基于約瑟夫森量子電壓的諧波電壓測量方法研究

徐熙彤， 賈正森， 王 磊， 周天地， 潘仙林， 石照民

(中國計(jì)量科學(xué)研究院 電磁計(jì)量科學(xué)技術(shù)研究所，北京 100029)

1 引 言

近幾十年來，隨著量子物理和電磁精密測量的發(fā)展，以及約瑟夫森效應(yīng)[1]的發(fā)現(xiàn)，建立量子基準(zhǔn)成為國內(nèi)外電磁計(jì)量領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[2，3]。美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)、德國聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(PTB)和日本產(chǎn)業(yè)技術(shù)綜合研究所(AIST)[4]基于約瑟夫森效應(yīng)成功研制了約瑟夫森結(jié)，在特定的微波頻率下可以產(chǎn)生具有量子精度的微小電壓;在此基礎(chǔ)上，將約瑟夫森結(jié)串聯(lián)后可以輸出最高10 V的電壓，不同數(shù)量的約瑟夫森結(jié)連接組合在一起，可以產(chǎn)生從0到10 V具有量子準(zhǔn)確性的任意電壓，即可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)(programmable Josephson voltage standard, PJVS)[5]。

各國計(jì)量院已經(jīng)將可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)應(yīng)用于正弦功率的測量[6]。PTB將約瑟夫森電壓基準(zhǔn)應(yīng)用于電流及電阻阻值的測量[7,8]；NIST通過產(chǎn)生兩路獨(dú)立的PJVS電壓，實(shí)現(xiàn)對兩路信號的同時測量，解決了由于分時所引起的測量誤差，可以應(yīng)用于交流量子功率的測量[9]；AIST采用差分采樣測量技術(shù)，使用感應(yīng)分壓器(IVD)和10 V PJVS芯片，測量了有效值為20 V的正弦波，擴(kuò)大了該技術(shù)的電壓應(yīng)用范圍[10,11]。

目前，中國計(jì)量科學(xué)研究院(NIM)已經(jīng)研制了交流量子電壓驅(qū)動系統(tǒng)[12]，并使用該系統(tǒng)驅(qū)動約瑟夫森結(jié)陣產(chǎn)生階梯波信號。在階梯波的輸出過程中，由于過渡過程和吉布斯現(xiàn)象，首先應(yīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，采用先離散傅里葉變換(DFT)再平均的方法，或者片段采樣的方法[13，14]；在此基礎(chǔ)上，通過換向差分采樣對基波功率進(jìn)行測量，實(shí)現(xiàn)了基波功率向量子基準(zhǔn)的過渡[13]。

為了規(guī)范諧波檢測儀器，提高電網(wǎng)諧波檢測的準(zhǔn)確性，保證國家量值溯源的統(tǒng)一性，NIM于2006年建立了工頻諧波標(biāo)準(zhǔn)，該測量裝置采用全波形采樣方法。為此，本文基于PJVS研究諧波電壓測量方法，從而將諧波電壓與量子電壓建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)諧波電壓向基本物理常數(shù)的溯源；同時，提出一種加權(quán)傅里葉變換的方法，該方法可以在任意去除不理想采樣點(diǎn)的情況下，最大化地保證重構(gòu)諧波電壓信號的有效數(shù)據(jù)，從而提高電壓幅值和相位測量的準(zhǔn)確度。

2 加權(quán)傅里葉變換

2.1 矩陣形式的傅里葉變換

假設(shè)周期諧波信號y表示為：

(1)

式中：a0為直流分量；ai、bi為i次諧波分量；ω為基波角頻率；K為最高諧波次數(shù)；t為時間。

通過將連續(xù)信號離散化，式(1)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，令t=t0,t1,…,tN-1，p個周期的連續(xù)信號離散為N維信號向量：

Y=CT

(2)

式中：Y=[y0,y1,…,yN-1]，為離散得到的信號向量；C=[a0,a1,b1,a2,b2,…,aK,bK]，為周期諧波信號的直流及各次諧波分量；矩陣T為時間離散矩陣：

對得到的N維信號向量進(jìn)行離散傅里葉變換，可以恢復(fù)得到周期信號內(nèi)所包含的各次諧波分量：

C=YF

(3)

式中F為離散傅里葉變換系數(shù)矩陣

將式(2)代入式(3)，則TF=E。離散傅里葉變換系數(shù)矩陣F是時間離散矩陣T的右偽逆矩陣，時間離散矩陣T是離散傅里葉變換系數(shù)矩陣F的左偽逆矩陣。若要通過信號向量Y計(jì)算該信號的各諧波分量，可使用離散傅里葉變換系數(shù)矩陣F，或者時間離散矩陣的偽逆矩陣T+。

雖然時間離散矩陣T的行數(shù)與列數(shù)不相等，但是時間離散矩陣T為列滿秩矩陣，因此存在唯一的右偽逆矩陣，且可通過式(4)計(jì)算得到：

T+=(TTT)-1TT

(4)

2.2 差分采樣

在使用PJVS對周期諧波信號進(jìn)行測量時，常采用差分采樣的方法。根據(jù)被測信號產(chǎn)生相應(yīng)的階梯波信號，利用PJVS輸出的具有量子精度的階梯波信號，與被測信號進(jìn)行差分，對差分得到的小信號進(jìn)行采樣。

在對周期諧波信號進(jìn)行測量時，與測量正弦信號相同，首先通過理論計(jì)算，得到階梯波信號的臺階值。假設(shè)階梯波信號有M個臺階，每個臺階上有L個數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過計(jì)算，可以得到每個臺階的電壓值：

(5)

為了實(shí)現(xiàn)測量誤差衰減的最大化，通過調(diào)節(jié)被測信號和階梯波信號的相位，使采樣時的差分信號盡可能小。當(dāng)被測信號和階梯波信號的相位相等時，得到的差分信號最小，測量誤差最小，即被測信號與階梯波信號相交于臺階中點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 調(diào)相后的差分信號Fig.1 Differential signal after phase modulation

采樣得到的差分信號加上相應(yīng)的量子電壓臺階值，即為被測信號的瞬時數(shù)據(jù):

ym,l=sm,l+dm,l

(6)

式中：dm,l為差分信號的采樣數(shù)據(jù)；ym,l為恢復(fù)得到的被測信號瞬時數(shù)據(jù)。

2.3 加權(quán)傅里葉變換

在使用交流量子電壓驅(qū)動系統(tǒng)驅(qū)動PJVS產(chǎn)生階梯波信號進(jìn)行電壓測量時，由于過渡過程和吉布斯現(xiàn)象，使得處于臺階前端的數(shù)據(jù)存在較大偏差，在后續(xù)計(jì)算中會引入誤差。加權(quán)傅里葉變換首先對采樣數(shù)據(jù)加權(quán)，將處于過渡過程的數(shù)據(jù)權(quán)重置零，即：

(7)

式中：P=diag(ρj), 為權(quán)重矩陣;j=0,1,2,…,N-1;ρj=0或1，或者在能夠準(zhǔn)確判斷數(shù)據(jù)的重要性時，權(quán)重也可以為其他值。

對加權(quán)后的信號進(jìn)行離散傅里葉變換，得到加權(quán)信號的傅里葉變換系數(shù)：

(8)

由式(2)、式(7)和式(8)推導(dǎo),可以得到周期信號的實(shí)際諧波分量與數(shù)據(jù)加權(quán)后信號計(jì)算得到的諧波分量之間的關(guān)系：

(9)

對式(9)進(jìn)行變換，得到加權(quán)傅里葉變換系數(shù)修正公式：

(10)

令D=TPF，則D為(2K+1)×(2K+1)維矩陣。由于時間離散矩陣T是列滿秩矩陣，離散傅里葉變換矩陣F是行滿秩矩陣。當(dāng)rank(P)≥2K+1時，即至少保留2K+1個采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)，rank(D)=2K+1 為滿秩矩陣，且行數(shù)等于列數(shù)，存在唯一的逆矩陣。使用修正矩陣D修正周期信號諧波分量，得到的修正結(jié)果矩陣是唯一的，該方法在理論上不存在偏差。所以，如果要恢復(fù)得到最高次諧波，則至少保留2K+1個采樣數(shù)據(jù)。該約束條件，也符合奈奎斯特定理，即當(dāng)采樣頻率大于信號中最高頻率的2倍時，采樣之后的數(shù)字信號完整地保留了原始信號中的信息[15]。

通過傅里葉變換得到的參數(shù)與實(shí)際參數(shù)之間存在線性關(guān)系，與時間離散矩陣T、權(quán)重矩陣P、離散傅里葉變換矩陣F有關(guān)。矩陣T為信號采樣時的實(shí)際離散情況；矩陣P為數(shù)據(jù)的加權(quán)方式，是通過對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析篩選后確定的權(quán)重矩陣；矩陣F為離散傅里葉變換矩陣，僅與進(jìn)行傅里葉變換的數(shù)據(jù)個數(shù)有關(guān)。

先DFT再平均的方法，在數(shù)據(jù)處理時，為了不影響相位的恢復(fù)，必須同時去掉處于臺階前端和后端的采樣數(shù)據(jù)，在采樣數(shù)據(jù)的處理過程中，產(chǎn)生了不必要的損失。該方法能恢復(fù)的最高諧波次數(shù)與臺階數(shù)相關(guān)，即臺階數(shù)應(yīng)大于最高諧波次數(shù)的2倍;然而由于過渡過程的存在，臺階數(shù)的個數(shù)增多是有限的。

于是，采用加權(quán)傅里葉變換的方法對信號幅值及相位進(jìn)行計(jì)算，在不增加臺階數(shù)的前提下，大大提高了可恢復(fù)的最高諧波次數(shù)；同時，不再局限于同時去除處于臺階前端和后端的數(shù)據(jù)，不會影響相位的恢復(fù)。對于數(shù)據(jù)的處理方式更靈活，可以實(shí)現(xiàn)將任意數(shù)據(jù)權(quán)重置零，計(jì)算得到準(zhǔn)確的諧波幅值及相位。

3 模擬仿真

3.1 等間隔離散

對加權(quán)傅里葉變換算法，進(jìn)行仿真演示，假設(shè)1個周期諧波信號包含表1中所示諧波。

表1 周期諧波信號參數(shù)Tab.1 Periodic harmonic signal parameters

對信號進(jìn)行等間隔離散，將1個周期的信號離散為等間隔的120個區(qū)間,如圖2所示；對120個數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，將部分位置的數(shù)據(jù)權(quán)重置零，如式(11)所示，即將位于i=(5，12，28，36，42，61，88，90，103，115)位置的數(shù)據(jù)權(quán)重置零；然后對信號進(jìn)行加權(quán)傅里葉變換，修正前與修正后的信號幅值及相位如表2所示。

(11)

圖2 周期諧波信號Fig.2 Periodic harmonic signal

表2 加權(quán)傅里葉模擬仿真結(jié)果Tab.2 Weighted Fourier simulation results

通過對比修正前與修正后的幅值及相位，可以發(fā)現(xiàn)在對數(shù)據(jù)加權(quán)后，計(jì)算得到的諧波信號失真；但是經(jīng)修正矩陣修正后，可以重構(gòu)得到準(zhǔn)確的周期諧波信號幅值及相位。因此，經(jīng)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法可以解決由于加權(quán)方式的不同，引起的信號扭曲問題。

3.2 非整周期離散

同樣選擇表1中所包含的各次諧波信號。將1個周期的諧波信號離散為等間隔的120.3個區(qū)間，對120個離散數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，依舊使用式(11)的加權(quán)方式。

修正前與修正后的信號幅值和相位如表2所示。結(jié)果顯示，修正矩陣可以同時解決非整周期以及加權(quán)所引起的信號失真問題。

4 實(shí) 驗(yàn)

使用交流量子電壓驅(qū)動系統(tǒng)和PJVS測量諧波電壓，采用差分采樣和加權(quán)傅里葉變換的方法計(jì)算諧波信號的幅值和相位。交流功率源選擇FLUKE 6105 A，可以產(chǎn)生最高包含100次諧波的信號。實(shí)驗(yàn)步驟為：

(1) 由FLUKE 6105 A功率源作為信號源，產(chǎn)生含有指定基波及諧波成分的被測信號；

(2) 使用交流量子電壓驅(qū)動系統(tǒng)驅(qū)動PJVS產(chǎn)生相應(yīng)的階梯波信號；

(3) 在信號調(diào)相后，被測信號輸入正輸入端，階梯波信號輸入負(fù)輸入端，采樣差分信號；

(4) 將采樣得到的差分信號，加上相應(yīng)的量子電壓臺階值，計(jì)算被測信號的瞬時數(shù)據(jù)；

(5) 對信號瞬時數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)傅里葉變換，并修正，得到信號的基波及所含諧波的幅值、相位；

(6) 換向操作，將被測信號輸入負(fù)輸入端，階梯波信號輸入正輸入端，重復(fù)上述步驟3、4、5，對換向前后得到的結(jié)果進(jìn)行平均。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

使用表1中的信號參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，電壓基波有效值1 V。信號基波頻率62.5 Hz，采樣頻率 625 kHz，即每個周期的采樣點(diǎn)數(shù)為10 000。階梯波為40個臺階，頻率2.5 kHz，每個臺階上的采樣點(diǎn)數(shù)為250。圖3為實(shí)測差分信號，經(jīng)過實(shí)測分析，根據(jù)3σ準(zhǔn)則，將處于每個臺階前端的15個采樣數(shù)據(jù)權(quán)重置零，恢復(fù)得到的信號幅值和相位結(jié)果見表3。表中，幅值相對誤差為絕對誤差與該諧波設(shè)定幅值的比值；在計(jì)算相位誤差時，諧波相位為各諧波與基波的相位差。

圖3 實(shí)測差分信號(階梯波臺階數(shù)=40)Fig.3 Measured differential signal (step-wave steps=40)

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental results

4.2 結(jié)果分析

使用FLUKE 6105 A電流輸出通道輸出1 V電壓的年穩(wěn)定性(±5 ℃)為±116 μV; 電流轉(zhuǎn)電壓輸出通道相位頻率16～69 Hz時，年穩(wěn)定性(±5 ℃)為±0.005°;180～450 Hz時為±0.025°;450～850 Hz 時為±0.043°;850 Hz～3 kHz時為±0.150°;3～6 kHz 時為±0.300°。

各諧波信號幅值誤差均小于FLUKE 6105 A技術(shù)指標(biāo)給出的電壓幅值輸出誤差范圍。相位誤差也均小于FLUKE 6105 A技術(shù)指標(biāo)給出的電壓相位輸出誤差范圍，使用加權(quán)傅里葉變換的方法計(jì)算得到的諧波信號幅值及相位具有可靠性。

從實(shí)測實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，諧波電壓幅值和相位測量的結(jié)果比較理想。幅值測量標(biāo)準(zhǔn)差均小于1 μV,其中8次諧波的幅值測量標(biāo)準(zhǔn)差最大，為 0.5 μV;相位測量標(biāo)準(zhǔn)差均小于15 μrad，其中50次諧波的相位測量標(biāo)準(zhǔn)差最大，為12.2 μrad。

表3中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了將可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)應(yīng)用于諧波電壓測量的可行性。通過約瑟夫森量子電壓測量諧波信號，在FLUKE 6105 A功率源輸出的誤差波動范圍內(nèi)，結(jié)果可靠；并且，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差較小，說明該測量系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好。

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻(xiàn)[14，16～19]推想，可以對差分信號限幅。根據(jù)周期諧波信號所包含的諧波分量，對差分信號進(jìn)行分析,除了將處于過渡過程的數(shù)據(jù)權(quán)重設(shè)定為零以外，將差分信號幅值超出限值的數(shù)據(jù)權(quán)重同樣置零；或者通過增多階梯波信號的臺階數(shù)，提高階梯波信號對被測信號的復(fù)現(xiàn)度，降低差分信號的幅值大小。

同時，在將可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)應(yīng)用于諧波測量時，不同于基波測量，高次諧波的頻率較大，由于直接數(shù)字式頻率合成器(DDS)位數(shù)有限，階梯波信號頻率與被測信號頻率并不能完全一致，因此信號在高次諧波時會發(fā)生相對移動，影響相位的恢復(fù)效果。

上述限幅和非整周期修正的想法，為進(jìn)一步提高諧波測量的精密度，更深入地研究基于約瑟夫森量子電壓的諧波電壓精密測量提供了方向與思路。

5 結(jié) 論

本文通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了將可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)應(yīng)用于諧波電壓測量的可行性。使用可編程約瑟夫森電壓基準(zhǔn)輸出的階梯波作為參考，實(shí)現(xiàn)了對諧波電壓的精密測量。

為了解決量子電壓測量中必須規(guī)則去除采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)的算法問題，提出了一種加權(quán)傅里葉變換的周期諧波信號計(jì)算方法。通過理論推導(dǎo)、模擬仿真以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，表明所提出的加權(quán)傅里葉變換方法是正確且有效的；該方法在任意去除采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)后仍能準(zhǔn)確重構(gòu)諧波信號，能夠充分利用采樣信息，對數(shù)據(jù)的處理方式選擇更加多樣化。在分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出了進(jìn)一步提高諧波精密測量的研究方向。