巧轉(zhuǎn)化 助解題

文蔡麗莉

在學(xué)習(xí)“冪的運算”這一章內(nèi)容的過程中，有些同學(xué)會遇到這樣的問題，就是記得運算公式，卻總做不對題目。導(dǎo)致這種情況出現(xiàn)的原因，主要有以下兩點：一是對冪的定義的內(nèi)涵理解不夠，把計算方法（公式）弄混淆；二是解題思路不明確，拿到題目后，無從下手，只能憑感覺做題。還有一些同學(xué)，牢記冪的運算特征，對于基本運算方法和公式的直接運用，比如同底數(shù)冪相加減，同底數(shù)冪的乘除、乘方等問題，能夠解決，但遇到不符合上述運算特征的問題時，卻很困惑，束手無策。這些問題是同學(xué)們在學(xué)習(xí)“冪的運算”的過程中遇到的最常見的困難，解決的方法就是“轉(zhuǎn)化”。轉(zhuǎn)化兩個冪的底數(shù)或指數(shù)，使兩個冪符合相應(yīng)的運算條件。下面，我們就一起來探討“冪的運算”中常見的轉(zhuǎn)化方法。

一、化為底數(shù)相同

如果兩個冪的底數(shù)不同，在運算中，我們可以把這兩個冪化成同一個底數(shù)的冪的形式。我們可以用冪的乘方公式（am）n=amn，把不同底數(shù)的冪化作同底數(shù)冪。

例1計算：9a+1×272a。

【解析】算式中的兩個冪的底數(shù)不同，不滿足冪的乘法公式的條件，故需要轉(zhuǎn)化。我們觀察底數(shù)9和27，它們分別是3的2次冪和3次冪，這說明這兩個冪可以把底數(shù)都化成3。

解：9a+1×272a

=（32）a+1×（33）2a

=32a+2×36a=38a+2。

二、化為指數(shù)相同

1.當(dāng)兩個冪的指數(shù)相近時，我們可以反用積的乘方公式am+n=am·an，把含較大指數(shù)的冪寫成兩個冪的積，并使其中一個冪的指數(shù)和指數(shù)最小的冪的指數(shù)相同。

例2 計算：1038-1036。

【解析】因為冪的減法運算要求參與運算的冪的指數(shù)和底數(shù)皆相同，而算式中兩個冪的底數(shù)已經(jīng)相同了，所以只需要把它們的指數(shù)化成相等的即可。我們注意到，指數(shù)38和36很接近，可以把它們都化成含有指數(shù)36的指數(shù)。

解：1038-1036

=102×1036-1036

=（102-1）×1036

=99×1036

=9.9×1037。

2.當(dāng)兩個冪的指數(shù)不相近時，我們可以反用冪的乘方公式amn=（am）n，把這兩個冪的指數(shù)化成它們的最大公約數(shù)。

例3 計算：636÷324。

【解析】算式中的兩個冪不符合冪的乘除運算的特征，故需要轉(zhuǎn)化。注意到它們的底數(shù)不具備化成同底數(shù)冪的條件，指數(shù)又不相近，我們可以考慮把指數(shù)化成這兩個冪的指數(shù)的最大公約數(shù)。

解：636÷324

=（63）12÷（32）12

=21612÷912

=（216÷9）12

=2412。

3.求有關(guān)冪的等式中的未知數(shù)。

兩個相等的冪的底數(shù)相等時，它們的指數(shù)也相等，如已知a2=ax，則x=2；兩個相等的冪的指數(shù)相等時，它們的底數(shù)不一定相等，如已知3a=xa，則要對a進(jìn)行討論；兩個相等的冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時，無法直接將有關(guān)冪的方程轉(zhuǎn)化為整式方程去求未知數(shù)的值，此時需要轉(zhuǎn)化兩個冪的底數(shù)或指數(shù)，使它們相同。當(dāng)?shù)仁絻蛇呌卸鄠€冪時，需要依據(jù)運算符號進(jìn)行運算，將等式先轉(zhuǎn)化成只含有兩個冪的等式后，再進(jìn)行求解。

例4 若m滿足等式：4m-1×812=

【解析】因為等式兩邊共有三個冪，且字母m在指數(shù)上，故需要先計算出等號左邊的積，使等號兩邊各保留一個冪，然后再化底數(shù)相等，最后用指數(shù)相等列等式。

解：∵ 4m-1×812=（22）m-1×（23）12=22m-2×236=22m+34，

∴2m+34=4m，

∴m=17。

同學(xué)們要注意，學(xué)習(xí)“冪的運算”這一章時，牢記公式是解題的基礎(chǔ)，熟練掌握轉(zhuǎn)化底數(shù)和指數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。分析題目中冪的運算所需要的條件，可以明確解題思路；觀察冪的底數(shù)和指數(shù)的特點，可以明確解題的具體過程，從而提高解題的正確率。