要讓階次在已定范圍之類變化，通過比較系統(tǒng)輸出和辨識出來的系統(tǒng)輸出之間的誤差，找到誤差最小的一組解，完成辨識。

5 例證

5.1 對理想狀態(tài)下的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行辨識。

對于系統(tǒng)：

（5-1）

令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，在零狀態(tài)下，我們對系統(tǒng)輸入單位階躍響應(yīng)，得到輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，進(jìn)行辨識。在辨識過程中，我們對輸入輸出信號進(jìn)行從長度為210到27的小波展開，然后看各組辨識誤差，辨識誤差以及辨識耗時如表1所示。

當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)信號長度為27時，用來辨識的數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的對比，如下圖1所示。

從表1中，我們可以看出成倍的增大低頻頻率雖然增大了辨識誤差，但是仍然是可以接受的誤差范圍之類，而且系統(tǒng)辨識的耗時是可以看到降低了很多的，尤其是針對數(shù)據(jù)量非常龐大的情況下，小波分析的多分辨率特點非常實用。

5.2 對含有噪聲的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行辨識

小波分析除了上面說到的可以加快系統(tǒng)辨識過程，還可以對含有噪聲的系統(tǒng)進(jìn)行降噪，具有很強(qiáng)的抗干擾能力，尤其是在實際的系統(tǒng)中，噪聲參雜在輸出信號中是難免的事，下面對含有噪聲的信號進(jìn)行辨識。

針對式（5-1）提出的系統(tǒng)，我們先對其輸出信號進(jìn)行加噪處理，然后用小波分析處理加噪后的信號，對降噪后得到的信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識，看降噪后的信號與原信號之間的誤差以及未降噪信號與原信號之間的誤差，兩者進(jìn)行比較，看小波分析降噪是否可行。

對輸出信號添加40dB的高斯白噪聲，對含有噪聲的不同長度的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識，得到的參數(shù)和耗時如表2所示。

對含有噪聲的信號進(jìn)行小波分解，對分解后的降噪信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識，辨識過程情況如表3所示。

在辨識經(jīng)過小波分析降噪處理后的系統(tǒng)輸出時，的確比降噪前的辨識更加精準(zhǔn)。

6 結(jié)束語

文中提出一種基于小波分析的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識方法。該方法通過對輸入信號和輸出信號的小波系數(shù)進(jìn)行重采樣，減小了輸入信號和輸出信號的數(shù)據(jù)量，提高了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識的速度。通過比較不同小波頻率辨識過程驗證了小波分析多分辨率的可靠，通過比較含噪和不含噪的信號的辨識過程，說明了小波分析降噪的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]Wyss W.The fractional Black-Scholes equation[J].Fractional Calculus & Applied Analysis， 2000，3（1）：51-61.

[2]Liu F， Anh V， Turner I. Numerical solution of the space fractional Fokker-Planck equation[J]. Journal of Computational & Applied Mathematics， 2004，166（1）：209-219.

[3]DIETHELM， FORD， N. J， et al. Algorithms for the fractional calculus： A selection of numerical methods[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering， 2005，194（6）：743-773.

[4]MALTI， Rachid， VICTOR， et al. Advances in System Identification Using Fractional Models[J]. Journal of Computational & Nonlinear Dynamics， 2008，3（2）：764-786.

[5]Malti R， Aoun M， Oustaloup A. Synthesis of fractional Kautz-like basis with two periodically repeating complex conjugatemodes[C]//International Symposium on Control，2004.

[6]孟霄.基于運算矩陣的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)辨識及控制器參數(shù)整定[D]. 南京信息工程大學(xué)，2017.