高世磊 李安琪 何佳璐 袁恒 張家銘

摘? ?要：隨機(jī)微分方程在金融數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用，我們對(duì)用來分析利率的CIR模型進(jìn)行了數(shù)值對(duì)比研究。我們分別對(duì)原方程用Euler算法的顯隱式格式、Milstein算法的顯式格式和對(duì)原方程進(jìn)行變換后的格式以及應(yīng)用分裂算法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，主要對(duì)CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進(jìn)行數(shù)值模擬，并比較三種格式的方差。最后研究了CIR模型各算法的保正性。

關(guān)鍵詞：CIR模型? Euler算法? Milstein算法? 分裂算法? 保正性

1? CIR模型簡(jiǎn)介

在20世紀(jì)80年代中期，Cox、Ingersoll和Ross對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單而又完備的經(jīng)濟(jì)體提出了一個(gè)時(shí)間連續(xù)的廣義均衡單因子模型，并且用它來檢驗(yàn)資產(chǎn)價(jià)格的行為[1]。基于對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的研究，建立了CIR模型，利率的隨機(jī)微分方程為一個(gè)單平方根過程：

其中回復(fù)速度α，長(zhǎng)期均值μ和波動(dòng)率σ均為常數(shù)參數(shù)。由上式可知，利率在長(zhǎng)期均值μ附近上下波動(dòng)，參數(shù)α表示利率回復(fù)到μ的速度，CIR模型將利率的波動(dòng)設(shè)定為與利率水平的平方根成正比，波動(dòng)率的方差會(huì)隨著利率本身的增大而增大。該模型對(duì)任意時(shí)刻s，t（s≤t），當(dāng)已知s時(shí)刻的短期利率信息時(shí)，時(shí)刻t的瞬時(shí)短期利率服從非中心卡方分布。

CIR模型中通過設(shè)定波動(dòng)率與利率的平方根成正比，使得短期利率具有非負(fù)性：當(dāng)→0時(shí)，漂移項(xiàng)α（μ-）為正值，且擴(kuò)散項(xiàng)σ逐漸趨近于零，表明利率的波動(dòng)性也趨近于零，因此利率不會(huì)取到負(fù)值;當(dāng)2αμ<σ2時(shí)，CIR過程可以達(dá)到零界限值，當(dāng)2αμ≥σ2時(shí)，向上的漂移項(xiàng)足可以使得零界限值無法達(dá)到，嚴(yán)格為正[2]。

2? CIR模型的三類格式及數(shù)值模擬

本小節(jié)是對(duì)CIR模型利用各種方式得到的數(shù)值方法進(jìn)行數(shù)值求解并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的對(duì)比和對(duì)CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 第一類基本算法

2.3 分裂格式

2.4 參數(shù)賦值及統(tǒng)計(jì)特征

圖1數(shù)學(xué)期望圖：為簡(jiǎn)化表達(dá)，對(duì)算法進(jìn)行縮寫表示。以EF表示向前歐拉方法，以EB表示向后歐拉方法，以MIL表示Milstein方法，以TEF表示基于變換格式向前歐拉方法，以TEB表示基于變換格式向后歐拉方法，以SSM表示分裂步方法，此后圖中均以縮寫代表各方法。圖中是各數(shù)值模擬方法得到的數(shù)學(xué)期望，橫軸表示時(shí)間t且設(shè)置范圍[0，1]，縱軸表示各時(shí)間對(duì)應(yīng)的期望值E（X（t））。

計(jì)算各方法得到數(shù)值解的方差：

圖2方差圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法得到的方差，橫軸表示時(shí)間t且設(shè)置范圍[0，1]，縱軸表示各數(shù)值模擬方法在時(shí)間t的方差。

分析上述期望、方差可知，采用的數(shù)值模擬方法有效，得到的CIR模型（1.1）的數(shù)值解唯一，在統(tǒng)計(jì)特征上表現(xiàn)為同期望、同方差。

3? 基于CIR模型算法的保正性及賦值分析

保正性在CIR模型的研究中是具有實(shí)際意義的，CIR模型主要描述短期利率的變化情況，利率在現(xiàn)實(shí)生活中的非負(fù)的;從CIR模型本身出發(fā)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若為負(fù)數(shù)，模型擴(kuò)散系數(shù)是沒有意義的。故CIR模型嚴(yán)格要求保正，繼而要求數(shù)值模擬時(shí)保正，則產(chǎn)生了對(duì)數(shù)值模擬方法保正性的研究需求。為解決數(shù)值模擬方法也就是相應(yīng)的數(shù)值算法的保正性，需考慮兩方面的問題：（1）是否存在絕對(duì)保正的數(shù)值算法;（2）對(duì)于存在不保正現(xiàn)象的算法，是否在滿足某種條件下達(dá)到保正需要?；谶@兩個(gè)問題，將對(duì)第二部分中論述的數(shù)值算法進(jìn)行分類，選出絕對(duì)保正的算法，對(duì)條件保正的算法進(jìn)行條件強(qiáng)弱的比較。

由于CIR模型方程：中a、b皆為常數(shù)，且設(shè)置參數(shù)時(shí)要求為非負(fù)數(shù)，故模型中確定性部分對(duì)迭代過程的保正性始終起著正作用，而對(duì)于隨機(jī)部分而言，白噪聲項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，且有，在數(shù)值模擬過程中，利用蒙特卡洛模擬思想，以正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)模擬該隨機(jī)過程，故存在小于0的隨機(jī)數(shù)可能，使得模型隨機(jī)部分對(duì)迭代過程保正性起著負(fù)作用。顯然可知，首次出現(xiàn)負(fù)數(shù)只有一種情況，隨機(jī)部分為負(fù)數(shù)，且絕對(duì)值大于確定性部分即：。換個(gè)思路，倘若a、b的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)大于是否就一定保正了呢？答案是肯定的，在要求a、b全為非負(fù)的前提下，令為0，則迭代過程中不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)的可能。這為研究絕對(duì)保正提供了一個(gè)思路，在的值遠(yuǎn)大于a、b的情況下，倘若算法還具有保正性，就可以說明其具有絕對(duì)保正性或者說嚴(yán)格保正。

可知，存在一個(gè)充分小的實(shí)數(shù)，使得迭代過程一定保正，為探究各方法的保正性，不妨設(shè)置參數(shù)a=b=0，=5，初值，軌道數(shù)為1000，下表格為各迭代算法出現(xiàn)負(fù)數(shù)迭代步的軌道條數(shù)。

從上表可得，只有分裂方法對(duì)任意具有保正性。這是因?yàn)榉至逊椒ɡ每ǚ诫S機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬，而卡方隨機(jī)數(shù)全為正數(shù)，故迭代步數(shù)值全為正數(shù)。

上述分析已經(jīng)提及，當(dāng)足夠小時(shí)，數(shù)值模擬一定不會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)情況，即滿足模型保正性要求，因此條件保正是一定存在的。定性分析是a、b越大，越小則滿足保正性要求的可能性越大;定量分析是a、b、之間存在著某種關(guān)系時(shí)，算法在數(shù)值模擬中就一定保正。為進(jìn)一步探究顯隱式Euler方法、Milstein方法在參數(shù)a、b、滿足什么條件下，會(huì)出現(xiàn)保正的情況，采用控制變量方法，單獨(dú)研究a、b中一個(gè)參數(shù)與的關(guān)系：

情況1、固定b=1，內(nèi)，發(fā)現(xiàn)各模擬方法中變量a與近似成正比。

圖3，a-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)a與成正比關(guān)系，其中參數(shù)a為自變量且設(shè)置范圍[0，5]，為因變量。

情況2、固定a=1，，繪制各模擬方法b與的曲線圖，發(fā)現(xiàn)b與在各模擬方法中不存在明顯的關(guān)系。

圖4 b-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)b與之間的關(guān)系，其中參數(shù)b為自變量且設(shè)置范圍[0，5]，為因變量，各方法間b-不呈現(xiàn)明顯的關(guān)系。

情況3、設(shè)，得到各模擬方法a，b，關(guān)系三維網(wǎng)格圖，分析各模擬方法的條件保正性。

圖5 a-b-網(wǎng)格圖：圖中為各數(shù)值模擬方法參數(shù)a、b、三者之間的關(guān)系圖，x軸為a，y軸為b，z軸為，其中參數(shù)a、b為自變量設(shè)置參數(shù)范圍皆為[0，1]，為自變量。

分析上圖可得：在曲面以下，算法保正，可知對(duì)任一平行于Z軸的直線，與曲面交點(diǎn)，Milstein方法的值最大，即根據(jù)值越小越保正的現(xiàn)象，Milstein方法在固定一組a、b值情況下，條件最弱。故Milstein算法的保正性最好，CIR方程變換格式的顯隱式Euler方法次之，CIR方程基礎(chǔ)格式的顯隱式Euler方法的保正性最差。

參考文獻(xiàn)

[1] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. An intertemporal general equilibrium model of asset prices，Econometrica，1985（53）：363-384.

[2] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. A theory of the term structure of interest rates，Econometrica，1985（53）：385-407.

[3] Kleoden P E，Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations[M]. Berlin：Spring-Verlag，1992.

[4] Milstein G N. Approximate Integration of Stochastic Differential Equation [J]. Theor Prob Appl，1974（19）：557-562.