用表格法分析數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題

文茅莉萍

方程是解決實(shí)際問(wèn)題中“數(shù)量相等關(guān)系”的有效模型。利用方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是從研究問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系入手，將問(wèn)題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系找出來(lái)，通過(guò)適當(dāng)設(shè)元，進(jìn)而建立方程。在七年級(jí)上冊(cè)“用一元一次方程解決問(wèn)題”中，教材結(jié)合具體例題介紹了表格法、線形示意圖法、圓形示意圖法、柱狀示意圖法等常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系分析法。其中表格法能夠使問(wèn)題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單明了，因此其應(yīng)用也最為廣泛，在七年級(jí)下冊(cè)“用二元一次方程組解決問(wèn)題”，八年級(jí)下冊(cè)“分式方程”，九年級(jí)上冊(cè)“用一元二次方程解決問(wèn)題”中均又出現(xiàn)用表格法進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析的例題，可見(jiàn)，表格法是解決實(shí)際問(wèn)題非常有用的方法之一。

例1 （2019·安徽）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問(wèn)題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路。其中一段長(zhǎng)為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工。甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1 天，這3 天共掘進(jìn)26 米。已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2 米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？

【分析】這個(gè)問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：甲完成的米數(shù)+乙完成的米數(shù)=26米。

可以列出表格：

工程隊(duì)名甲隊(duì)乙隊(duì)工作效率（米/天）x x-2工作時(shí)間（天）工作量3x x-2 3 1

解：設(shè)甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)（x-2）米，

由題意，得3x+（x-2）=26，

解得x=7，所以甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)7米，乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)5 米10（天）。

答：甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作10天。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及的是兩個(gè)隊(duì)的工作效率、工作時(shí)間、工作量這三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系?？梢岳谩肮ぷ餍省凉ぷ鲿r(shí)間=工作量”這個(gè)關(guān)系輔助列表，分析數(shù)量關(guān)系，利用一元一次方程解決問(wèn)題。本題還可以利用“前兩天的工作量+后一天的工作量=26米”來(lái)列表分析。

例2 （2019·遼寧朝陽(yáng)）佳佳文具店購(gòu)進(jìn)A、B兩種款式的筆袋，其中A種筆袋的單價(jià)比B種筆袋的單價(jià)低10%。已知店主購(gòu)進(jìn)A種筆袋用了810元，購(gòu)進(jìn)B種筆袋用了600 元，且所購(gòu)進(jìn)的A種筆袋的數(shù)量比B種筆袋多20個(gè)。請(qǐng)問(wèn)：文具店購(gòu)進(jìn)A、B兩種款式的筆袋各多少個(gè)？

【分析】這個(gè)問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：A種筆袋的單價(jià)=B種筆袋的單價(jià)×（1-10%）。

可以列出表格：

總價(jià)（元）810 600品種單價(jià)（元/個(gè)）A款B款810 x + 20 600 x數(shù)量（個(gè)）x+20 x

解：設(shè)文具店購(gòu)進(jìn)B種款式的筆袋x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)A種款式的筆袋（x+20）個(gè)，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40 是所列分式方程的解，且符合題意，∴x+20=60。

答：文具店購(gòu)進(jìn)A種款式的筆袋60個(gè)，B種款式的筆袋40個(gè)。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及的是兩個(gè)款式的單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)這三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系?？梢岳谩皢蝺r(jià)=總價(jià)÷數(shù)量”這個(gè)關(guān)系輔助列表，分析數(shù)量關(guān)系，利用分式方程解決問(wèn)題。本題還可以利用“數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)”來(lái)列表分析解決。

例3 （2019·四川宜賓）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50 元，原定銷售價(jià)65 元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開(kāi)始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%。若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_____。

【分析】這個(gè)問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：變化前利潤(rùn)=變化后利潤(rùn)。

可以列出表格：

成本價(jià)（元）50利潤(rùn)（元）65-50 65（1-10%）×（1+5%）-50（1-x）2變化前變化后售價(jià)（元）65 65（1-10%）×（1+5%）50（1-x）2

解：設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，

依題意，得：65×（1-10%）×（1+5%）-50·（1-x）2=65-50。

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及的是變化前后的售價(jià)、成本價(jià)、利潤(rùn)三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系?？梢岳谩笆蹆r(jià)-成本價(jià)=利潤(rùn)”這個(gè)關(guān)系輔助列表，分析數(shù)量關(guān)系，利用一元二次方程解決問(wèn)題。

由以上的幾個(gè)例題我們可以看到，表格分析法是一種有效的分析數(shù)量關(guān)系的方法，其主要針對(duì)兩種情況（如A款、B款；變化前、變化后……），含有三個(gè)關(guān)聯(lián)量（如售價(jià)、成本價(jià)、利潤(rùn)……）的問(wèn)題，這樣的問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在。對(duì)以上三例的解法步驟進(jìn)行歸納，我們就可以得出用表格法分析數(shù)據(jù)解決問(wèn)題的基本步驟：一是采用三行四列制表格；二是把題目中的已知量填寫(xiě)進(jìn)表中；三是設(shè)好未知數(shù)，由三個(gè)量的基本關(guān)系，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出表中剩下的量；四是根據(jù)題目條件中尋找到的等量關(guān)系列出方程，解決問(wèn)題。