三維柱體上調(diào)和方程的二擇一結(jié)果

李遠(yuǎn)飛,石金誠(chéng),曾 鵬

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 華商學(xué)院，廣東 廣州 511300)

在1856年，SAINT-VENANT A J C B DE[1]提出了一個(gè)著名的數(shù)學(xué)和力學(xué)原理.原理一經(jīng)提出就引起了在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)廣泛的研究，此原理后來(lái)被稱為Saint-Venant原理.有關(guān)Saint-Venant原理的早期研究成果主要集中在橢圓方程的初邊值問(wèn)題上.Boley[2]最早指出Saint-Venant原理對(duì)熱傳導(dǎo)方程仍然有效.自此之后，各種類型的拋物方程受到了廣泛的關(guān)注，比如Brinkman方程組、Navier-Stoke方程組、Darcy方程組、Forchheimer方程組和Boussinesq方程組等，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3-11].

上述文獻(xiàn)大多假設(shè)在柱體的無(wú)限端方程的解趨近于零，從而得到方程組的衰減結(jié)果.經(jīng)典的二擇一定理不必假設(shè)方程組的解在無(wú)限端趨近于零, 而是證明調(diào)和函數(shù)隨距有限端的距離的增大要么呈指數(shù)(多項(xiàng)式)增長(zhǎng)要么呈指數(shù)(多項(xiàng)式)衰減.大多數(shù)文獻(xiàn)通常假設(shè)柱體的母線平行于坐標(biāo)軸，柱體任何一處的橫截面都是相同的.筆者主要研究調(diào)和函數(shù)在一個(gè)半無(wú)窮柱體上的漸近性質(zhì)，其中在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件，在柱體的有限端滿足非線性條件.注意到文獻(xiàn)[12]考慮了3種不同的無(wú)界區(qū)域，通過(guò)推導(dǎo)一個(gè)二階微分不等式，從而得到二維雙調(diào)和函數(shù)在一個(gè)無(wú)界區(qū)域上的二擇一結(jié)果.受文獻(xiàn)[12]的啟發(fā)，與大多數(shù)文獻(xiàn)不同的是，假設(shè)柱體的橫截面的面積不再是一個(gè)常數(shù)，而是與橫截面的位置有關(guān).當(dāng)橫截面的面積滿足一些特定的條件時(shí)，得到了三維調(diào)和函數(shù)在3種不同半無(wú)窮柱體上的二擇一結(jié)果.目前，出了文獻(xiàn)[12]之外幾乎還沒(méi)有文章關(guān)注此類問(wèn)題，顯然，當(dāng)前文獻(xiàn)中所取得的結(jié)果是本文的一個(gè)特殊情況.

1.準(zhǔn)備知識(shí)

令R表示三維區(qū)域上的半無(wú)限的柱體，Dz表示R在x3=z處的橫截面，D表示R坐標(biāo)平面x1Ox2上的橫截面上，即

令?Dx3表示Dx3的邊界，z是x3軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Rz分別記為

其中，Dx3是和x3相關(guān)的一個(gè)光滑區(qū)域.顯然，R0=R,D0=D.研究定義在R×(0,∞)上的調(diào)和方程

(1)

在柱體的邊界上，有

(2)

(3)

其中，g(x1,x2)是大于零的可微函數(shù)，且滿足約束條件：

為了證明本文的主要結(jié)果，列出一個(gè)接下來(lái)常用的微分不等式.

引理1 若ω|?Dz=0，則存在一個(gè)依賴于區(qū)域Dz大于零的函數(shù)r(z)數(shù)使得

其中，r2(z)=|Dz|表示區(qū)域Dz的面積.

證明設(shè)P是Dz內(nèi)的一個(gè)點(diǎn).令P1和P2分別表示過(guò)點(diǎn)P平行于x1坐標(biāo)軸的直線與?Dz的交點(diǎn)，令Q1和Q2分別表示過(guò)點(diǎn)P平行于x2坐標(biāo)軸的直線與?Dz的交點(diǎn).由于|ω|?Dz=0，所以

于是

(4)

同理

(5)

結(jié)合式(4)和(5)并利用不等式

2ab≤a2+b2a,b>0，

可得

由H?lder不等式，可得

證畢.

2 “能量”表達(dá)式的定義

為了推導(dǎo)本文的二擇一結(jié)果，需首先推導(dǎo)“能量”表達(dá)式的定義.為此，從以下恒等式開(kāi)始推導(dǎo)

其中，z0≥0是x3軸上的某個(gè)點(diǎn)，且z0≤ξ≤z.現(xiàn)使用散度定理，并利用方程(1)～(3)，有

(6)

若定義

(7)

則由式(6)可得

(8)

對(duì)式(8)微分，可得

(9)

使用H?lder不等式、算術(shù)幾何平均不等式和引理1，由式(7)可得

再注意到式(9)，可得

(10)

由式(10)可以得到以下2個(gè)不等式

(11)

(12)

對(duì)2個(gè)不等式進(jìn)行分析，從而得到二擇一定理.

3 二擇一定理

Ⅰ 半無(wú)窮柱體

如果區(qū)域Dz的面積是一個(gè)常數(shù)，即r(z)=r>0.對(duì)式(7)所定義的E(z)，利用式(11)和(12)作2種分析.

情形1 如果一個(gè)點(diǎn)z0>0，使得E(z0)>0.

由于E′(z)≥0，所以E(z)≥E(z0)>0，z≥z0>0.因此由式(11)可得

(13)

對(duì)式(13)從z0到z積分，可得

(14)

聯(lián)合式(8)和(14)，可得

(15)

情形2 如果對(duì)所有的z≥0，都有E(z)≤0.

由式(12)可得

(16)

對(duì)式(16)從z0到z積分，可得

(17)

式(17)表明當(dāng)z→∞時(shí)-E(z)指數(shù)式衰減于零.現(xiàn)對(duì)式(9)從z到∞積分，可得

(18)

又由于E′(z)≥0，所以-E(z0)≤-E(0).結(jié)合式(17)和(18)，可得

(19)

由上述分析可以得到定理1.

定理1設(shè)u為問(wèn)題(1)～(3)在一個(gè)半無(wú)窮柱體R上的解.則要么

成立，要么

Ⅱ 擴(kuò)展區(qū)域

如果柱體的界面Dz和z有關(guān)，則Dz的面積隨z的變化而變化.例如，

在此種區(qū)域上，假設(shè)Dz的面積r(z)滿足

r(z)≤δzγ0<γ<1，δ>0,z≥0.

(20)

分2種情形進(jìn)行分析.

情形1 如果一個(gè)點(diǎn)z0>0，使得E(z0)>0.

由于E′(z)≥0，所以E(z)≥E(z0)>0，z≥z0>0.因此由式(11)可得

對(duì)上式從z0到z積分，可得

即

(21)

情形2 如果對(duì)所有的z≥0，都有E(z)≤0.

由式(12)可得

對(duì)上式從z0到z積分，可得

(22)

由于0<γ<1，所以當(dāng)z→∞時(shí)-E(z)指數(shù)式衰減于零.與式(19)類似，得到

由上述分析可以得到定理2.

定理2設(shè)u為問(wèn)題(1)～(3)在一個(gè)半無(wú)窮柱體R上的解，且柱體的截面Dz的面積r(z)滿足式(20).則要么

成立，要么

特別地，如果在式(20)中γ=1，則式(10)可以寫(xiě)為

對(duì)上式作類似的處理，易得定理3.

定理3設(shè)u為問(wèn)題(1)～(3)在一個(gè)半無(wú)窮柱體R上的解，且柱體的截面Dz的面積r(z)滿足式(20)但是γ=1.則要么

成立，要么

Ⅲ 一般區(qū)域

假設(shè)柱體R在x3=z處的橫截面Dz的面積函數(shù)r(z)滿足下列性質(zhì)

r(z)≥r0>0z≥0，

(23)

再次對(duì)式(11)和(12)進(jìn)行分析.

情形1 如果一個(gè)點(diǎn)z0>0，使得E(z0)>0.

由于E′(z)≥0，所以E(z)≥E(z0)>0，z≥z0>0.因此由式(11)可得

對(duì)上式從z0到z積分，可得

即

(24)

情形2 如果對(duì)所有的z≥0，都有E(z)≤0.

由式(12)可得

對(duì)上式從z0到z積分，可得

(25)

由于r(z)滿足式(23)，所以當(dāng)z→∞時(shí)-E(z)指數(shù)式衰減于零.利用式(18)并結(jié)合式(25)，有

由上述分析可以得到定理4.

定理4設(shè)u為問(wèn)題(1)～(3)在一個(gè)半無(wú)窮柱體R上的解，且柱體的截面Dz的面積r(z)滿足式(23).則要么

成立，要么

成立.

4 全能量-E(0)的上界

在衰減的情形下，由式(7)和(18)可知，

(26)

現(xiàn)定義一個(gè)輔助函數(shù)

S(x1,x2,x3)=g(x1,x2)exp(-σx3)，

其中，σ是一個(gè)大于零的常數(shù).顯然S(x1,x2,x3)與u具有相同的邊界條件，所以利用式(1)可得

利用H?lder不等式、算術(shù)幾何平均不等式

再結(jié)合式(26)，可得

注意到的定義，可得

5 結(jié)束語(yǔ)

研究了3種不同柱體區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)的二擇一問(wèn)題.目前文獻(xiàn)對(duì)本文所研究的問(wèn)題的關(guān)注還比較少，這是需要考慮的一個(gè)新方向.此外，可以研究更加復(fù)雜的拋物方程組，希望本文的研究能帶來(lái)一些靈感.同時(shí)，筆者也注意到文獻(xiàn)[13]在柱體的側(cè)面上施加了非線性邊界條件(這類問(wèn)題主要產(chǎn)生于穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)理論)，得到了調(diào)和方程的二擇一結(jié)果.受文獻(xiàn)[13]的啟發(fā)，也可以假設(shè)在柱體的側(cè)面上滿足非線性邊界條件，推導(dǎo)二擇一結(jié)果.