蔡麗莉

在學(xué)習(xí)“冪的運(yùn)算”這一章內(nèi)容的過程中，有些同學(xué)會遇到這樣的問題，就是記得運(yùn)算公式，卻總做不對題目。導(dǎo)致這種情況出現(xiàn)的原因，主要有以下兩點(diǎn)：一是對冪的定義的內(nèi)涵理解不夠，把計(jì)算方法（公式）弄混淆;二是解題思路不明確，拿到題目后，無從下手，只能憑感覺做題。還有一些同學(xué)，牢記冪的運(yùn)算特征，對于基本運(yùn)算方法和公式的直接運(yùn)用，比如同底數(shù)冪相加減，同底數(shù)冪的乘除、乘方等問題，能夠解決，但遇到不符合上述運(yùn)算特征的問題時(shí)，卻很困惑，束手無策。這些問題是同學(xué)們在學(xué)習(xí)“冪的運(yùn)算”的過程中遇到的最常見的困難，解決的方法就是“轉(zhuǎn)化”。轉(zhuǎn)化兩個(gè)冪的底數(shù)或指數(shù)，使兩個(gè)冪符合相應(yīng)的運(yùn)算條件。下面，我們就一起來探討“冪的運(yùn)算”中常見的轉(zhuǎn)化方法。

一、化為底數(shù)相同

如果兩個(gè)冪的底數(shù)不同，在運(yùn)算中，我們可以把這兩個(gè)冪化成同一個(gè)底數(shù)的冪的形式。我們可以用冪的乘方公式（a^m）ⁿ=a^mn，把不同底數(shù)的冪化作同底數(shù)冪。

例1 計(jì)算：9^a+1×27^2a。

【解析】算式中的兩個(gè)冪的底數(shù)不同，不滿足冪的乘法公式的條件，故需要轉(zhuǎn)化。我們觀察底數(shù)9和27，它們分別是3的2次冪和3次冪，這說明這兩個(gè)冪可以把底數(shù)都化成3。

二、化為指數(shù)相同

1.當(dāng)兩個(gè)冪的指數(shù)相近時(shí)，我們可以反用積的乘方公式a^m+n=a^m·aⁿ，把含較大指數(shù)的冪寫成兩個(gè)冪的積，并使其中一個(gè)冪的指數(shù)和指數(shù)最小的冪的指數(shù)相同。

例2 計(jì)算：10³⁸-10³⁶。

【解析】因?yàn)閮绲臏p法運(yùn)算要求參與運(yùn)算的冪的指數(shù)和底數(shù)皆相同，而算式中兩個(gè)冪的底數(shù)已經(jīng)相同了，所以只需要把它們的指數(shù)化成相等的即可。我們注意到，指數(shù)38和36很接近，可以把它們都化成含有指數(shù)36的指數(shù)。

2.當(dāng)兩個(gè)冪的指數(shù)不相近時(shí)，我們可以反用冪的乘方公式a^mn=（a^m）ⁿ，把這兩個(gè)冪的指數(shù)化成它們的最大公約數(shù)。

例3 計(jì)算：6³⁶÷3²⁴。

【解析】算式中的兩個(gè)冪不符合冪的乘除運(yùn)算的特征，故需要轉(zhuǎn)化。注意到它們的底數(shù)不具備化成同底數(shù)冪的條件，指數(shù)又不相近，我們可以考慮把指數(shù)化成這兩個(gè)冪的指數(shù)的最大公約數(shù)。

3.求有關(guān)冪的等式中的未知數(shù)。

兩個(gè)相等的冪的底數(shù)相等時(shí)，它們的指數(shù)也相等，如已知a²=a^x，則x=2;兩個(gè)相等的冪的指數(shù)相等時(shí)，它們的底數(shù)不一定相等，如已知3^a=x^a，則要對a進(jìn)行討論;兩個(gè)相等的冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時(shí)，無法直接將有關(guān)冪的方程轉(zhuǎn)化為整式方程去求未知數(shù)的值，此時(shí)需要轉(zhuǎn)化兩個(gè)冪的底數(shù)或指數(shù)，使它們相同。當(dāng)?shù)仁絻蛇呌卸鄠€(gè)冪時(shí)，需要依據(jù)運(yùn)算符號進(jìn)行運(yùn)算，將等式先轉(zhuǎn)化成只含有兩個(gè)冪的等式后，再進(jìn)行求解。

【解析】因?yàn)榈仁絻蛇吂灿腥齻€(gè)冪，且字母m在指數(shù)上，故需要先計(jì)算出等號左邊的積，使等號兩邊各保留一個(gè)冪，然后再化底數(shù)相等，最后用指數(shù)相等列等式。

同學(xué)們要注意，學(xué)習(xí)“冪的運(yùn)算”這一章時(shí)，牢記公式是解題的基礎(chǔ)，熟練掌握轉(zhuǎn)化底數(shù)和指數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。分析題目中冪的運(yùn)算所需要的條件，可以明確解題思路;觀察冪的底數(shù)和指數(shù)的特點(diǎn)，可以明確解題的具體過程，從而提高解題的正確率。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校）