臧楠楠

摘要：發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，需要關(guān)注“學(xué)以致用”和“用以促學(xué)”的關(guān)系?！皩W(xué)以致用”講的是先學(xué)而后以致用;“用以促學(xué)”講的是在反復(fù)應(yīng)用中促進(jìn)更深刻的學(xué)習(xí)，從而達(dá)到“學(xué)用相長(zhǎng)”的效果。特級(jí)教師王凌在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“和與積的奇偶性”的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，把學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中，促使學(xué)生在反復(fù)應(yīng)用“和與積的奇偶性”的過程中，逐漸提升運(yùn)算技能和思維能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)游戲應(yīng)用意識(shí)《結(jié)果為0的秘密》

弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)根植于現(xiàn)實(shí)，在現(xiàn)實(shí)中成長(zhǎng)，最終應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)課標(biāo)中明確提出的要求。要發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，需要讓學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有用武之地。不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材除了編排解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題與綜合實(shí)踐活動(dòng)之外，也都有所拓展，如蘇教版的《動(dòng)手做》欄目與人教版的《數(shù)學(xué)廣角》欄目，都提供了有趣的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生依據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)開展探索。教師應(yīng)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)上有所建樹，可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容開發(fā)相應(yīng)的學(xué)習(xí)素材，真正讓學(xué)生在做中學(xué)，學(xué)后用，學(xué)用結(jié)合。

近日，聽了特級(jí)教師王凌執(zhí)教的《結(jié)果為0的秘密》一課，感觸頗深。王老師在學(xué)生學(xué)習(xí)了“和與積的奇偶性”之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用和與積的奇偶性去破解“結(jié)果為0的秘密”，在游戲中發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力。

一、教學(xué)過程

（一）游戲引入，滲透分類思想

1.簡(jiǎn)單算式引入。

師今天我們來玩一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，游戲的名稱叫作“結(jié)果為0的秘密”。

（教師出示題目：不改變數(shù)的順序，在算式“1□2□3□4=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。學(xué)生嘗試后展示做法。）

生1-2-3+4=0。

師這里的“1-2”不好算呀？

生先算1+4=5，再算2+3=5。

（教師同步板書。）

師這樣，數(shù)就自然分成了2類：加的一類，減的一類。這里，1+4=5，2+3=5，5和5相等，抵消為0。這用的其實(shí)就是“搭小橋”的方法。

生我用的是求和的方法，我先算1+2+3+4=10，10÷2=5，那就表示要加上5，也要減去5。

引入新課的第一道題，選材精當(dāng)，填寫符號(hào)的方法唯一，數(shù)的量少，便于學(xué)生探究。同時(shí)，唯一的填法有助于學(xué)生將其合理分類，為后續(xù)自主想到將更多數(shù)字分成和相等的兩部分做鋪墊。這里，教師還注意引導(dǎo)學(xué)生勾連已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)——“搭小橋”的方法。

2.提高游戲難度。

（教師出示題目：不改變數(shù)的順序，在算式“1□2□3□4□5□6□7□8=0”的□中填上“+”或者“-”，使算式成立。學(xué)生嘗試后展示做法，主要有“搭小橋”和“分成相等的兩部分”兩種方法，如圖1、圖2。）

師我們來看看對(duì)不對(duì)，要算兩個(gè)括號(hào)嗎？

生算出一個(gè)括號(hào)是18，另一個(gè)括號(hào)肯定也是18。

師看來填符號(hào)的方法很多，不管是用什么方法，都把這8個(gè)數(shù)自然地分成了2類：填加號(hào)的一類，填減號(hào)的一類。

面對(duì)難度升級(jí)的題目，多數(shù)學(xué)生不再毫無方向地嘗試，而是進(jìn)一步熟悉“分成相等的兩部分”的方法，部分學(xué)生還會(huì)想到先求和的方法。每個(gè)學(xué)生都在各自的“最近發(fā)展區(qū)”有所提升。

（二）延伸探究，引發(fā)數(shù)學(xué)猜想

1.“無解”的難題。

師有了前面的經(jīng)驗(yàn)，我們來填一填：1□2□3□4□5=0。

（有些學(xué)生選擇“搭小橋”的方法，失敗后就一直靠碰運(yùn)氣在嘗試;有些學(xué)生用求和的方法很快就發(fā)現(xiàn)本題“無解”。）

生我不用填就知道不行，因?yàn)?+2+3+4+5=15，15÷2=7.5，不能分成相等的兩個(gè)整數(shù)，所以不行。

（其他學(xué)生恍然大悟，紛紛鼓掌。）

師看來要使結(jié)果等于0，必須能夠分成相等的兩個(gè)整數(shù)。判斷行不行，我們得用“求和”的方法，如果不行，“搭小橋”就沒有作用了。

借助一個(gè)“無解”的難題，巧妙地把學(xué)生對(duì)“算法”的關(guān)注，聚焦到本節(jié)課的核心——分成相等的兩部分。

2.引發(fā)數(shù)學(xué)猜想。

師（出示下頁圖3）同學(xué)們，觀察這三個(gè)例子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生我發(fā)現(xiàn)它們都是從1開始的連續(xù)自然數(shù)。

生我發(fā)現(xiàn)只要是雙數(shù)結(jié)尾的就行，比如“1—4”和“1—8”，結(jié)果就可以為0;單數(shù)結(jié)尾的就不行，比如“1—5”。

（很多學(xué)生表示贊同。）

師這是一個(gè)有趣的猜想！要看猜想是否成立，我們還需要想辦法加以驗(yàn)證，你打算怎樣驗(yàn)證呢？

（學(xué)生表示可以舉例，先獨(dú)立舉例驗(yàn)證后匯報(bào)交流。）

生我不同意他的發(fā)現(xiàn)?！?—2”也是雙數(shù)結(jié)尾，結(jié)果無法為0;“1—3”是單數(shù)結(jié)尾，1+2-3=0;“1—6”也是雙數(shù)結(jié)尾，它們的和是21，也不行。

（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示贊同。）

生我發(fā)現(xiàn)不管是哪道題，我們都應(yīng)該先求和來判斷結(jié)果能不能為0，不然做的就沒有意義了。

師大家都好厲害啊，敢于去猜想，更懂得用舉例子的方法去驗(yàn)證猜想！結(jié)果能不能為0，與結(jié)尾是單數(shù)和雙數(shù)無關(guān)，那到底看什么？

生應(yīng)該判斷和的奇偶性，如果和是偶數(shù)，就可以分成相等的兩部分，抵消為0;如果和為奇數(shù)，就不能分成相等的兩部分。

（教師引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)黑板上的例子。）

師那“1—7”行不行呢？

（學(xué)生嘗試后呈現(xiàn)如圖4—圖6的3種填法。）

師誰來說一說填符號(hào)的方法是什么？

生先求和;然后找和的一半，是14;接著，把要加的數(shù)湊出14，其他的數(shù)前面填減號(hào)就行了。

回顧以往的公開課，學(xué)生提出的猜想都是正確且趨同的——這可能也是小學(xué)生往往缺乏驗(yàn)證意識(shí)的一個(gè)原因。真實(shí)的猜想一定是有對(duì)有錯(cuò)的。這組素材，既有利于學(xué)生觀察比較，提出猜想，也便于通過驗(yàn)證猜想，進(jìn)一步體會(huì)驗(yàn)證的重要性。這就可以很好地幫助學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)思維，將批判精神和求真意識(shí)融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。學(xué)生在豐富的素材中進(jìn)一步弱化了對(duì)“算法”的關(guān)注，聚焦核心知識(shí)“分成相等的兩部分”。

（三）反復(fù)應(yīng)用，豐富解題路徑

師“1—7”和“1—8”都做過了，那“1—9”行不行呢？

生肯定不行，“1—8”行，說明和是偶數(shù)，再加1個(gè)9，和就是奇數(shù)了不行。

師那“1—10”行不行？

生不行，“1—9”和是奇數(shù)，再加1個(gè)10，和還是奇數(shù)。

師“1—11”行不行？

生行，“1—10”和是奇數(shù)，再加1個(gè)11，奇數(shù)加奇數(shù)，和是偶數(shù)。

師大家填填看。

（學(xué)生匯報(bào)多種填法。）

生我有發(fā)現(xiàn)，算式結(jié)果為0總是2個(gè)行2個(gè)不行這樣交替出現(xiàn)的。

生我來補(bǔ)充：不行的情況肯定是和為奇數(shù)，如果后面再來的一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，就行;接著再來一個(gè)數(shù)那就是偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，比如“1—6”的和是21，為奇數(shù)，那么它后面再來一個(gè)7也可以，再來一個(gè)8還是可以。

生其實(shí)這種2個(gè)行2個(gè)不行的規(guī)律，還是由于和的奇偶性導(dǎo)致的，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和才是偶數(shù)。

師真厲害！原來和的奇偶性的知識(shí)在解密這個(gè)數(shù)學(xué)游戲時(shí)有這么大的作用，我們只要綜合運(yùn)用和的奇偶性的知識(shí)，就能很快判斷出結(jié)果是否為0了。今年是2020年，“1—2020”行不行？

生我是用求和公式算的，（1+2020）×2020÷2=2021×2020÷2=2041210，結(jié)果是偶數(shù)，可以為0。

生我覺得不需要完全算出來。2021是奇數(shù)，2020是偶數(shù)，在乘法算式中，偶數(shù)乘奇數(shù)，結(jié)果還是偶數(shù)，所以“1—2020”的和一定是偶數(shù)。

師又用到了積的奇偶性判斷。那么去年呢，“1—2019”行不行？

生行，“1—2020”行，說明和是偶數(shù)，“1—2019”比“1—2020”只少了一個(gè)2020，偶數(shù)減偶數(shù)還是偶數(shù)，所以“1—2019”的和一定也是偶數(shù)。

生我們可以看“1—2019”里面奇數(shù)的個(gè)數(shù)，它一定是奇數(shù)多一個(gè)的——1010個(gè)奇數(shù)和1009個(gè)偶數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，和一定是偶數(shù)。

生也可以用求和公式，（1+2019）×2019÷2=2020×2019÷2=1010×2019，結(jié)果一定是偶數(shù)。

課堂因生成而精彩。在這個(gè)教學(xué)片段中，教師真正做到了將兒童“歸還”到課堂中央，學(xué)生在這種自由對(duì)話中完成提煉、概括，規(guī)律背后的本質(zhì)內(nèi)核越辨越明。經(jīng)過這樣的過程，學(xué)生不僅深化了對(duì)“結(jié)果為0的秘密”的認(rèn)識(shí)，也提升了思維能力。教師在其中只是一位觀望者，也表明充分放手才能聆聽到學(xué)生譜寫出的自由快樂的樂章。

（四）回顧反思，感受數(shù)學(xué)方法

師現(xiàn)在你知道“結(jié)果為0的秘密”了嗎？

生用的就是書上的和與積的奇偶性，這些數(shù)相加的和是偶數(shù)就行，和是奇數(shù)就不行。

師這節(jié)課，你有什么收獲嗎？

生書本上學(xué)習(xí)的方法我們要靈活應(yīng)用。

生我們研究問題時(shí)，要先從簡(jiǎn)單的想起。

生復(fù)雜的問題，我們可以運(yùn)用分類的方法。

生當(dāng)我們有了猜想要去驗(yàn)證時(shí)，如果不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评碜C明，可以嘗試舉例子。

課末，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧反思，幫助學(xué)生體驗(yàn)探究帶來的成就感的同時(shí)，進(jìn)一步鞏固、加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。原來，探究課依然可以“有法可依”。

二、幾點(diǎn)感悟

王凌老師將數(shù)學(xué)游戲開發(fā)成一節(jié)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)開展數(shù)學(xué)探究的活動(dòng)課，它有這樣幾個(gè)明顯的特征：首先，游戲任務(wù)在開始時(shí)是沒有一個(gè)可預(yù)料的、預(yù)演好的方法或路徑可借鑒的;其次，要求學(xué)生探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì);再次，要求學(xué)生對(duì)自己的認(rèn)知過程進(jìn)行自我調(diào)控，真正學(xué)會(huì)猜想;最后，要求學(xué)生啟用相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并在任務(wù)完成過程中恰當(dāng)使用，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

這節(jié)課的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生尋找問題內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。《結(jié)果為0的秘密》是一節(jié)典型的“做數(shù)學(xué)”課例，它源于課本又生長(zhǎng)出課本外。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“和與積的奇偶性”，如何讓課本內(nèi)的“奇偶性”與課外的巧填符號(hào)“做數(shù)學(xué)”實(shí)現(xiàn)更好的對(duì)接和應(yīng)用？學(xué)生是否可以自己尋找到問題內(nèi)隱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在認(rèn)知過程中不斷自我調(diào)控，探得“結(jié)果為0的秘密”的有效路徑？本節(jié)課教學(xué)亮點(diǎn)紛呈，集中體現(xiàn)為以下三點(diǎn)：

（一）經(jīng)驗(yàn)先行，讓新舊知識(shí)對(duì)接有意義

教師在教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，以便幫助他們更好地將新知納入到原有的知識(shí)體系中去。那么，本節(jié)課的學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)在哪里？王老師這樣理解：其一，學(xué)生明白結(jié)果為0就是要填加號(hào)的數(shù)字和與填減號(hào)的數(shù)字的和相等;其二，學(xué)生在混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)中已經(jīng)充分掌握類似于“1+3-4+5-6=1+3+5-4-6”這樣“帶著符號(hào)搬家”的運(yùn)算技巧;其三，學(xué)生知道和的奇偶性與積的奇偶性的判別方式。

基于這樣的理解，王老師設(shè)計(jì)了在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，運(yùn)用計(jì)算技巧讓新知自然生長(zhǎng)的教學(xué)思路。教學(xué)中，王老師緊緊抓住了“遞等式”這個(gè)“腳手架”，一次次讓學(xué)生感受不同題組結(jié)果為0都是分成相等的兩部分的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。當(dāng)探尋出“結(jié)果為0的秘密”時(shí)，學(xué)生自然產(chǎn)生了對(duì)和的奇偶性的判斷需求。連續(xù)自然數(shù)求和，這里既可以數(shù)形結(jié)合巧妙地勾連梯形面積公式，也可以看奇數(shù)的個(gè)數(shù)，還可以用積的奇偶性找求和公式中的偶數(shù)。學(xué)生一系列的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就像一顆顆種子，在動(dòng)腦想、動(dòng)手做、動(dòng)口說中開出了美麗的花朵。

（二）問題驅(qū)動(dòng)，讓新知?jiǎng)?chuàng)生有意義

本節(jié)課的新知生長(zhǎng)處為“分成相等的兩部分”，于是，王老師緊緊抓住“1—4”和“1—8”兩個(gè)問題的解題經(jīng)驗(yàn)，再以“1—5怎么填”這一問題殺了一個(gè)回馬槍。此時(shí)，學(xué)生用已有的知識(shí)儲(chǔ)備解決“1—5”遇到了瓶頸：“搭小橋”方法失靈了。學(xué)生在觀察、比較中感受到：“搭小橋”只是一種方式，結(jié)果能不能為0還是得看能不能分成相等的兩部分。

提出問題“觀察（‘1—4‘1—8和‘1—5）這三個(gè)例子，你有什么發(fā)現(xiàn)？”后，教師放手讓學(xué)生去說、去思辨。這其實(shí)就是已有經(jīng)驗(yàn)在生長(zhǎng)處所經(jīng)歷的荊棘和坎坷，越是磨礪越是美麗。因?yàn)橛羞@樣的生長(zhǎng)點(diǎn)，所有錯(cuò)誤的猜想都可以在舉反例中“夭折”，比如1+2-3，它不滿足奇數(shù)結(jié)尾，但是只要保證“分成相等的兩部分”，就可以使結(jié)果為0;因?yàn)橛羞@樣的生長(zhǎng)點(diǎn)，才讓原有經(jīng)驗(yàn)“先破后立”成為可能，“1—5”不行的實(shí)質(zhì)是不能分成相等的兩部分，學(xué)生在看到“分成相等的兩部分”表象的同時(shí)，深刻理解了內(nèi)在的本質(zhì)“和為偶數(shù)”，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了有意義的知識(shí)創(chuàng)生。

（三）道理解讀，讓秘密看破不說破

“結(jié)果為0的秘密”其實(shí)不止1個(gè)“秘密”：（1）當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)或數(shù)的個(gè)數(shù)除以4余數(shù)為3時(shí)，結(jié)果一定可以為0;（2）當(dāng)和為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果一定可以為0。二者是從特殊到一般的關(guān)系，前者是后者的表象，后者可以用來解釋前者。二者的關(guān)系是應(yīng)該“捅破”還是應(yīng)該“淡化”？顯然，王老師的做法是淡化，學(xué)生在“1—4”和“1—8”這兩組題目中用的“搭小橋”的方法，其實(shí)就是在潛移默化地運(yùn)用每4個(gè)一組抵消為0，在一組一組中分成相等的兩部分。在填寫“1—8”時(shí)，王老師特意把學(xué)生的不同思考成果呈現(xiàn)在黑板上，其實(shí)也是進(jìn)一步讓學(xué)生明確：“搭小橋”的方法必定會(huì)使數(shù)的個(gè)數(shù)分成相等的兩份，4個(gè)填加號(hào)，4個(gè)填減號(hào)。但有一個(gè)學(xué)生的方法卻是5個(gè)數(shù)填加號(hào)，3個(gè)數(shù)填減號(hào)，在一題多解中揭示了分成相等的兩部分指的是“和”而不是“數(shù)的個(gè)數(shù)”，當(dāng)學(xué)生遇到“1—5”“搭小橋”遇到困難時(shí)自然會(huì)選擇求和的判斷方法。學(xué)生逐漸感受到“求和”的合理性以及什么時(shí)候“搭小橋”、什么時(shí)候求和的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆侄魏鸵罁?jù)”。

發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，需要關(guān)注“學(xué)以致用”和“用以促學(xué)”的關(guān)系?！皩W(xué)以致用”講的是先學(xué)而后以致用;“用以促學(xué)”講的是在反復(fù)應(yīng)用中促進(jìn)更深刻的學(xué)習(xí)，從而達(dá)到“學(xué)用相長(zhǎng)”的效果。王老師在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“和與積的奇偶性”的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，把學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中。學(xué)生在反復(fù)應(yīng)用和與積的奇偶性的過程中，逐漸提升運(yùn)算技能和思維能力。整堂課，王老師創(chuàng)設(shè)的民主開放的教學(xué)氛圍，也是學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、提高自身應(yīng)用意識(shí)的一大利器。診斷有道