基于超靜定基本體系的力法分析

屈 兵

(莆田學(xué)院 土木工程學(xué)院，福建 莆田 351100)

力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)最基本的方法之一，基本結(jié)構(gòu)的選取是力法求解的關(guān)鍵所在，巧妙選擇基本體系可使計(jì)算大大簡化[1].文獻(xiàn)[2]針對超靜定變截面梁，提出了一種在變截面處鉸化的基本體系，減少了圖乘次數(shù)，降低了計(jì)算量.文獻(xiàn)[3-4]對同一問題選取了兩個不同的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，增加了求解的靈活性.目前大部分關(guān)于結(jié)構(gòu)力學(xué)的論著在定義力法基本結(jié)構(gòu)時會強(qiáng)調(diào)其為靜定結(jié)構(gòu)[6-9]；已有文獻(xiàn)中對力法的研究也多限于靜定基本結(jié)構(gòu)[2-5].但實(shí)際上，基本結(jié)構(gòu)采用靜定或超靜定結(jié)構(gòu)均可，教材的初衷在于以一種較為簡便與易于理解的方式傳遞給讀者.文獻(xiàn)[10-11]在探討力法基本結(jié)構(gòu)的選取技巧時提到了超靜定基本結(jié)構(gòu)的選取，并以簡單實(shí)例說明，但未進(jìn)行選取規(guī)則的深入研究與分析.除此以外，未見其他有關(guān)超靜定基本體系的研究文獻(xiàn).基于此，本文以超靜定基本體系作為切入點(diǎn)，系統(tǒng)分析了力法求解中超靜定基本體系選取的原則要點(diǎn)與思維方法，探討了方法的適用性，并以幾個代表性實(shí)例來說明該方法在力法求解中的妙用.該方法有助于打破力法求解時慣有的思維定勢，使學(xué)習(xí)者能更深入地認(rèn)識力法，從而為力法求解提供了新的思路[12-13].

1 問題的提出

問題1用力法求解圖1所示的超靜定組合結(jié)構(gòu).已知AB桿的抗彎剛度為EI，EF桿的軸向抗拉壓剛度EA1=∞，其他各桿剛度均為EA，EI/EA=0.12a2.

通過幾何組成分析可知，該結(jié)構(gòu)為4次超靜定軸對稱組合結(jié)構(gòu)，其中AB桿為梁式桿，其余各桿均為桁架桿，對稱軸為EF桿所在直線.直接求解該結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，按照常規(guī)思路，可通過取半結(jié)構(gòu)來降低對稱結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)，進(jìn)而求解，半結(jié)構(gòu)如圖2所示.

在半結(jié)構(gòu)的選取與計(jì)算中發(fā)現(xiàn)存在如下困難：①半結(jié)構(gòu)的邊界條件易混淆，半結(jié)構(gòu)在選取時容易出錯；②半結(jié)構(gòu)為3次超靜定組合結(jié)構(gòu)，幾何組成復(fù)雜，在計(jì)算系數(shù)項(xiàng)時需同時考慮軸向剛度與彎曲剛度的影響，計(jì)算工作量大且繁雜.因此，采用半結(jié)構(gòu)方法的求解難度仍然不小，故考慮其他更為便捷的方法.

2 力法的基本體系

采用力法求解時常規(guī)做法是去掉原結(jié)構(gòu)所有的多余約束，并代以相應(yīng)的多余未知力作用，此時得到的基本結(jié)構(gòu)為靜定結(jié)構(gòu)，后續(xù)只需利用靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移的計(jì)算知識即可求解.

但從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌戎v，基本結(jié)構(gòu)并不一定非要采用靜定結(jié)構(gòu)，力法的本質(zhì)是利用變形協(xié)調(diào)關(guān)系來求解多余約束力，簡化原結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)一步求解，因此只要選取的基本體系與原結(jié)構(gòu)體系在受力上是等效的，且基本結(jié)構(gòu)為幾何不變體系，那么該基本結(jié)構(gòu)就是合理有效的[14-15].

圖3(a)所示為4次超靜定結(jié)構(gòu)，圖3(b)、3(c)、3(d)均為其有效的基本體系，其中3(c)和3(d)為超靜定基本體系.

(a)原結(jié)構(gòu)(b)靜定基本體系(c)超靜定基本體系1(d)超靜定基本體系2

不論基本體系為靜定結(jié)構(gòu)，還是超靜定結(jié)構(gòu)，若設(shè)多余未知力個數(shù)為n，則力法基本方程均可表示為式(1)：

(1)

其中，X1、X2、…、Xn為多余未知力，δij與Δnp為各系數(shù)項(xiàng)與自由項(xiàng).后續(xù)求解思路與力法的常規(guī)做法無異，為計(jì)算各系數(shù)項(xiàng)與自由項(xiàng)，并求解多余未知力，其具體過程在此就不再贅述.

3 超靜定基本體系的選取原則

靈活選擇超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)有時能使問題得到大大簡化，但并非所有力法求解都適合選用超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，在實(shí)際分析中，可以參考如下原則：

(1)觀察原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù) 一般來講，超靜定的基本結(jié)構(gòu)適用于原結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)較大的時情況，因?yàn)榛窘Y(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)與多余未知力的總和是一定的，其值等于原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù).所以，基本結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)越多，就意味著多余未知力的個數(shù)越少，多余未知力求解起來就越容易.如圖3所示的4次超靜定結(jié)構(gòu)，若選擇圖3(d)所示的3次超靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，則多余未知力只有一個，比如圖3(a)中的4個多余未知力求解起來會容易很多.需要說明的是，這里易于求解的前提還要包括所選擇的超靜定基本結(jié)構(gòu)本身要便于求解(參考原則(2)、(3)).

(2)觀察原結(jié)構(gòu)中是否包含內(nèi)力與位移易于計(jì)算的超靜定結(jié)構(gòu).常見的易于計(jì)算的超靜定結(jié)構(gòu)類型包括但不限于以下幾種情況：

a、不同約束條件下的單跨超靜定等截面直桿，如圖3(c)、3(d)所示的結(jié)構(gòu).

圖4 集中力作用在無線位移結(jié)點(diǎn)上情況

b、在不考慮軸向變形的前提下，集中力作用在無線位移的結(jié)點(diǎn)上時，匯交于該結(jié)點(diǎn)的各桿無彎矩，也無剪力，只有軸力.如圖4所示兩結(jié)構(gòu)，若不考慮軸向變形，結(jié)構(gòu)中各桿均只受到軸力，無彎矩、剪力.

c、易于計(jì)算的超靜定對稱結(jié)構(gòu).某些對稱結(jié)構(gòu)利用其半結(jié)構(gòu)或1/4結(jié)構(gòu)，以及荷載的對稱性，可大大簡化計(jì)算過程.

d、其他易于計(jì)算的情形.

(3)原結(jié)構(gòu)可以通過某種方式拆分成原則(2)中的某一類或幾類易于計(jì)算的超靜定結(jié)構(gòu).

a、截?cái)喽U連接(一個多余約束)或鉸連接(兩個多余約束)，并附加對應(yīng)的多余未知力.

b、若支座處連接有多根桿件，可將結(jié)構(gòu)從支座處進(jìn)行拆分，無需附加多余未知力.

下面通過兩個實(shí)例深化對上述原則的理解與應(yīng)用.

實(shí)例1求解圖5(a)所示結(jié)構(gòu).該結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為6次，易見，結(jié)構(gòu)上下兩部分均為易于計(jì)算的單跨超靜定等截面直桿，通過二力桿AB相連.因此考慮將AB桿截?cái)?，這樣可得到圖5(b)所示的只包含一對多余未知力X1的超靜定基本體系(其中，Ⅰ為3次超靜定結(jié)構(gòu)，Ⅱ?yàn)?次超靜定結(jié)構(gòu))，這樣，后續(xù)求解過程得到大大簡化.

實(shí)例2求解圖6(a)所示結(jié)構(gòu)(不考慮各桿軸向變形).經(jīng)分析可知：①結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)為5次；②A、C均為無線位移結(jié)點(diǎn)，因此AC、BC、CD桿只受軸力；③B支座連接的BA、BC兩根桿可進(jìn)行拆分.因此，將原結(jié)構(gòu)從A、B處斷開，可得到圖6(b)所示超靜定基本體系，原結(jié)構(gòu)被分解成左(Ⅰ)右(Ⅱ)兩部分：其中Ⅰ為靜定結(jié)構(gòu)；Ⅱ?yàn)?次超靜定結(jié)構(gòu)，但其各桿只受軸力，無彎矩、剪力.Ⅰ、Ⅱ均為易于計(jì)算的結(jié)構(gòu).且由于AC桿只受軸力，斷開A鉸后，只需附加一對沿AC桿軸向的水平未知力X1.因此，取圖(b)的超靜定基本體系，這使原結(jié)構(gòu)的計(jì)算得到了極大簡化.

4 問題的解答

回到第1小節(jié)的問題，利用上述思維方法，通過選取合理的超靜定基本體系，問題即可迎刃而解.將原結(jié)構(gòu)從A、B、E處拆分為兩部分.這里，利用結(jié)構(gòu)的對稱性，截?cái)郋鉸只需附加一對豎直方向的多余未知力X1即可.最后得到只包含一對多余未知力的超靜定基本體系，如圖7(a)所示.

1)力法方程為：

δ11X1+Δ1p=0.

3)計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)：

4)將以上計(jì)算結(jié)果帶入式(2)，求得多余未知力X1=4.812qa.

該計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)取靜定基本結(jié)構(gòu)方法求解出來的結(jié)果完全相同，讀者可自己驗(yàn)證.

5 結(jié) 論

對力法分析中超靜定基本結(jié)構(gòu)的選取進(jìn)行了研究與探討，得到如下結(jié)論：(1)超靜定基本體系更適用于原結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)較高的情況，選用超靜定基本體系可有效減少多余未知力個數(shù)；(2)超靜定基本體系選取的靈活性大、技巧性強(qiáng)，應(yīng)認(rèn)真分析原結(jié)構(gòu)的幾何組成，找出易于計(jì)算的超靜定基本體系，這樣才能真正達(dá)到簡化計(jì)算的目的；(3)并非所有原結(jié)構(gòu)都能找出易于計(jì)算的超靜定基本體系，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)具體問題具體分析，找到最合適的求解方法.

在進(jìn)行傳統(tǒng)力學(xué)的學(xué)習(xí)與研究時，應(yīng)重視繞開傳統(tǒng)思維方法的束縛，注重從不同角度觀察問題、拓展思路，這樣不僅有助于提高創(chuàng)新能力與專業(yè)水平，而且也為更深層次的信息挖掘提供了基礎(chǔ)與思路.