詹玉枝, 梁成斌, 張慶芳

(1. 貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 貴州 貴陽 550025；2. 湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院, 湖南 長沙 410082)

1 引 言

生產(chǎn)生活中,諸多過程都或大或小存在延遲現(xiàn)象,例如在生產(chǎn)過程中,物料從一端輸入,經(jīng)過一些管道、或者傳動(dòng)帶傳輸才能到達(dá)另一端,從而逐步被加工成產(chǎn)品,典型的應(yīng)用有：軋機(jī)速度控制系統(tǒng),爐溫控制系統(tǒng),發(fā)酵罐控制系統(tǒng),造紙生產(chǎn)過程等[1～3]。延遲效應(yīng)表現(xiàn)為當(dāng)前狀態(tài)變化不僅僅與當(dāng)前的系統(tǒng)控制輸入和狀態(tài)相關(guān),還依賴于過去某時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)[4]。二階微分系統(tǒng)在簡諧振動(dòng)過程總有大量應(yīng)用。迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)最早由Uchiyama[5]和Arimoto[6]提出,是智能控制領(lǐng)域中研究、開發(fā)及應(yīng)用的重要發(fā)展方向之一[7～10]。該方法采取在重復(fù)運(yùn)行中根據(jù)迭代算法自動(dòng)改進(jìn)控制輸入的策略來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制,具有算法簡潔、收斂速度快、適應(yīng)能力強(qiáng)、易于工程化的優(yōu)點(diǎn)。類比基本解陣對(duì)于常微分方程,文獻(xiàn)[11]構(gòu)造了二階延遲微分方程的基本解陣：延遲矩陣正、余弦函數(shù),并給出了其方程解的精確表達(dá)式。基于此,本文應(yīng)用延遲微分系統(tǒng)的狀態(tài)精確表達(dá)式,結(jié)合迭代學(xué)習(xí)控制的技術(shù)手段對(duì)二階延遲微分系統(tǒng)的跟蹤控制問題進(jìn)行了研究。

介紹了二階延遲微分系統(tǒng)的基本知識(shí)和其迭代學(xué)習(xí)控制問題的描述；分析了使系統(tǒng)輸出收斂至期望輸出的迭代算法收斂性；給出了仿真結(jié)果,驗(yàn)證了算法的有效性。

2 問題描述與算法設(shè)計(jì)

通過利用延遲微分方程顯示解的表達(dá)式,考慮如下線性時(shí)不變迭代系統(tǒng)：

(1)

其中:A∈Rn×n非奇異,B∈Rn×r,C∈Rm×n,D∈Rm×r均為系統(tǒng)的參數(shù)矩陣；σ為固定的延遲效應(yīng)延遲參數(shù)；T為一個(gè)固定的終端時(shí)刻。zk∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；uk∈Rr為控制輸入,yk∈Rm為系統(tǒng)輸出；k為系統(tǒng)迭代次數(shù)，k=1,2；φ為延遲系統(tǒng)初始時(shí)間段系統(tǒng)狀態(tài),是二次連續(xù)可微的向量函數(shù)。

如式(1)所示的二階延遲微分方程顯示解的具體表達(dá)式已有研究結(jié)果[11],給出針對(duì)延遲微分方程基本解陣的兩個(gè)定義及相關(guān)引理。

定義1[11]：延遲矩陣正弦函數(shù)sinσA(t):R→Rn定義如下：

(2)

其中:0為零矩陣;σ>0表示延遲時(shí)間;i=0,1,2,…。

定義2[11]：延遲矩陣余弦函數(shù)cosσA(t)∶R→Rn定義如下：

(3)

其中:I為單位矩陣;σ>0表示延遲時(shí)間;i=0,1,2,…。

引理1[12]:對(duì)任意t∈[-σ,+∞),如下范數(shù)上界估計(jì)成立：

(4)

(5)

圖1 sin0.52t的函數(shù)圖像Fig.1 Function image of sin0.52t

圖2 cos0.52t的函數(shù)圖像Fig.2 Function image of cos0.52t

如式(2)定義的延遲矩陣正弦函數(shù)sinσA(t)和延遲矩陣余弦函數(shù)cosσA(t)其實(shí)是矩陣正弦函數(shù)sinA(t)和cosA(t)的擴(kuò)展形式,當(dāng)延遲因子σ=0時(shí),即不存在延遲現(xiàn)象時(shí),延遲矩陣正、余弦函數(shù)退化成標(biāo)準(zhǔn)的矩陣正、余弦函數(shù)。圖1和圖2展示了延遲矩陣正、余弦函數(shù)sinσA(t)和cosσA(t)的一維函數(shù)圖像。

其中ε是取決于實(shí)際情況的一個(gè)精度參數(shù)。

定義第k次和第k+1次迭代的輸入增量為：Δuk(t):=u(k+1)(t)-uk(t)；系統(tǒng)的狀態(tài)增量為：Δzk(t):=z(k+1)(t)-zk(t)；第k次輸出誤差為：

ek(t):=yd(t)-yk(t)

(6)

其中yd為期望輸出軌跡。

針對(duì)式(1),考慮如下迭代學(xué)習(xí)算法：

uk+1(t)=uk(t)+L1ek(t)

(7)

其中L1∈Rr×m為需要進(jìn)一步確定的可調(diào)參數(shù)矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)[11],式(1)的系統(tǒng)狀態(tài)可表示為：

(8)

繼而,由式(8)可以表示出相鄰兩次迭代的系統(tǒng)狀態(tài)增量為

(9)

3 收斂性分析

定理1：系統(tǒng)在學(xué)習(xí)算法的作用下,如果條件

(10)

證明：針對(duì)系統(tǒng),根據(jù)式(1)可以得出任意相鄰兩次迭代誤差的差值為

ek+1(t)-ek(t)=yd(t)-yk+1(t)-yd(t)+yk(t)

=-CΔzk(t)-DΔuk(t)

將迭代學(xué)習(xí)算法式(7)代入到上式中可得

ek+1(t)=(I-DL1)ek(t)-CΔzk(t)

(11)

對(duì)式(11)取范數(shù),有

兩邊同時(shí)乘以e-λt,繼而取λ-范數(shù),得到

(12)

e-λt|Δzk(t)|

進(jìn)一步,根據(jù)λ-范數(shù)定義,有

(13)

將式(13)代入到式(12)可以得出

(14)

在λ-范數(shù)中選取

由于任意兩個(gè)范數(shù)在有限維空間上均是等價(jià)的,故在定理1中得到的結(jié)論針對(duì)于其它不同的范數(shù)定義也是適用的。

4 數(shù)值分析

考慮如下延遲系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制：

(15)

其中：zk(t)；uk(t)=[u1k(t)；u2k(t)]T∈R2；Yk(t)∈R。

選取迭代學(xué)習(xí)算法式(7)如下：

uk+1(t)=uk(t)+[2,-0.4]Tek(t)

(16)

由系統(tǒng)式(15)和迭代算法式(16)知

通過式(8)可以得出系統(tǒng)式(15)的運(yùn)行狀態(tài)zk(t) 的相關(guān)情況如下：

當(dāng)t∈[0,0.5)時(shí),

當(dāng)t∈[0.5,1]時(shí),有

則系統(tǒng)每次迭代輸出yk可由系統(tǒng)狀態(tài)zk和系統(tǒng)輸入uk表出。

算法實(shí)現(xiàn)：

步驟1：設(shè)置首次任意系統(tǒng)輸入u1為零向量輸入；

步驟2：根據(jù)式(8)計(jì)算第k次迭代的系統(tǒng)狀態(tài)zk,并計(jì)算本次迭代系統(tǒng)輸出yk=Czk+Duk及輸出誤差ek=yd-yk,k=1,2,…；

步驟3：根據(jù)學(xué)習(xí)算法式(7)生成第k+1次系統(tǒng)控制輸入uk+1,更新步驟2,直至輸出誤差ek滿足精度要求。

設(shè)置期望輸出參考軌線為:

yd(t)=7sin(4πt)+4(t+0.5)2,t∈[0,1]

數(shù)值仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。圖3給出了系統(tǒng)輸出對(duì)于期望輸出的跟蹤性能,展示出系統(tǒng)輸出yk能夠隨著迭代次數(shù)k的增加(k=1,2,…,20)快速地收斂到預(yù)先設(shè)定的期望輸出yd。

圖3 期望輸出與系統(tǒng)輸出Fig.3 Desired output and system output

圖4 期望輸出與部分系統(tǒng)輸出Fig.4 Desired output and part of system output

圖5 輸出誤差三維仿真結(jié)果Fig.5 3D Simulation results of output error

圖6 輸出誤差L2-范數(shù)Fig.6 L2-norm of output error

圖4給出了部分系統(tǒng)輸出y2,y4,y6與期望輸出yd的函數(shù)圖像,更清晰地展示出了系統(tǒng)輸出能有效地隨迭代次數(shù)增加而收斂到期望輸出,驗(yàn)證了迭代算法的有效性。

圖5是系統(tǒng)輸出誤差隨著時(shí)間軸與迭代軸變化而變化的三維仿真結(jié)果?？梢钥闯?隨著迭代次數(shù)的增加,系統(tǒng)的輸出誤差在時(shí)間軸上的各個(gè)時(shí)刻都是趨向于0的。這表明了式(15)所示系統(tǒng)在迭代算法式(16)的作用下,隨著迭代的進(jìn)行,系統(tǒng)輸出是收斂到期望輸出的。

圖6給出了系統(tǒng)每次迭代中輸出誤差的L2-范數(shù)的數(shù)值?？梢钥闯鲭S著迭代次數(shù)的增加,系統(tǒng)輸出誤差的L2-范數(shù)逐漸減小,收斂速度較快?？梢?第20次迭代的系統(tǒng)輸出誤差為2.282×10-7,之后隨著迭代的繼續(xù),系統(tǒng)還能繼續(xù)自適應(yīng)得出更優(yōu)的系統(tǒng)輸入,提高系統(tǒng)輸出精度。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)一類延遲微分系統(tǒng)提出采用延遲正余弦矩陣函數(shù)作為系統(tǒng)基本解陣,設(shè)計(jì)了系統(tǒng)迭代算法,用迭代學(xué)習(xí)控制的技術(shù)手段實(shí)現(xiàn)了對(duì)所提系統(tǒng)的自適應(yīng)輸出跟蹤控制并迭代出相應(yīng)的控制輸入函數(shù),對(duì)由延遲微分系統(tǒng)刻畫的現(xiàn)實(shí)過程的有效控制具有指導(dǎo)意義。由仿真結(jié)果可知,隨著系統(tǒng)迭代的進(jìn)行,系統(tǒng)的輸出誤差逐步收斂至,即系統(tǒng)輸出隨迭代逐步追蹤到期望輸出,表明本文所提出的針對(duì)延遲系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)算法是有效的。