由一道三角函數(shù)求值題引發(fā)的思考與探究

黃仿青

五、啟示

1.三種類型。通過上述探究我們發(fā)現(xiàn)，在諸如此類的三角形中的三角函數(shù)求值問題，可歸結(jié)為以下三種類型：類型一：在中，已知其中兩個(gè)角的余弦值，求第三個(gè)角的余弦值;類型二：在中，已知一個(gè)角的正弦值和另一個(gè)角的余弦值，求第三個(gè)角的余弦值;類型三：在中，已知其中兩個(gè)角的正弦值，求第三個(gè)角的余弦值。

這三種類型的難易程度有較大區(qū)別，類型一較為簡單，已知其中兩個(gè)角的余弦值，則它們的正弦值唯一確定，因此，類型一有唯一解。例如，在中，已知，求。此題有唯一解，有興趣的讀者不妨一試。

類型二較為復(fù)雜，它由所給的正弦值和余弦值的不同，會出現(xiàn)唯一解和兩解的情況。如例1有一解，而例2卻有兩解。類型三相對來說屬于最復(fù)雜的一種情形，它由已知兩個(gè)角的正弦值，得出余弦后，會出現(xiàn)四種情況，在取舍時(shí)，運(yùn)用法三和法四較為快捷。

2.各有千秋。法一為基本方法，但要求學(xué)生對特殊角的三角函數(shù)值及不等式的變形較熟練;法二從正弦著手另起爐灶但不易想到;法三數(shù)形結(jié)合直觀明了，但對學(xué)生讀圖、識圖能力要求較高;法四簡單快捷但需要由正弦定理所得出的結(jié)論作支撐。對于高一學(xué)生而言，由于知識的局限性，只能運(yùn)用法一、法二和法三進(jìn)行取舍，但從全局來看，法四無疑最為簡捷，而法三最能體現(xiàn)本質(zhì)。四種取舍方法各有千秋，它們在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面發(fā)揮著各自獨(dú)特的作用。

3.用心良苦。我們還看到，三種類型的問題，類型一較簡單，其運(yùn)算結(jié)果唯一確定，類型三有四種情況較為復(fù)雜，而類型二的難度介于類型一與類型三兩者之間，學(xué)生跳一跳就夠得著，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)恰到好處，而高中數(shù)學(xué)必修四（人教版）第137頁的這道求值題正是屬于類型二，可見教材的編寫者是多么的用心良苦，為教材編寫專家點(diǎn)贊。